第四章 443 不同函数增长的差异.docx
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第四章443不同函数增长的差异
4.4.3 不同函数增长的差异
学习目标
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型.
知识点 三种常见函数模型的增长差异
函数性质
y=a
x(a>1)
y=logax
(a>1)
y=kx
(k>0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随x的增大匀速上升
增长速度
y=ax的增长快于y=kx的增长,y=kx的增长快于y=logax的增长
增长后果
会存在一个x0,当x>x0时,有ax>kx>logax
思考 在区间(0,+∞)上,当a>1,n>0时,是否总有logax 答案 不是,但总存在x0,使得当a>1,n>0,x>x0时,logax 1.当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值(不为0),则y是x的一次函数.( √ ) 2.函数y=log2x增长的速度越来越慢.( √ ) 3.不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>x100.( × ) 4.由于指数函数模型增长速度最快,所以对于任意x∈R恒有ax>2x(a>1).( × ) 一、几个函数模型增长差异的比较 例1 (1)下列函数中,增长速度最快的是( ) A.y=2020xB.y=x2020 C.y=log2020xD.y=2020x 答案 A 解析 比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知,指数函数增长速度最快. (2)四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如下表: x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1024 32768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________. 答案 y2 解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化. 反思感悟 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是“直线上升”,其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓.可称为“对数增长”. 跟踪训练1 下列函数中,增长速度越来越慢的是( ) A.y=6xB.y=log6x C.y=x2D.y=6x 答案 B 解析 D中一次函数的增长速度不变,A,C中函数的增长速度越来越快,只有B中对数函数的增长速度越来越慢,符合题意. 二、函数模型的选择问题 例2 某化工厂开发研制了一种新产品,在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量,需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a,b,c均为待定系数,x∈N*)或函数y=g(x)=pqx+r(p,q,r均为待定系数,x∈N*),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t,则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好? 解 根据题意可列方程组 解得 所以y=f(x)=-5x2+35x+70.① 同理y=g(x)=-80×0.5x+140.② 再将x=4分别代入①式与②式得 f(4)=-5×42+35×4+70=130(t), g(4)=-80×0.54+140=135(t). 与f(4)相比,g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量,所以②式作为模拟函数比①式更好,故选用函数y=g(x)=pqx+r作为模拟函数较好. 反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则: 建立函数模型,原型一定要简化,抓主要因素、主要变量,尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则: 建立模型,一定要有意义,既能作理论分析,又能计算、推理,且能得出正确结论. (3)反映性原则: 建立模型,应与原型具有“相似性”,所得模型的解应具有说明问题的功能,能回到具体问题中解决问题. 跟踪训练2 某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是( ) A.y=0.2xB.y= (x2+2x) C.y= D.y=0.2+log16x 答案 C 解析 对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16; 对于B,x=1时,y=0.3;x=2时,y=0.8;x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意; 对于C,x=1,2时,符合题意,x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与A比较,更符合题意; 对于D,x=1时,y=0.2;x=2时,y=0.45;x=3时,y≈0.6<0.7,相差较大,不符合题意. 三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 例3 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1 (1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数; (2)结合函数图象,判断f(6), g(6),f(2020),g(2020)的大小. 解 (1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x. (2)因为f (1)>g (1),f (2) (2),f(9) 所以1 所以x1<6 从图象上可以看出,当x1 所以f(6) 当x>x2时,f(x)>g(x), 所以f(2020)>g(2020). 又因为g(2020)>g(6), 所以f(2020)>g(2020)>g(6)>f(6). 反思感悟 指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断. (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数. 跟踪训练3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论: ①当x>1时,甲走在最前面; ②当x>1时,乙走在最前面; ③当0 ④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面; ⑤如果它们一直运动下去,最终走在最前面的是甲. 其中,正确结论的序号为________. 答案 ③④⑤ 解析 四个函数的大致图象如图所示,根据图象易知,③④⑤正确. 1.下列函数中,在(0,+∞)上增长速度最快的是( ) A.y=x2B.y=log2x C.y=2xD.y=2x 答案 D 2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据: x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近? (其中a,b为待定系数)( ) A.y=a+bxB.y=a+bx C.y=ax2+bD.y=a+ 答案 B 解析 在坐标系中描出各点,知模拟函数为y=a+bx. 3.甲从A地到B地,途中前一半路程的行驶速度是v1,后一半路程的行驶速度是v2(v1 答案 B 4.现测得(x,y)的两组对应值分别为(1,2),(2,5),现有两个待选模型: 甲: y=x2+1,乙: y=3x-1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为函数模型. 答案 甲 解析 把x=1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型,经比较发现模型甲较好. 5.随着我国经济的不断发展,2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元,预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长,那么2021年年底该地区的农民人均年收入约为________元.(精确到个位) (附: 1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59) 答案 4500 解析 根据题意,逐年归纳,总结规律建立关于年份的指数型函数模型,设经过x年,该地区的农民人均年收入为y元,依题意有y=3000×1.06x,因为2014年年底到2021年年底经过了7年,故把x=7代入,即可求得y=3000×1.067≈4500. 1.知识清单: 三种函数模型: 线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型. 2.方法归纳: 转化法. 3.常见误区: 不理解三种函数增长的差异. 1.(多选)当a>1时,下列结论正确的有( ) A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值增长越快 B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值增长越快 C.对数函数y=logax,当a越大时,其函数值增长越快 D.对数函数y=logax,当a越小时,其函数值增长越快 答案 AD 解析 结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确. 2.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表: x 1 3 5 7 9 11 y1 5 25 45 65 85 105 y2 5 29 245 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为( ) A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2 答案 C 解析 通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知,对数型函数的增长速度越来越慢,变量y3随x的变化符合此规律;指数型函数的增长是爆炸式增长,y2随x的变化符合此规律;直线型函数的增长速度稳定不变,y1随x的变化符合此规律. 3.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( ) 答案 C 解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B. 4.如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满水槽,水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是( ) 答案 B 解析 开始的一段时间,水槽底部没有水,烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢,与B图象相吻合. 5.渔民出海打鱼,为了保证获得的鱼新鲜,鱼被打上岸后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏,若不及时处理,打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨,是氨的衍生物,它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降,鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)=m·at.若出海后10分钟,这种鱼失去的新鲜度为10%,出海后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,那么若不及时处理,打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg2≈0.3,结果取整数)( ) A.33分钟B.40分钟 C.43分钟D.50分钟 答案 C 解析 由题意得 解得a= ,m=0.05, 故h(t)=0.05× , 令h(t)=0.05× =1,得 =20, 故t= = ≈ ≈43(分钟). 6.函数y=x2与函数y=xlnx在区间(0,+∞)上增长较快的一个是________. 答案 y=x2 解析 当x增加时,x比lnx增长要快, ∴x2要比xlnx增长的要快. 7.已知函数f(x)=3x,g(x)=x,当x∈R时,f(x)与g(x)的大小关系为________. 答案 f(x)>g(x) 解析 在同一直角坐标系中画出函数f(x)=3x,g(x)=x的图象,如图所示, 由于函数f(x)=3x的图象在函数g(x)=x图象的上方,则f(x)>g(x). 8.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应________;B对应________;C对应________;D对应________. 答案 (4) (1) (3) (2) 解析 A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与 (1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为: C容器快,与(3)对应,D容器慢,与 (2)对应. 9.同一坐标系中,画出函数y=x+5(x≥0)和y=2x(x≥0)的图象,并比较当x≥0时,x+5与2x的大小. 解 函数图象如图所示, 根据函数y=x+5与y=2x的图象增长差异得: 当0≤x<3时,x+5>2x, 当x=3时,x+5=2x, 当x>3时,x+5<2x. 10.某债券市场发行三种债券,A种面值为100元,一年到期本息和为103元;B种面值为50元,半年到期本息和为51.4元;C种面值为100元,但买入价为97元,一年到期本息和为100元.作为购买者,分析这三种债券的收益,如果只能购买一种债券,你认为应购买哪种? 解 A种债券的收益是每100元一年到期收益3元;B种债券的半年利率为 ,所以100元一年到期的本息和为100 2≈105.68(元),收益为5.68元;C种债券的利率为 ,100元一年到期的本息和为100 ≈103.09(元),收益为3.09元.通过以上分析,应购买B种债券. 11.函数y=2x-x2的图象大致是( ) 答案 A 解析 分别画出y=2x,y=x2的图象, 由图象可知(图略),有3个交点, ∴函数y=2x-x2的图象与x轴有3个交点,故排除B,C; 当x<-1时,y<0,故排除D. 12.近几年由于北京房价的上涨,引起二手房市场交易火爆,房子几乎没有变化,但价格却上涨了,小张在2013年以180万的价格购得一套新房子,假设这10年来价格年膨胀率不变,那么到2023年,这套房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是______________. 答案 y=180(1+x)10 解析 1年后的价格为180+180·x=180(1+x)(万元), 2年后的价格为180(1+x)+180(1+x)·x=180(1+x)·(1+x)=180(1+x)2(万元), 由此可推得10年后的价格为180(1+x)10万元. 13.若已知16 和log2x的大小关系为________. 答案 >log2x 解析 作出f(x)= 和g(x)=log2x的图象,如图所示: 由图象可知,在(0,4)内, >log2x; x=4或x=16时, =log2x; 在(4,16)内, >log2x. 14.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等,则n=________;若再过m秒甲桶中的水量只有 升,则m=________. 答案 - ln2 5 解析 ∵5秒后两桶的水量相等, 则ae5n= ⇒e5n= ⇒n= ln =- ln2, 若k秒后甲桶水量为 , 则aenk= ,enk= ⇒nk=ln ⇒- ln2·k=-2ln2, ∴k=10,∴m=10-5=5. 15.函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出曲线C1,C2分别对应哪一个函数; (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较). 解 (1)由题图知,C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lgx. (2)当x∈(0,x1)时,g(x)>f(x); 当x∈(x1,x2)时,g(x) 当x∈(x2,+∞)时,g(x)>f(x). 16.已知函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数. (1)求y=f(x)的解析式; (2)若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式成立的自变量x的取值范围: ①log2x<2x ②log2x 解 (1)∵函数y=f(x)是函数y=log2x的反函数, ∴f(x)=2x. (2)作出函数y=2x,y=x2,y=log2x在同一直角坐标系中的图象,可得: 22=4,24=42=16,下面借助图象解决问题. ①∵log2x<2x ②∵log2x 即x的取值范围为(0,2)∪(4,+∞).
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