名师精品高中数学北师大版选修23同步导学案112 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用.docx
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名师精品高中数学北师大版选修23同步导学案112分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(重点)
2.会应用两个计数原理解决简单的实际问题.(难点)
[基础·初探]
教材整理 分类加法计数原理与分步乘法计数
原理的联系与区别
阅读教材P3“例1”和P4“例2”部分,完成下列问题.
两个计数原理的联系与区别:
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
把一个原始事件________事件来完成
不同点
与分类有关
与分步有关
每类方法都能______这件事,它们是相互______的,且每一次得到的都是最后结果,只需______方法就可以完成这件事
每一步得到的只是______结果,任何一步都不可能________这件事,缺少______都不可能完成这件事,只有__________都完成了,才能完成这件事
各类方法之间是互斥的,并列的,独立的
各步之间是有关联的,不独立的
【答案】 分解成若干个 完成 独立 一种 中间 独立地完成 任何一步 各个步骤
1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________.
【解析】 由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2=24.
【答案】 24
2.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)展开后共有________项.
【解析】 该展开式中每一项的因式分别来自a1+a2+a3,b1+b2+b3,c1+c2+c3+c4中的各一项.由a1,a2,a3中取一项共3种取法,从b1,b2,b3中取一项有3种不同取法,从c1,c2,c3,c4中任取一项共4种不同的取法.由分步乘法计数原理知,该展开式共3×3×4=36(项).
【答案】 36
3.5名班委进行分工,其中A不适合当班长,B只适合当学习委员,则不同的分工方案种数为________.
【解析】 根据题意,B只适合当学习委员,有1种情况,A不适合当班长,也不能当学习委员,有3种安排方法,剩余的3人担任剩余的工作,有3×2×1=6种情况,由分步乘法计数原理,可得共有1×3×6=18种分工方案.
【答案】 18
4.用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一数字不能相邻,这样的四位数有________个.
【解析】 分三步完成,第1步,确定哪一个数字被使用2次,有3种方法;第2步,把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上,有3种方法;第3步,将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上,有2种方法.故有3×3×2=18个不同的四位数.
【答案】 18
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
解惑:
疑问2:
解惑:
[小组合作型]
抽取(分配)问题
(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( )
A.16种 B.18种
C.37种 D.48种
(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己的贺卡,则不同取法的种数有________.
【精彩点拨】
(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多,而其对立面较少,可考虑间接法求解.
(2)先让一人去抽,然后再让被抽到贺卡所写人去抽.
【自主解答】
(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案,若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43-33=37(种).故选C.
(2)不妨由甲先来取,共3种取法,而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取,共3种取法,余下来的人,都只有1种选择,所以不同取法共有3×3×1×1=9(种).
【答案】
(1)C
(2)9
求解抽取(分配)问题的方法
1.当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.
2.当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:
①直接法:
直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法:
去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.
[再练一题]
1.3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?
【解】 法一 (以小球为研究对象)分三步来完成:
第一步:
放第一个小球有5种选择;
第二步:
放第二个小球有4种选择;
第三步:
放第三个小球有3种选择.
根据分步乘法计数原理得:
共有方法数N=5×4×3=60.
法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5,分成以下10类:
第一类:
空盒子标号为(1,2),选法有3×2×1=6(种);
第二类:
空盒子标号为(1,3),选法有3×2×1=6(种);
第三类:
空盒子标号为(1,4),选法有3×2×1=6(种);
分类还有以下几种情况:
空盒子标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10类,每一类都有6种方法.
根据分类加法计数原理得,共有方法数N=6+6+…+6=60(种).
组数问题
用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的
(1)银行存折的四位密码.
(2)四位整数.
【精彩点拨】
(1)用分步乘法计数原理求解
(1)问;
(2)0不能作首位,优先排首位,用分步乘法计数原理求解.
【自主解答】
(1)分步解决.
第一步:
选取左边第一个位置上的数字,有6种选取方法;
第二步:
选取左边第二个位置上的数字,有5种选取方法;
第三步:
选取左边第三个位置上的数字,有4种选取方法;
第四步:
选取左边第四个位置上的数字,有3种选取方法.
由分步乘法计数原理知,可组成不同的四位密码共有
6×5×4×3=360(个).
(2)分步解决.
第一步:
首位数字有5种选取方法;
第二步:
百位数字有5种选取方法;
第三步:
十位数字有4种选取方法;
第四步:
个位数字有3种选取方法.
由分步乘法计数原理知,可组成四位整数有
5×5×4×3=300(个).
1.对于组数问题,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法从反面求解.
2.解决组数问题,应特别注意其限制条件,有些条件是隐藏的,要善于挖掘.排数时,要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.
[再练一题]
2.由0,1,2,3这四个数字,可组成多少个:
(1)无重复数字的三位数?
(2)可以有重复数字的三位数?
【解】
(1)0不能做百位数字,所以百位数字有3种选择,十位数字有3种选择,个位数字有2种选择,所以无重复数字的三位数共有3×3×2=18(个).
(2)百位数字有3种选择,十位数字有4种选择,个位数字也有4种选择.
由分步乘法计数原理知,可以有重复数字的三位数共有3×4×4=48(个).
[探究共研型]
涂色问题
探究1 用3种不同颜色填涂图中A,B,C,D四个区域,且使相邻区域不同色,若按从左到右依次涂色,有多少种不同的涂色方案?
A
B
C
D
图114
【提示】 涂A区有3种涂法,B,C,D区域各有2种不同的涂法,由分步乘法计数原理将A,B,C,D四个区域涂色共有3×2×2×2=24(种)不同方案.
探究2 在探究1中,若恰好用3种不同颜色涂A,B,C,D四个区域,那么哪些区域必同色?
把四个区域涂色,共有多少种不同的涂色方案?
【提示】 恰用3种不同颜色涂四个区域,则A,C区域,或A,D区域,或B,D区域必同色.由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1+3×2×1+3×2×1=18(种)不同的方案.
探究3 在探究1中,若恰好用2种不同颜色涂完四个区域,则哪些区域必同色?
共有多少种不同的涂色方案?
【提示】 若恰好用2种不同颜色涂四个区域,则A,C区域必同色,且B,D区域必同色.先从3种不同颜色中任取两种颜色,共3种不同的取法,然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法.由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2=6(种)不同的涂色方案.
将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图115所示的图中,要求相邻的两个区域的颜色都不相同,则有多少种不同的涂色方法?
图115
【精彩点拨】 给图中区域标上记号A,B,C,D,E,则A区域有4种不同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D区域有2种,但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色,如果B与D颜色相同有2种,如果不相同,那么只有1种.因此应先分类后分步.
【自主解答】 法一:
给图中区域标上记号A,B,C,D,E,如图所示.
①当B与D同色时,有4×3×2×1×2=48种.
②当B与D不同色时,有4×3×2×1×1=24种.
故共有48+24=72种不同的涂色方法.
法二:
按涂色时所用颜色种数多少分类:
第一类,用4种颜色:
此时B,D区域或A,E区域同色,则共有2×4×3×2×1=48种不同涂法.
第二类,用3种颜色:
此时B,D同色,A,E同色,先从4种颜色中取3种,再涂色,共4×3×2×1=24种不同涂法.
由分类加法计数原理共48+24=72种不同涂法.
求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求解,常用方法有:
1按区域的不同以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;
2以颜色种植作物为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”问题,用分类加法计数原理分析;
3对于涂色问题将空间问题平面化,转化为平面区域涂色问题.
[再练一题]
3.如图116所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有________种.
图116
【解析】 先涂三棱锥PABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.
【答案】 12
[构建·体系]
1.已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则xy可表示不同值的个数为( )
A.2 B.4
C.8 D.15
【解析】 x的取值共有4个,y的取值也有4个,则xy共有4×4=16个积,但是由于3×8=4×6,所以xy共有16-1=15(个)不同值,故选D.
【答案】 D
2.某年级要从3名男生,2名女生中选派3人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有( )【导学号:
62690004】
A.6种B.7种
C.8种D.9种
【解析】 可按女生人数分类:
若选派一名女生,有2×3=6种;若选派2名女生,则有3种.由分类加法计数原理,共有9种不同的选派方法.
【答案】 D
3.3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组,每人选报一门,则不同的报名方案有________种.
【解析】 每名同学都有4种不同的报名方案,共有4×4×4=64种不同的方法.
【答案】 64
4.圆周上有2n个等分点(n大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为________.
【解析】 先在圆周上找一点,因为有2n个等分点,所以应有n条直径,不过该点的直径应有n-1条,这n-1条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成n-1个直角三角形,而这样的点有2n个,所以一共有2n(n-1)个符合题意的直角三角形.
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