数值计算标准答案 石瑞民.docx
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数值计算标准答案石瑞民
习题一
1、取3.14,3.15,
,
作为
的近似值,求各自的绝对误差,相对误差和有效数字的位数。
解:
所以,
有三位有效数字
绝对误差:
,相对误差:
绝对误差限:
,相对误差限:
所以,
有两位有效数字
绝对误差:
,相对误差:
绝对误差限:
,相对误差限:
所以,
有三位有效数字
绝对误差:
,相对误差:
绝对误差限:
,相对误差限:
所以,
有七位有效数字
绝对误差:
,相对误差:
绝对误差限:
,相对误差限:
3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数,试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限,有效数字的位数。
解:
m=-1
所以,n=3,
有三位有效数字
绝对误差限:
,相对误差:
m=0
所以,n=4,
有四位有效数字
绝对误差限:
,相对误差:
m=2
所以,n=4,
有四位有效数字
绝对误差限:
,相对误差:
m=4
所以,n=4,
有四位有效数字
绝对误差限:
,
相对误差:
4、计算
的近似值,使其相对误差不超过
。
解:
设取
位有效数字,由定理1.1知,
由
…,所以,
由题意,应使
,即
所以,n=4,
即
的近似值取4位有效数字
近似值
6、在机器数系下
中取三个数
,
,
,试按
和
两种算法计算
的值,并将结果与精确结果比较。
解:
所以,
比
精确,且
与
相同;
因此,在做三个以上的数相加时,需要考虑相加的两个同号数的阶数尽量接近。
8、对于有效数
,
,
,估计下列算式的相对误差限。
,
,
解:
,m=1;
所以
同理
或
或
或
所以,
所以,
所以,
综合得:
,
,
9、试改变下列表达式,使其结果比较精确(其中
表示x充分接近0,
表示
充分大)。
(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4)
,
(5)
,
答案:
(1)
;(3)
,
(4)法一:
用
得出结果为:
法二:
或
12、试给出一种计算积分
近似值的稳定性递推算法
解:
显然,In>0,n=1,2,…
当n=1时,得,
当n≥2时,由分部积分可得:
,n=2,3,…
另外,还有:
由递推关系In=1-nIn-1,可得计算积分序列{
}的两种算法:
①
n=2,3…
②
,
下面比较两种算法的稳定性
①若已知
的一个近似值
,则实际算得的
的近似值为
所以,
由此可以看出
的误差放大n倍传到了
,误差传播速度逐步放大
②由
计算
若已知
的一个近似值是
,则实际计算的
的近似值为
所以,
由此可以看出
的误差将缩小n倍传到了
,误差传播速度逐步衰减。
综上可看出,计算积分
的一种稳定性算法为
习题二
1、利用二分法求方程
[3,4]内的根,精确到
,即误差不超过
。
解:
令
,
,说明在[3,4]内有根,
利用二分法计算步骤
得出
,
满足精度要求
所以,
,共用二分法迭代11次。
2、证明
在[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不大于
的根。
证明:
令
,
所以,
由零点定理知,
在[0,1]内有一根
根据计算得出:
,此时共迭代15次。
4、将一元非线性方程
写成收敛的迭代公式,并求其在
附近的根,精确到
。
解:
令
令
=0,得到两种迭代格式
①
,不满足收敛定理。
②
,满足收敛定理
由方程写出收敛的迭代公式为
取初值为
,得出近似根为:
5、为方程
在
附近的一个根,设方程改写为下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
(1)
,迭代公式
;
(2)
,迭代公式
(3)
,迭代公式
解:
(1)利用局部收敛定理判断收敛性,判断初值
附近的局部收敛
(2)局部收敛
(3)不满足局部收敛条件
但由于
,所以
比
收敛的慢
取第二种迭代格式
取初值
,迭代9次得
7、用牛顿法求解
在初始值
临近的一个正根,要求
。
解:
令
由牛顿迭代法知:
迭代结果为:
0
1
2
3
2
1.88889
1.87945
1.87939
满足了精度要求,
8、用牛顿法解方程
,导出计算C的倒数而不用除法的一种简单迭代公式,用此公式求0.324的倒数,设初始值
,要求计算结果有5位有效数字。
解:
,由牛顿迭代公式
迭代结果为:
0
1
2
3
3
3.084
3.086418
3.086420
满足精度要求
所以,0.324的倒数为3.0864
11、用快速弦截法求方程
在
附近的实根,(取
=1.9,要求精度到
)。
解:
,
迭代结果:
0
1
2
3
4
2
1.9
1.881094
1.87941160
1.87939
满足精度要求
12、分别用下列方式求方程
在
附近的根,要求有三位有效数字
(1)用牛顿法,取
(2)用弦截法,取
(3)用快速弦截法,取
解:
求出的解分别为:
习题三
1、用高斯消元法解下列方程组
(1)
(2)
解:
(1)等价的三角形方程组为
,回代求解为
(2)等价的三角形方程组为
,回代求解为
2、将矩阵
作
分解。
解:
3、用
紧凑格式分解法解方程组
解:
,
.
4、用列主元的三角分解法求解
方程组
解:
5、用追赶法解三角方程组
,其中
.
解:
,
,
6.用改进的Cholesky分解法解方程组
解:
,
,
,
7、用改进的cholesky分解法解方程组
解:
,
,
8、设
求
。
解:
9、设
求
解:
,
,
10、设
,
,计算
,
及
,并比较
和
的大小。
解:
,
=10,
=9
11、给定方程
(1)写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式;
(2)证明Jacobi迭代法收敛而Gauss-Seidel迭代法发散;
(3)给定
,用迭代法求出该方程的解,精确到
。
解:
(1)Jacobi迭代公式
Gauss-Seidel迭代公式
(3)用Jacobi迭代得,
13、已知
,考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。
14、方程组
,其中
,
利用迭代收敛的充分必要条件确定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛的a的取值范围。
解:
Jacobi迭代矩阵为
当
得,
Gauss-Seidel迭代矩阵为:
当
得,
15、设方程组
分别用Gauss-Seidel迭代法和w=1.25的SOR法求解此方程,准确到4位有效数字(取
)
解:
Gauss-Seidel迭代法共迭代17次,此时近似解为
SOR法w=1.25时,迭代11次,此时的近似解为
16、用SOR方法解方程组(分别取松弛因子w=1.03,w=1,w=1.1)
精确解
,要求当
时,终止迭代,并且对每一个w值确定迭代次数。
解:
当w=1.03时,迭代5次,
当w=1时,迭代6次,
当w=1.1时,迭代6次,
习题四
1、设
,写出
的一次插值多项式
,并估计插值误差。
解:
,其中
2、给定函数表
-0.1
0.3
0.7
1.1
0.995
0.995
0.765
0.454
选用合适的三次插值多项式来近似计算
。
解:
⑴、求
,选用插值节点为
,
,
,用lagrange插值多项式为:
解得
⑵、求
,选用插值节点
,
,
,,
解得:
4、给定数据(
)
2.0
2.1
2.2
2.4
1.14214
1.449138
1.48320
1.54917
(1)试用线性插值计算
的近似值,并估计误差。
(2)试用二次Newton插值多项式计算
的近似值,并估计误差。
解:
(1)取
,
,
(2)写出二次Newton插值差商表
一阶差商
二阶差商
2.0
1.14214
2.1
1.449138
0.34924
2.2
1.48320
0.34062
-0.0431
5、给出函数值
x
0
1
2
3
4
y
0
16
46
88
0
试求各阶差商,并写出Newton插值多项式和差值余项。
解:
y
一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
0
0
1
16
16
2
46
30
7
3
88
21
-3
-5/2
4
0
-88
-109/3
-25/2
-7/6
6、给定数据表
0.125
0.25
0.375
0.500
0.625
0.750
0.79618
0.77334
0.74371
0.70413
0.65632
0.60228
试用三次牛顿差分插值公式计算
和
。
解:
⑴、求
,取
,
,
,h=0.125
差分表为
一阶差分
二阶差分
三阶差分
0.125
0.79618
0.25
0.77334
-0.02284
0.375
0.74371
-0.02963
-0.00679
0.5
0.70413
-0.03958
-0.00995
-0.00316
由公式
由牛顿插值公式有
⑵、求
,取
,
,
,h=0.125
一阶差分
二阶差分
三阶差分
0.375
0.74371
0.5
0.70413
-0.03958
0.625
0.65632
-0.04781
-0.00823
0.75
0.60228
-0.05404
-0.00623
0.002
求解得
9、给出sinx在[0,pi]的等距节点函数表,用线性插值计算sinx的近似值,使其截断误差为
,问该函数表的步长h应取多少才能满足要求?
解:
设插值节点为
,(i=0,1……h),
由
F(x)=sinx,
,所以
,即
所以
步长h应取为0.02才能满足要求。
14、已知实验数据如下
19
25
31
38
44
19.0
32.3
49.0
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