131函数的单调性例题.docx
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131函数的单调性例题
1.3.1函数的单调性
题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间
例1.作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
相应作业1:
课本P32第3题.
题型二、用定义法证明函数的单调性
用定义法证明函数的单调性步骤:
取值作差变形定号下结论
取值,即_____________________________;
作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等;
定号,即____________________________________________________________;
下结论,即______________________________________________________。
例2.用定义法证明下列函数的单调性
(1)证明:
在
上是减函数.
▲定义法证明单调性的等价形式:
设
,
那么
在
上是增函数;
在
上是减函数.
(2)证明:
在其定义域是减函数;
(3)证明:
在
上是增函数;
法一:
作差法二:
作商
(4)已知函数
在
上为增函数,且
,试判断
在
上的单调性,并给出证明过程;
▲方法技巧归纳——判断函数单调性的方法:
1、直接法:
熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等;如,练习册P27
(2)P31(上5、1)
2、图象法;
3、定义法;
4、运算性质法:
当
时,函数
与
有相同的单调性;
当
时,函数
与
有相反的单调性;
当函数
恒不等于零时,
与
单调性相反;
若
,则
与
具有相同的单调性;
若
、
的单调性相同,则
的单调性与之不变;
▲即:
增+增=增减+减=减
若
、
的单调性相反,则
的单调性与
同.
▲即:
增-减=增减-增=增
注意:
(1)可熟记一些基本的函数的单调性,一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式,再利用上述结论判断;
(2)
与
的单调性不能确定.
相应作业2:
(1)讨论函数
在
上的单调性(
);
▲
(2)务必记住“对勾”函数
的单调区间(见练习册P29探究之窗.探究1)
知识拓展——复合函数单调性(▲难点)
一、复习回顾:
复合函数的定义:
如果函数
的定义域为A,函数
的定义域为D,值域为C,则当
时,称函数
为
与
在D上的复合函数,其中
叫做中间变量,
叫层函数,
叫外层函数。
二、引理1已知函数y=f[g(x)].若t=g(x)在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c,d),又函数y=f(t)在区间(c,d)上是增函数,那么,原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.
引理2已知函数y=f[g(x)].若t=g(x)在区间(a,b)上是减函数,其值域为(c,d),又函数y=f(t)在区间(c,d)上是减函数,那么,复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数.
引理1的证明:
▲重要结论1:
复合法则
若
则
增
增
增
减
减
增
增
减
减
减
增
减
规律可简记为“_____________________”(四个字)
▲重要结论2:
若一个函数是由多个简单函数复合而成的,则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:
若减函数有偶数个,则复合函数为增函数;
若减函数有奇数个,则复合函数为减函数.
规律可简记为“_____________________”(四个字)
题型三、求复合函数的单调区间
例3.求下列函数的单调区间.
(1)
(2)
▲小结:
1、注意:
(1)求单调区间必先求定义域;
(2)单调区间必须是定义域的子集;
(3)写多个单调区间时,区间之间不能用“
”并起来,应用“,”隔开.
2、判断复合函数单调性步骤:
求函数的定义域;
将复合函数分解成基本初等函数:
与
;
确定两个函数的单调性;
由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.
相应作业3:
求下列函数的单调区间.
(1)
(2)
(3)
单调性的应用
题型四、比较函数值的大小
例4.已知函数
在
上是减函数,试比较
与
的大小.
题型五、已知单调性,求参数围
例5.已知函数
(1)若
的减区间是
,数
的值;
(2)若
在
上单调递减,数
的取值围.
例6.若函数
在R上为增函数,数
的取值围.
题型六、利用单调性,求解抽象不等式
例7.已知函数
是
上的减函数,且
,数
的取值围.
例8.已知
是定义在
上的增函数,且
,且
,解不等式
.
相应作业4:
已知
是定义在
上的增函数,且
,且
,解不等式
.
题型七、抽象函数单调性的判断——定义法
解决此类问题有两种方法:
“凑”,凑定义或凑已知条件,从而使用定义或已知条件得出结论;
赋值法,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试.
例9.已知函数
对任意实数
、
都有
,且当
时
,求证:
在R上单调递增.
例10.已知定义在
上的函数
对任意
、
,恒有
,且当
时
,判断
在
上单调性.
相应作业5:
定义在
上的函数
对任意
、
,满足
,且当
时
.
(1)求
的值;
(2)求证:
;
(3)求证:
在
上是增函数;
(4)若
,解不等式
;
函数的最大(小)值
1、函数的最大(小)值定义
2、利用单调性求最值常用结论
(1)若函数
在闭区间
上单调递增,则
,
;
(2)若函数
在闭区间
上单调递减,则
,
;
(3)若函数
在开区间
上单调递增,则函数无最值,但值域为
;
(4)若函数
在闭区间
上单调递增,在闭区间
上单调递减,那么函数
,
在
处有最大值,即
;
(5)若函数
在闭区间
上单调递减,在闭区间
上单调递增,那么函数
,
在
处有最小值,即
.
题型八、单调性法求函数最值(值域)
例11、
(1)函数
在
上的最大值为________,最小值为________;
(2)函数
在
上的最大值为________,最小值为________;
(3)函数
的值域为________________;
(4)函数
的值域为________________;
(5)函数
的值域为________________;
(6)函数
的值域为________________;
二次函数的区间最值的求法
二次函数在给定区间
上求最值,常见类型:
(1)定轴定区间:
对称轴与区间
均是确定的;
(2)动轴定区间:
(3)定轴动区间:
(4)动轴动区间:
1、定轴定区间
可数形结合,较易解决,注意对称轴与区间位置关系。
例12.当
时,求函数
的最值.
相应作业6:
求函数
在
上的最值.
2、动轴定区间
例13.已知函数
,求
在
上的最值.
▲动轴定区间问题一般解法:
对对称轴在区间左侧、右侧、部三种情况进行讨论,从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.
相应作业7:
求函数
在
上的最值.
3、定轴动区间
例14.已知函数
,当
时,求
的最小值
.
相应作业8:
已知函数
,当
时,求
的最大值
.
4、动轴动区间
解决方法:
可将对称轴和区间之一看做不动,进行讨论.
例15.求函数
在
上的最大值.
相应作业9:
求函数
在
上的最值.
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