人B版数学必修2讲义第2章 221 直线方程的概念与直线的斜率.docx
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人B版数学必修2讲义第2章221直线方程的概念与直线的斜率
2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(重点)
2.理解直线斜率的几何意义;掌握倾斜角与斜率的对应关系.(重点)
3.掌握过两点的直线的斜率公式.(重点)
4.直线倾斜角与斜率的对应关系在解题中的应用.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 直线方程的概念
阅读教材P74内容,完成下列问题.
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.
如何判断点P(2,1)是否在直线y=x-1上?
【解析】 把点的坐标代入方程,若满足方程,点就在直线上,反之,不在直线上.
教材整理2 直线的斜率及斜率公式
阅读教材P75~P75“倒数第15行”以上内容,完成下列问题.
1.斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.常用小写字母k表示,即k=tanα.
2.斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=
.当x1=x2时,直线P1P2没有斜率.
3.斜率的几何意义
用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的倾斜程度.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法.( )
(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
(3)一个倾斜角α不能确定一条直线.( )
(4)斜率公式与两点的顺序无关.( )
【解析】
(1)错误.除了倾斜角,还可以用斜率描述直线的倾斜程度.
(2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应.
(3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:
一个点P和一个倾斜角α.
(4)正确.斜率公式与两点的顺序无关,即两纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换.
【答案】
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
教材整理3 直线的倾斜角
阅读教材P75“第15行”以下内容,完成下列问题.
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:
直线上的一个定点及它的倾斜角.
如图221所示,直线l的倾斜角为( )
图221
A.30°B.60°
C.120°D.以上都不对
【解析】 根据倾斜角的定义知,直线l的倾斜角为30°+90°=120°.
【答案】 C
[小组合作型]
直线的倾斜角
已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动α角(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?
【精彩点拨】
―→
―→
―→
【自主解答】 由题意画出如下草图
由图可知:
当α为钝角时,倾斜角为α-90°,
当α为锐角时,倾斜角为α+90°,
当α为直角时,倾斜角为0°.
综上,直线l转动前的倾斜角为
1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
[再练一题]
1.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
【解析】 根据题意,画出图形,如图所示:
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,
不合题意.通过画图(如图所示)可知:
当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;
当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
【答案】 D
直线的斜率
已知坐标平面内三点A(-1,1),B(1,1),C(2,
+1).
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角;
(2)若D为△ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化范围.
【精彩点拨】
(1)利用k=
及k=tanα求解;
(2)先求出AC、BC的斜率,进而求出k的范围.
【自主解答】
(1)由斜率公式得
kAB=
=0,kBC=
=
.
kAC=
=
.
倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
又∵tan0°=0,
∴AB的倾斜角为0°.
tan60°=
,
∴BC的倾斜角为60°.
tan30°=
,
∴AC的倾斜角为30°.
(2)如图,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由kCA增大到kCB,所以k的取值范围为
.
1.由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tanα(α≠90°)解决.
2.由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k=
(x1≠x2)求解.
3.涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用斜率公式求解.
[再练一题]
2.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围;
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
【导学号:
45722077】
【解】 如图所示,由题意可知kPA=
=-1,kPB=
=1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是k≤-1,或k≥1.
(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
[探究共研型]
斜率公式的应用
探究1 斜率公式k=
中,分子与分母的顺序是否可以互换?
y1与y2,x1与x2的顺序呢?
【提示】 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换,但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序,即斜率公式也可写为k=
.
探究2 你能证明A(-3,-5),B(1,3),C(5,11)三点在同一条直线上吗?
【提示】 能.因为A(-3,-5),B(1,3),C(5,11),
所以kAB=
=2,kBC=
=2,
所以kAB=kBC,且直线AB,BC有公共点B,
所以A,B,C这三点在同一条直线上.
已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),试求
的最大值和最小值.
【精彩点拨】
的最大值和最小值可以看做过两点(-2,-3)和(x,y)的直线的斜率的最大值和最小值.
【自主解答】 由
的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,由图可知kPA≤k≤kPB,由已知可得A(1,1),B(-1,5).
则kPA=
=
,kPB=
=8.
∴
≤k≤8,∴
的最大值为8,最小值为
.
斜率公式的应用
证明三点共线:
只需证此三点中任意两点确定的斜率相等(斜率存在).
求代数式
的最值或范围问题:
由斜率公式k=
的形式,可知
的几何意义是过P(x,y)与P′(a,b)两点的直线的斜率,故可以利用数形结合来求解.
[再练一题]
3.已知实数x,y满足y=-2x+8,且2≤x≤3,求
的最大值和最小值.
【解】 如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x+y=8,且2≤x≤3,可知点P(x,y)在线段AB上移动,并且A,B两点的坐标可分别求得为(2,4),(3,2).
由于
的几何意义是直线OP的斜率,且kOA=2,kOB=
,
所以可求得
的最大值为2,最小值为
.
1.斜率不存在的直线一定是( )
A.过原点的直线
B.垂直于x轴的直线
C.垂直于y轴的直线
D.垂直于坐标轴的直线
【解析】 只有直线垂直于x轴时,其倾斜角为90°,斜率不存在.
【答案】 B
2.若过两点A(4,y),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y等于( )
A.-
B.
C.-1D.1
【解析】 kAB=
=tan45°=1,即
=1,∴y=-1.
【答案】 C
3.光线从点A(-2,
)射到x轴上的B点后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点C(1,2
),则光线BC所在直线的倾斜角为________.
【解析】 A(-2,
)关于x轴的对称点为A′(-2,-
),
由物理知识知kBC=kA′C=
=
,
所以所求倾斜角为60°.
【答案】 60°
4.如图222所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则k1,k2,k3之间的大小关系为________.
图222
【解析】 设l1,l2,l3的倾斜角分别为α1,α2,α3,则由图可知0<α3<α2<90°<α1<180°,
所以tanα2>tanα3>0,tanα1<0,故k1 【答案】 k1 5.已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(-1,b)四点在同一条直线上,求直线的斜率k及a,b的值. 【导学号: 45722078】 【解】 由题意可知kAB= =2,kAC= = ,kAD= = , 所以k=2= = ,解得a=4,b=-3, 所以直线的斜率k=2,a=4,b=-3.
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