高三数学文一轮复习讲解与练习34函数yAsinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含答案解析.docx
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高三数学文一轮复习讲解与练习34函数yAsinωx+φ的图象及三角函数模型的简单应用含答案解析
第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
1.以选择题的形式考查三角函数的图象变换及由图象确定解析式等,如2012年天津T7,浙江T6等.
2.与三角恒等变换相结合考查y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用且以解答题的形式考查,如2012年湖南T18等.
[归纳·知识整合]
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T=
f=
=
ωx+φ
φ
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图
用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:
x
-
-
+
-
ωx+φ
0
π
2π
y=Asin(ωx+φ)
0
A
0
-A
0
[探究] 1.用五点法作y=Asin(ωx+φ)的图象,应首先确定哪些数据?
提示:
先确定ωx+φ,即先使ωx+φ等于0,
,π,
,2π,然后求出x的值.
3.函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
法一 法二
[探究] 2.在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径,向左或向右平移的单位个数为什么不一样?
提示:
可以看出,前者平移|φ|个单位,后者平移
个单位,原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的,因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误.
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)为了得到函数y=3sin
的图象,只要把函数y=3sin
的图象上所有的点( )
A.向右平行移动
个单位长度
B.向左平行移动
个单位长度
C.向右平行移动
个单位长度
D.向左平行移动
个单位长度
解析:
选C ∵y=3sin
=3sin
,∴要得到函数y=3sin
的图象,应把函数y=3sin
的图象上所有点向右平行移动
π个单位长度.
2.(教材习题改编)y=2sin
的振幅、频率和初相分别为( )
A.2,
,-
B.2,
,-
C.2,
,-
D.2,
,-
解析:
选A 由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin
的振幅为2,周期为π,频率为
,初相为-
.
3.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动
个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
解析:
选C 将y=sinx的图象向右平移
个单位得到y=sin
的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin
的图象.
4.将函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移
个单位后,所得的函数恰好是偶函数,则φ的值是________.
解析:
函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移
个单位后,
得y=sin
,则
+φ=kπ+
.又0≤φ≤π,故φ=
.
答案:
5.函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.
解析:
由函数y=Asin(ωx+φ)的图象可知:
=
-
=
,
则T=
π.
∵T=
=
π,∴ω=3.
答案:
3
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例1] 已知函数y=2sin
,
(1)求它的振幅、周期、初相;
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;
(3)说明y=2sin
的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.
[自主解答]
(1)y=2sin
的振幅A=2,周期T=
=π,初相φ=
.
(2)令X=2x+
,则y=2sin
=2sinX.
列表,并描点画出图象:
x
-
X
0
π
2π
y=sinX
0
1
0
-1
0
y=2sin
0
2
0
-2
0
(3)法一:
把y=sinx的图象上所有的点向左平移
个单位,得到y=sin
的图象,再把y=sin
的图象上的点的横坐标缩短到原来的
倍(纵坐标不变),得到y=sin
的图象,最后把y=sin
上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin
的图象.
法二:
将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到y=sin2x的图象;再将y=sin2x的图象向左平移
个单位,得到y=sin2
=sin
的图象;再将y=sin
的图象上每一点的横坐标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin
的图象.
若将本例(3)中“y=sinx”改为“y=2cos2x”,则如何变换?
解:
y=2cos2x=2sin
y=2sin2x
y=2sin
,
即将y=2cos2x的图象向右平移
个单位即可得到
y=2sin
的图象.
—————
——————————————
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的作法
(1)五点法:
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,
,π,
π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象.
(2)图象变换法:
由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
1.(2012·山东高考)已知向量m=(sinx,1),n=
Acosx,
cos2x(A>0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(1)求A;
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移
个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在
上的值域.
解:
(1)f(x)=m·n
=
Asinxcosx+
cos2x=A
=Asin
.
因为A>0,由题意知A=6.
(2)由
(1)知f(x)=6sin
.
将函数y=f(x)的图象向左平移
个单位后得到
y=6sin
=6sin
的图象;
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的
倍,纵坐标不变,得到y=6sin
的图象.
因此g(x)=6sin
.
因为x∈
,所以4x+
∈
,
故g(x)在
上的值域为[-3,6].
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例2]
(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图
(1)所示,则f(0)=________.
(2)如图
(2)所示是函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B
图象的一部分,则f(x)的解析式为________.
图
(1) 图
(2)
[自主解答]
(1)由图可知
A=
.
∵
=
-
=
,
∴T=π.又∵T=
=π,
∴ω=2.
又图象过点
,
∴sin
=0.
由图可知
π+φ=2kπ+π,k∈Z.
∴φ=2kπ+
,k∈Z.
故f(x)=
sin
,f(0)=
sin
=
.
(2)由于最大值和最小值之差等于4,故A=2,B=1.
把(0,2)代入f(x),得2=2sinφ+1,取φ=
.
由图,可知0<ω<1,令ω(-π)+φ=-
+2kπ,
得ω=
.
所以函数的解析式是f(x)=2sin
+1.
答案:
(1)
(2)f(x)=2sin
+1
—————
——————————————
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤
(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A=
,b=
.
(2)求ω,确定函数的周期T,则ω=
.
(3)求φ,常用方法有:
①代入法:
把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法:
确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下:
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx+φ=
;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ=
;“第五点”为ωx+φ=2π.
2.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<
)的部分图象如图所示,直线x=
是它的一条对称轴,则函数f(x)的解析式为( )
A.f(x)=sin
B.f(x)=sin
C.f(x)=sin
D.f(x)=sin
解析:
选D ∵由题意可知,
=
-
=
,
∴T=π=
,∴ω=2.再将x=
代入B,D检验直线x=
是否是对称轴,得D选项正确.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用
[例3] 函数f(x)=6cos2
+
sinωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)=
,且x0∈
,求f(x0+1)的值.
[自主解答]
(1)由已知可得,f(x)=3cosωx+
sinωx=2
·sin
.
又正三角形ABC的高为2
,从而BC=4.
所以函数f(x)的周期T=4×2=8,即
=8,ω=
.
函数f(x)的值域为[-2
,2
].
(2)因为f(x0)=
,
由
(1)有f(x0)=2
sin
=
,
即sin
=
.
由x0∈
,
知
+
∈
,
所以cos
=
=
.
故f(x0+1)=2
sin
=2
sin
=2
=2
=
.
—————
——————————————
解决三角函数图象与性质的综合问题的方法
认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键.此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式,再来研究其性质,因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握.
3.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R
,其部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知横坐标分别为-1、1、5的三点M、N、P都在函数f(x)的图象上,求sin∠MNP的值.
解:
(1)由图可知,
最小正周期T=4×2=8,所以T=
=8,ω=
.
又f
(1)=sin
=1,且-
<φ<
,
所以-
<
+φ<
,所以
+φ=
,φ=
.
所以f(x)=sin
(x+1).
(2)因为f(-1)=sin
(-1+1)=0,
f
(1)=
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