小学数学解题方法和倍问题差倍问题.docx
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小学数学解题方法和倍问题差倍问题
和倍问题差倍问题
和倍问题:
已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题。
解题关键:
找准标准数(即1倍数)一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数。
求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少。
根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系,再去求另一个数(或几个数)的数量。
解答和倍应用题的最好助手是,采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系,以便找到解题的途径;理解和倍问题中各个量之间的关系。
和倍问题 和÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数
差倍问题 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数
一、和倍问题例题
例1:
甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
集体讨论:
甲班和已班各占多少分,你能不能画出倍数图线?
分析与解答:
设乙班的图书本数为1份,则甲班图书为乙班的3倍,那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本,求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数,然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系:
解:
乙班:
160÷(3+1)=40(本)
甲班:
40×3=120(本)
或160-40=120(本)
答:
甲班有图书120本,乙班有图书40本。
这道应用题解答完了,怎样验算呢?
可把求出的甲班本数和乙班本数相加,看和是不是160本;再把甲班的本数除以乙班本数,看是不是等于3倍.如果与条件相符,表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。
验算:
120+40=160(本)
120÷40=3(倍)。
例2:
汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
分析:
大货车比小货车的5倍还多7辆,这7辆也在总数115辆内,为了使总数与(5+1)倍对应,总车辆数应(115-7)辆。
列式为(115-7)÷(5+1)=18(辆),18×5+7=97(辆)
例3:
甲班有图书120本,乙班有图书30本,甲班给乙班多少本,甲班的图书是乙班图书的2倍?
集体讨论:
你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗?
分析与解答:
解这题的关键是找出哪个量是变量,哪个量是不变量从已知条件中得出,不管甲班给乙班多少本书,还是乙班从甲班得到多少本书,甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍,那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法,先求出乙班现有图书多少本,再与原有图书本数相比较,可以求出甲班给乙班多少本书(见上图)。
解:
①甲、乙两班共有图书的本数是:
30+120=150(本)
②甲班给乙班若干本图书后,甲、乙两班共有的倍数是:
2+1=3(倍)
③乙班现有的图书本数是:
150÷3=50(本)
④甲班给乙班图书本数是:
50-30=20(本)
综合算式:
(30+120)÷(2+1)=50(本)
50-30=20(本)
答:
甲班给乙班20本图书后,甲班图书是乙班图书的2倍。
验算:
(120-20)÷(30+20)=2(倍)
(120-20)+(30+20)=150(本)。
例4:
光明小学有学生760人,其中男生比女生的3倍少40人,男、女生各有多少人?
分析与解答:
把女生人数看作一份,由于男生人数比女生人数的3倍还少40人,如果用男、女生人数总和760人再加上40人,就等于女生人数的4倍(见下图)。
解:
①女生人数:
(760+40)÷(3+1)=200(人)
②男生人数:
200×3-40=560(人)
或760-200=560(人)
答:
男生有560人,女生有200人。
验算:
560+200=760(人)
(560+40)÷200=3(倍)。
例5:
果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,求桃树、梨树和苹果树各有多少棵?
分析与解答:
下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵,那么就和梨树同样多了;再从桃树里减少12棵,那么就相当于梨树的2倍了,而总棵树则变为552+20-12=560(棵),相当于梨树棵数的4倍。
解:
①梨树的棵数:
(552+20-12)÷(1+1+2)
=560÷4=140(棵)
②桃树的棵数:
140×2+12=292(棵)
③苹果树的棵数:
140-20=120(棵)
答:
桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。
例6:
549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2,丁数除以2以后,则4个数相等.求4个数各是多少?
分析与解答:
上图可以看出,丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等,也就是丙数的2倍和丁数的一半相等,即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍,甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系,可以先求出丙数,再分别求出其他各数。
解:
①丙数是:
(549+2-2)÷(2+2+1+4)=549÷9=61
②甲数是:
61×2-2=120
③乙数是:
61×2+2=124
④丁数是:
61×4=244
验算:
120+124+61+244=549
120+2=122124-2=122
61×2=122244÷2=122
答:
甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.
例7:
甲水池有水2600立方米,乙水池有水1200立方米,如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池,那么多少分种后,乙水池中的水是甲水池的4倍?
解析:
(2600+1200)÷(1+4)=760…变甲
(2600-760)÷23=80分钟
例8.花园里的菊花、月季花、杜鹃花共1200棵,其中月季花是菊花的2倍,杜鹃花是菊花的3倍,求三种花各多少棵?
分析:
看图:
我们把菊花看作1份,总棵数是菊花的
份,所以菊花的棵数是
棵,月季花的棵数是
棵,杜鹃花的棵数是
棵。
解:
(棵)
(棵)
(棵)
例9学校购买840本图书,分给高、中、低三个年级,高年级分得的是低年级的3倍多5本,中年级分得的是低年级的2倍多1本,问:
高、中、低三个年级各分到多少本图书?
……低
……………………高
……………………中
二、和倍问题训练
1、典型基础题
(1)、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
(例1)
(2)、汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5倍多7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆?
(例2)
(3)、甲班有图书120本,乙班有图书30本,甲班给乙班多少本,甲班的图书是乙班图书的2倍?
(例3)
(4)、光明小学有学生760人,其中男生比女生的3倍少40人,男、女生各有多少人?
(例4)
(5)、果园里一共种340棵桃树和杏树,其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵?
2、提高练习
(1)、甲水池有水2600立方米,乙水池有水1200立方米,如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池,那么多少分种后,乙水池中的水是甲水池的4倍?
(例7)
3、奥数练习
(1)、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵,苹果树比梨树少20棵,求桃树、梨树和苹果树各有多少棵?
(例5)
(2)、549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2,丁数除以2以后,则4个数相等.求4个数各是多少?
(例6)
(3)、花园里的菊花、月季花、杜鹃花共1200棵,其中月季花是菊花的2倍,杜鹃花是菊花的3倍,求三种花各多少棵?
(例8)
(4)、学校购买840本图书,分给高、中、低三个年级,高年级分得的是低年级的3倍多5本,中年级分得的是低年级的2倍多1本,问:
高、中、低三个年级各分到多少本图书?
(例9)
三、差倍问题例题
例1、光明小学开展冬季体育比赛,参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍,比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人?
解析:
36÷(3-1)=18人;18×3=54人。
例2、已知两个数相除的商为4,相减的差是39,者两个数分别为多少?
解析:
39÷(4-1)=13…除数13+39=52…被除数
例3、仓库里存放大米和面粉两种粮食,面粉比大米多3900千克,面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克?
解析:
(3900-100)÷(2-1)=3800千克…大米
3800+3900=7700千克…面粉
例4、甲乙两根绳子,甲绳长63米,乙绳长29米,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?
各减去多少米?
分析:
两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的3倍,实比乙绳多(3-1)倍,以乙绳的长度为标准数。
列式(63-29)÷(3-1)=17(米)…
乙绳剩下的长度,17×3=51(米)…
甲绳剩下的长度,29-17=12(米)…剪去的长度。
例5、有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和等于2113,则被除数是多少?
(2003奥数初赛A卷)
解析:
(2113-17-13-13)÷(17+1)=115115×17+13==1968
例6、甲仓库存粮104吨,乙仓库存粮140吨,要使甲仓库是乙仓库的3倍,那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库?
(长春南关区86年6年级数学竞赛)
解析:
(104+140)÷(3+1)=61…变乙
140-61=79
例7、甲、乙两桶油重量相等,甲桶取走16千克油,乙桶加入14千克油后,乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍,甲桶原来有油多少千克?
(南京2届兴趣杯邀请赛预赛A卷)
解析:
(14+16)÷(4-1)=10千克
16+10=26千克
例8、有大、小两个水池,大水池里已有水300立方米,小水池里已有水70立方米,现在往两个水池里注同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍,问每个水池注入了多少立方米的水。
解析:
(300-70)÷(3-1)=115立方米
要注入的量:
115-70=45立方米
四、差倍问题训练
差倍问题:
已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题。
解题规律:
两个数的差÷(倍数-1)=标准数标准数×倍数=另一个数。
1、典型基础题
(1)、光明小学开展冬季体育比赛,参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍,比踢踺子的多36人。
参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人?
(例1)
(2)、已知两个数相除的商为4,相减的差是39,者两个数分别为多少?
(例2)
(3)、仓库里存放大米和面粉两种粮食,面粉比大米多3900千克,面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。
仓库有大米和面粉各多少千克?
(例3)
2、提高练习
(1)、甲乙两根绳子,甲绳长63米,乙绳长29米,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米?
各减去多少米?
(例4)
(2)、有大、小两个水池,大水池里已有水300立方米,小水池里已有水70立方米,现在往两个水池里注同样多的水后,大水池水量是小水池水量的3倍,问每个水池注入了多少立方米的水。
(例8)
3、奥数练习
(1)、有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和等于2113,则被除数是多少?
(2003奥数初赛A卷)(例5)
(2)、甲仓库存粮104吨,乙仓库存粮140吨,要使甲仓库是乙仓库的3倍,那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库?
(长春南关区86年6年级数学竞赛)(例6)
(3)、甲、乙两桶油重量相等,甲桶取走16千克油,乙桶加入14千克油后,乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍,甲桶原来有油多少千克?
(南京2届兴趣杯邀请赛预赛A卷)(例7)
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