圆锥曲线间的三个统一统一定义统一公式统一方程教学文案.docx
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圆锥曲线间的三个统一统一定义统一公式统一方程教学文案
圆锥曲线间的三个统一(统一定义、统一公式、统一方程)
圆锥曲线间的三个统一
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师:
薛红梅
世界之美在于和谐,圆锥曲线间也有其内在的和谐与统一,通过对圆锥曲线图形和已知公式的变换,我们可以得出以下结论。
一、四种圆锥曲线的统一定义
动点P到定点F的距离到定直线L的距离之比等于常数e,则当
时,动点P的轨迹是椭圆:
当
时,动点P的轨迹是抛物线;当
时,动点P的轨迹是双曲线;若
,我们规定直线L在无穷远处且P与F的距离为定值(非零),则此时动点P的轨迹是圆,同时我们称e为圆锥曲线的离心率,F为焦点,L为准线。
二、四种圆锥曲线的统一方程
从第1点我们可以知道离心率影响着圆锥曲线的形状。
为了实现统一我们把椭圆、双曲线进行平移,使椭圆、双曲线的右顶点与坐标原点重合,记它们的半通径为
,则
。
如图1,将椭圆
按向量(
)平移
得到
∴
∵椭圆的半通径
,
∴椭圆的方程可写成
类似的,如图2,将双曲线
按向量
平移得到
∴
∵双曲线的半通径
,
∴双曲线方程可写成
对于抛物线
P为半通径,离心率
,它也可写成
对于圆心在(P,0),半径为P的圆,其方程为
,它也可写成
于是在同一坐标下,四种圆锥曲线有统一的方程
,其中P是曲线的半通径长,当
,
,
时分别表示圆、椭圆、抛物线、双曲线。
三、四种圆锥曲线的统一焦点坐标、准线方程和焦半径公式
在同一坐标系下,作出方程
所表示的四种圆锥曲线,如图3,设P、B、A、C分别是圆的圆心,椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点统一记为
的焦点F
则有
,
即方程
所表示的四种圆锥曲线的一个焦点为
,设焦点F相应的准线为
,则有
。
∴准线L为
,对于圆
表示准线L在无限远处,设点
为曲线
上在y轴右侧的动点,则点M对焦点F的焦半径
。
圆锥曲线的内在统一,使我们可以将圆、椭圆、双曲线和抛物线有机地联系起来,从而更好地理解圆锥曲线的含义,更好地运用圆锥曲线解决实际问题。
圆锥曲线中的数学思想方法
内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学0504班高卓玮指导老师:
薛红梅
在解决圆锥曲线的有关问题时,数学思想方法尤为重要,通过对我们平时所遇到的例题及习题的归纳、总结,可以得出以下一些关于圆锥曲线问题中的数学思想方法,帮助我们解决问题。
思想方法一:
分类讨论思想
例1.给定抛物线
设
,P是抛物线上的一点,且
,试求d的最小值。
解:
设
,则
∴
又
,
∴
(1)当
时,
,此时有
(2)当
时,此时有
评注:
引起分类讨论的情况有:
参数的取值范围、去绝对值符号、大小关系不等式等,在讨论中要思维全面,谨慎,做到不懂不漏。
思想方法二:
转化思想
例2已知过点A(―2,―4)且斜率为1的直线L交抛物线
于B、C两点,若|AB|、|BC|、|CA|成等比数列,求抛物线方程。
解:
直线L的方程为
设B(
),
由
得
∴
∵|AB|、|BC|、|CA|成等比数列
∴
过A作直线
∥
轴,设B、C在
上的射影分别是
,
则
∴
即
∴
得
化简为
解得
满足
或
(舍去)
故所求的抛物线方程为
评注:
如何将“|AB|、|BC|、|CA|成等比数列”这一条件转化为A、B、C三点坐标间的关系是解题的关键,本题巧妙运用了“投影”方法将这一条件转化为在水平线上的三线段之间的比例关系,从而达到转化的目的。
思想方法三:
化归思想
例3直线L:
与双曲线C:
的右支交于不同的两点A、B。
(1)求实数k的取值范围。
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。
解:
(1)将直线L的方程
代入双曲线C的方程
,得
①
依题意直线L与双曲线C的右支交于不同两点
∴
2)设A、B两点的坐标分别为
则由①可得
,
②
假设存在实数
,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)则由FA⊥FB得
整理得:
③
把②式及
代入③式化简得:
∴
或
(舍去)
∴
使得以AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F。
评注:
解决数学问题的过程,实质就是在不断转化与化归的过程。
应在解题时注意思维调控,恰当转化解题途径,使解题更加便捷。
思想方法四:
数形结合思想
例4函数
的最大值是________。
分析:
原式=
,其几何模型是定曲线
上的动点
到两定点A(3,2),B(0,1)的距离之差,要求其最大值。
∴
评注:
利用问题模型的几何意义,借助图形性质来解决问题,可使抽象问题具体化,复杂问题简单化。
思想方法五:
函数与方程思想
例5斜率为2的直线与等轴双曲线
相交于两点
,求线段
中点的轨迹方程。
解:
设直线方程为
代入双曲线方程得
∵直线与双曲线相交于
∴
∴
或
设
的坐标为
,线段
中点为
则
且
或
∴
代入直线方程得:
所求轨迹方程为
(
或
)
思想方法六:
构造思想
例6已知
满足
,求
的取值范围。
解:
令
=b,则
原问题转化为:
在椭圆
相切时,有最大截距与最小截距
由
消去
得
由
得
∴
的取值范围为[-13,13]
评注:
应用构造思想解题的关键有①要有明确方向,即为何构造②要弄清条件的本质特点,以便进行逻辑组合。
思想方法七:
对称思想
例7在直线L:
上任取一点
过
且以椭圆
的焦点为焦点作椭圆。
问
在何处时,所作的椭圆长轴最短,并求出其方程。
解:
∵
的两焦点
,
是
关于L的对称点
又
的直线方程为
与
联立,求得
,这时
的方程为
得
这时
∴椭圆方程为
评注:
用对称思想解题,不仅可以利用对称的性质,沟通已知与未知的关系,使分散的条件相对集中,促成问题的解决。
思想方法八:
参数思想
例8在椭圆
上,求使
取得最大值和最小值的点P的坐标。
解:
将已知方程转化为
设椭圆上动点P为
∴
=
∴当
,即点P坐标为
或
时,
当
,即点P坐标为(4,0)时,
评注:
参数法是很重要的一种方法,特别是求最值问题、不等式问题,引入参数往往能减少变元,避免繁琐的运算。
总之,数学思想方法会有很多,并且不同的题目也会有不同的方法,在解题过程中不断地反思,总结经验,对规律性的东西加以归纳整理,在平时练习或考试中加以应用,肯定能够以简驭繁,事半功倍,使解题建立在较高水平上。
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