二次函数和旋转周练.docx
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二次函数和旋转周练.docx
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二次函数和旋转周练
二次函数和旋转周练
一.选择题(共6小题)
1.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),对称轴l如图所示.则下列结论:
①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正确的结论是( )
A.①③B.②③C.②④D.②③④
2.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(﹣2,y1)、B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是( )
A.y1>0>y2B.y2>0>y1C.y1>y2>0D.y2>y1>0
3.若函数y=(m﹣1)x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为( )
A.﹣2或3B.﹣2或﹣3C.1或﹣2或3D.1或﹣2或﹣3
4.如图,将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE,点C的对应点E恰好落在AB延长线上,连接AD.下列结论一定正确的是( )
A.∠ABD=∠EB.AD∥BCC.∠CBE=∠CD.AD=BC
5.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转,使点B落在AB边上点B′处,此时,点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上,下列结论错误的是( )
A.B′C平分∠BB′A′B.∠ACB=2∠BC.∠B′CA=∠B′ACD.∠BCB′=∠ACA′
6.如图,△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形,若点C恰好落在AB上,且∠AOD的度数为90°,则∠B的度数是( )
A.40°B.60°C.50°D.70°
二.填空题(共6小题)
7.二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为 .
8.已知二次函数y=x2+(m﹣1)x+1,当x>1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 .
9.如下图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为 .
10.如下图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD,若∠AOB=15°,则∠AOD的度数是 .
11.如下图,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,若BE=2,DF=3,则AH的长为 .
12.如下图,在△ABC中,∠CAB=65°,在同一平面内,将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置,使得C′C∥AB,则∠B′AB等于 .
第12题
第11题
第10题
第9题
三.解答题(共8小题)
13.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标.
14.某商店购买一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半月内可以售出400件.据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高一元,销售量相应减少20件.如何提高销售价,才能在半月内获得最大利润?
15.如图所示,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连接
BG并延长交DE于F,将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′.
(1)判断四边形E′BGD是什么特殊四边形,并说明理由.
(2)由△BCG经过怎样的变换可得到△DAE′?
请说出具体的变换过程.
16.已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图,当点M与点A重合时,求抛物线的解析式;
(2)在
(1)的条件下,求点N的坐标和线段MN的长;
17.在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
18.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:
△COD是等边三角形;
(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:
当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
19.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(0,3),C(﹣1,0).将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线经过点C、M、N.解答下列问题:
(1)求直线BB′的函数解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上求出使的所有点P的坐标.
20.如图1,在平面直角坐标系中有一Rt△AOB,O为坐标原点,OA=1,B(0,3),将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线l:
y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线l的解析式及顶点G的坐标.
(2)①求证:
抛物线l经过点C.
②分别连接CG,DG,求△GCD的面积.
(3)在第二象限内,抛物线上存在异于点G的一点P,使△PCD与△CDG的面积相等,请直接写出点P的坐标.
参考答案:
DCCBAB
13.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式;
(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;
(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标.
解:
(1)把A(4,0),B(1,3)代入y=ax2+bx得,解得,
所以抛物线解析式为y=﹣x2+4x;
(2)当y=3时,﹣x2+4x=3,解得x1=1,x2=3,则C点坐标为(3,3),
所以△ABC的面积=×2×3=3;
(3)作PQ⊥BH,如图,设P(m,﹣m2+4m)
∵S△ABH+S梯形APQH=S△PBQ+S△ABP,
∴×3×3+(3+m﹣1)×(m2﹣4m)=×(m﹣1)×(3+m2﹣4m)+6,
整理得m2﹣5m=0,解得m1=0(舍去),m2=5,
∴P点坐标为(5,﹣5).
14.某商店购买一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半月内可以售出400件.据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高一元,销售量相应减少20件.如何提高销售价,才能在半月内获得最大利润?
解:
销售单价提高5元,才能在半月内获得最大利润4500元.
15.如图所示,在正方形ABCD中,G是CD上一点,延长BC到E,使CE=CG,连接
BG并延长交DE于F,将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′.
(1)判断四边形E′BGD是什么特殊四边形,并说明理由.
(2)由△BCG经过怎样的变换可得到△DAE′?
请说出具体的变换过程.
解:
(1)四边形E′BGD是平行四边形.
理由:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′,
∴CE=AE′,
∵CE=CG,
∴AE′=CG,
∴BE′=DG,
∴四边形E′BGD是平行四边形;
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°.
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠BCD=∠DCE=90°.
在△BCG和△DCE,
,
∴△BCG≌△DCE(SAS);
∴由△BCG绕点C顺时针旋转90°可得到△DCE,再绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′.
16.已知直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B,抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N.
(1)如图,当点M与点A重合时,求抛物线的解析式;
(2)在
(1)的条件下,求点N的坐标和线段MN的长;
解:
(1)∵直线y=2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B,
∴A(,0),B(0,﹣5).
当点M与点A重合时,∴M(,0),
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣)2,即y=﹣x2+5x﹣;
(2)N在直线y=2x﹣5上,设N(a,2a﹣5),又N在抛物线上,
∴2a﹣5=﹣a2+5a﹣,解得a1=,a2=(舍去),
∴N(,﹣4).
过点N作NC⊥x轴,垂足为C,如图1
,
∵N(,﹣4),
∴C(,0),
∴NC=4.MC=OM﹣OC=﹣=2,
∴MN===2.
17.在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
解:
(1)如图1,延长EB交DG于点H,
∵ABCD和AEFG为正方形,
∴在Rt△ADG和Rt△ABE中,
,
∴Rt△ADG≌Rt△ABE,
∴∠AGD=∠AEB,
∵∠HBG=∠EBA,
∴∠HGB+∠HBG=90°,
∴DG⊥BE;
(2)如图2,过点A作AP⊥BD交BD于点P,
∵ABCD和AEFG为正方形,
∴在△DAG和△BAE中,
,
∴△DAG≌△BAE(SAS),
∴DG=BE,
∵∠APD=90°,
∴AP=DP=,
∵AG=2,
∴PG==,
∴DG=DP+PG=+,
∵DG=BE,
∴BE=+.
18.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,连接OD.
(1)求证:
△COD是等边三角形;
(2)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:
当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?
(1)证明:
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴CO=CD,∠OCD=60°,
∴△COD是等边三角形.
(2)解:
当α=150°时,△AOD是直角三角形.
理由是:
∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC,
∴△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=150°,
又∵△COD是等边三角形,
∴∠ODC=60°,
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°,
∵∠α=150°∠AOB=110°,∠COD=60°,
∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°,
∴△AOD不是等腰直角三角形,即△AOD是直角三角形.
(3)解:
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,
∴190°﹣α=α﹣60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO.
∵∠OAD=180°﹣(∠AOD+∠ADO)=180°﹣(190°﹣α+α﹣60°)=50°,
∴α﹣60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD.
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α,
∠OAD==120°﹣,
∴190°﹣α=120°﹣,
解得α=140°.
综上所述:
当α的度数为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.
19.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(0,3),C(﹣1,0).将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线经过点C、M、N.解答下列问题:
(1)求直线BB′的函数解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上求出使的所有点P的坐标.
解:
(1)∵四边形OABC是矩形,
∴B(﹣1,3)
根据题意,得B′(3,1)
把B(﹣1,3),B′(3,1)代入y=mx+n中,,
解得,
∴y=﹣;
(2)由
(1)得,N(0,),M(5,0),
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把C(﹣1,0),M(5,0),N(0,)代入得
,
解得,
∴二次函数解析式为y=x2+2x+;
(3)∵S矩形OABC=3×1=3,
∴,
又∵B′C′=3,
∵B′(3,1),
∴点P到B′C′的距离为9,则P点的纵坐标为10或﹣8.
∵抛物线的顶点坐标为(2,),
∴P的纵坐标是10,不符合题意,舍去,
∴P的纵坐标是﹣8,
当y=﹣8时,﹣8=x2+2x+,
即x2﹣4x﹣21=0,
解得x1=﹣3,x2=7,
∴P1(﹣3,﹣8),P2(7,﹣8),
∴满足条件的点P的坐标是(﹣3,﹣8)和(7,﹣8).
20.如图1,在平面直角坐标系中有一Rt△AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线l:
y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线l的解析式及顶点G的坐标.
(2)①求证:
抛物线l经过点C.
②分别连接CG,DG,求△GCD的面积.
(3)在第二象限内,抛物线上存在异于点G的一点P,使△PCD与△CDG的面积相等,请直接写出点P的坐标.
解:
(1)将A(1,0)、B(0,3)代入抛物线的解析式得:
,解得:
b=﹣2,c=3.∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3.∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴抛物线的顶点G的坐标为(﹣1,4).
(2)①证明:
由旋转的性质可知;OC=OB=3,
∴C(﹣3,0).
当x=﹣3时,y=﹣(﹣3)2﹣2×(﹣3)+3=﹣9+6+3=0,
∴点抛物线l经过点C.
②如图1所示;过点G作GE⊥y轴.
∵GE⊥y轴,G(﹣1,4),
∴GE=1,OE=4.
∴S梯形GEOC=(GE+OC)•OE=×(1+3)×4=8.
∵由旋转的性质可知;OD=OA=1,
∴DE=3.
∴S△OCD=OC•OD=×3×1=,S△GED=EG•ED=×1×3=.
∴S△CDG=S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED=8﹣﹣=5.
(3)如图2所示:
过点G作PG∥CD,交抛物线与点P.
∵PG∥CD,
∴△PCD的面积=△GCD的面积.
∵OD=OA=1,
∴D(0,1).
设直线CD的解析式为y=kx+b.
∵将点C(﹣3,0)、D(0,1)代入得:
,解得:
k=,b=1,
∴直线CD的解析式为y=+1.
∵PG∥CD,
∴直线PG的一次项系数为.
设PG的解析式为y=x+b1.
∵将点G的坐标代入得:
+b1=4,解得:
b1=,
∴直线PG的解析式为y=+.
∵将y=+与y=﹣x2﹣2x+3联立.解得:
,,
∴P(﹣,).
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