高考数学理科一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案.docx
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高考数学理科一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案
高考数学(理科)一轮复习直线与直线的位置关系学案含答案
学案48 直线与直线的位置关系
导学目标:
1能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.自主梳理
1.两直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况.
(1)两直线平行
对于直线l1:
=1x+b1,l2:
=2x+b2,
l1∥l2⇔________________________
对于直线l1:
A1x+B1+1=0,
l2:
A2x+B2+2=0(A2B22≠0),
l1∥l2⇔________________________
(2)两直线垂直
对于直线l1:
=1x+b1,l2:
=2x+b2,
l1⊥l2⇔1•2=____
对于直线l1:
A1x+B1+1=0,
l2:
A2x+B2+2=0,
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=____
2.两条直线的交点
两条直线l1:
A1x+B1+1=0,
l2:
A2x+B2+2=0,
如果两直线相交,则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____;反之,如果这个方程组只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________,因此,l1、l2是否有交点,就看l1、l2构成的方程组是否有________.
3.有关距离
(1)两点间的距离
平面上两点P1(x1,1),P2(x2,2)间的距离|P1P2|=__________________________________
(2)点到直线的距离
平面上一点P(x0,0)到一条直线l:
Ax+B+=0的距离d=________________________
(3)两平行线间的距离
已知l1、l2是平行线,求l1、l2间距离的方法:
①求一条直线上一点到另一条直线的距离;
②设l1:
Ax+B+1=0,l2:
Ax+B+2=0,则l1与l2之间的距离d=________________
自我检测
1.(2011•济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x-3+1=0的距离为4,且点P在不等式2x+-3<0表示的平面区域内,则实数a的值为( )
A.7B.-7.3D.-3
2.若直线l1:
=(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )
A.(0,4)B.(0,2)
.(-2,4)D.(4,-2)
3.已知直线l1:
ax+b+=0,直线l2:
x+n+p=0,则abn=-1是直线l1⊥l2的( )
A.充分不必要条B.必要不充分条
.充要条D.既不充分也不必要条
4.(2009•上海)已知直线l1:
(-3)x+(4-)+1=0与l2:
2(-3)x-2+3=0平行,则的值是( )
A.1或3B.1或
.3或D.1或2
.已知2x++=0,则x2+2的最小值是________探究点一 两直线的平行与垂直
例1 已知两条直线l1:
ax-b+4=0和l2:
(a-1)x++b=0求满足以下条的a、b的值:
(1)l1⊥l2且l1过点(-3,-1);
(2)l1∥l2,且原点到这两条直线的距离相等.
变式迁移1 已知直线l1:
ax+2+6=0和直线l2:
x+(a-1)+a2-1=0,
(1)试判断l1与l2是否平行;
(2)l1⊥l2时,求a的值.
探究点二 直线的交点坐标
例2 已知直线l1:
4x+7-4=0,l2:
x+=0,l3:
2x+3-4=0当为何值时,三条直线不能构成三角形.
变式迁移2 △AB的两条高所在直线的方程分别为2x-3+1=0和x+=0,顶点A的坐标为(1,2),求B边所在直线的方程.
探究点三 距离问题
例3 (2011•厦门模拟)已知三条直线:
l1:
2x-+a=0(a>0);l2:
-4x+2+1=0;l3:
x+-1=0且l1与l2的距离是710
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条:
①点P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的12;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2∶
若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.
变式迁移3 已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1:
x++1=0,l2:
x++6=0截得的线段长为,求直线l的方程.转化与化归思想的应用
例 (12分)已知直线l:
2x-3+1=0,点A(-1,-2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线:
3x-2-6=0关于直线l的对称直线′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
【答题模板】
解
(1)设A′(x,),再由已知∴A′-3313,413[4分]
(2)在直线上取一点,如(2,0),则(2,0)关于直线l的对称点′必在直线′上.设对称点′(a,b),则得′613,3013[6分]
设直线与直线l的交点为N,则由
得N(4,3).
又∵′经过点N(4,3),∴由两点式得直线′的方程为9x-46+102=0[8分]
(3)方法一 在l:
2x-3+1=0上任取两点,
如(1,1),N(4,3),则,N关于点A(-1,-2)的对称点′,N′均在直线l′上,
易得′(-3,-),N′(-6,-7),[10分]
再由两点式可得l′的方程为2x-3-9=0[12分]
方法二 ∵l∥l′,∴设l′的方程为2x-3+=0(≠1),
∵点A(-1,-2)到两直线l,l′的距离相等,∴由点到直线的距离公式得
|-2+6+|22+32=|-2+6+1|22+32,解得=-9,[10分]
∴l′的方程为2x-3-9=0[12分]
方法三 设P(x,)为l′上任意一点,
则P(x,)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-),[10分]
∵点P′在直线l上,∴2(-2-x)-3(-4-)+1=0,
即2x-3-9=0[12分]
【突破思维障碍】
点关于直线对称是轴对称中最基本的,要抓住两点:
一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称.
【易错点剖析】
(1)点关于线对称,不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题.
(2)线关于线对称,不能转化为点关于线的对称问题;线关于点的对称,不能转化为点关于点的对称问题.1.在两条直线的位置关系中,讨论最多的还是平行与垂直,它们是两条直线的特殊位置关系.解题时认真画出图形,有助于快速准确地解决问题.判断两直线平行与垂直时,不要忘记考虑斜率不存在的情形,利用一般式则可避免分类讨论.
2.运用公式d=|1-2|A2+B2求两平行直线间的距离时,一定要把x、项系数化为相等的系数.
3.对称思想是高考热点,主要分为中心对称和轴对称两种,关键要把握对称问题的本质,必要情况下可与函数的对称轴建立联系.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.直线3x+2+4=0与2x-3+4=0( )
A.平行B.垂直
.重合D.关于直线=-x对称
2.(2011•六安月考)若直线x+a-a=0与直线ax-(2a-3)-1=0互相垂直,则a的值是( )
A.2B.-3或1.2或0D.1或0
3.已知直线l的倾斜角为3π4,直线l1经过点A(3,2)、B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:
2x+b+1=0与直线l1平行,则a+b等于( )
A.-4B.-2.0D.2
4.P点在直线3x+-=0上,且点P到直线x--1=0的距离为2,则P点坐标为( )
A.(1,2)B.(2,1)
.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(-1,2)
.设两条直线的方程分别为x++a=0,x++b=0,已知a、b是方程x2+x+=0的两个实根,且0≤≤18,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A24,12B2,22
2,12D22,12
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011•重庆云阳中学高三月考)直线l1:
x++6=0和l2:
3x-3+2=0,若l1∥l2,则的值为______.
7.设直线l经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线l的距离最大时,直线l的方程为______________.
8.若直线被两平行线l1:
x-+1=0与l2:
x-+3=0所截得的线段的长为22,则的倾斜角可以是
①1° ②30° ③4° ④60° ⑤7°
其中正确答案的序号是________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011•福州模拟)为何值时,直线l1:
=x+3-2与直线l2:
x+4-4=0的交点在第一象限.
10.(12分)已知点P1(2,3),P2(-4,)和A(-1,2),求过点A且与点P1,P2距离相等的直线方程.
11.(14分)(2011•杭州调研)过点P(3,0)作一直线,使它夹在两直线l1:
2x--2=0与l2:
x++3=0之间的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程.自主梳理
1.
(1)1=2且b1≠b2 A1A2=B1B2≠12
(2)-1 0
2.解 交点 唯一解 3
(1)x2-x12+2-12
(2)|Ax0+B0+|A2+B2 (3)②|1-2|A2+B2
自我检测
1.D 2B 3A 4堂活动区
例1 解题导引 运用直线的斜截式=x+b时,要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.运用直线的一般式Ax+B+=0时,要特别注意A、B为0时的情况,求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系,联立方程组求解,对斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法研究.
解
(1)由已知可得l2的斜率必存在,且2=1-a
若2=0,则a=1由l1⊥l2,l1的斜率不存在,∴b=0
又l1过(-3,-1),∴-3a+b+4=0,
∴b=3a-4=-1,矛盾.∴此情况不存在,即2≠0
若2≠0,即1=ab,2=1-a
由l1⊥l2,得12=ab(1-a)=-1
由l1过(-3,-1),得-3a+b+4=0,
解之得a=2,b=2
(2)∵l2的斜率存在,l1∥l2,∴l1的斜率存在,
∴1=2,即ab=1-a
又原点到两直线的距离相等,且l1∥l2,
∴l1、l2在轴上的截距互为相反数,即4b=b
解之得a=2,b=-2或a=23,b=2
∴a、b的值为2和-2或23和2
变式迁移1 解
(1)方法一 当a=1时,
l1:
x+2+6=0,
l2:
x=0,l1与l2不平行;
当a=0时,l1:
=-3,l2:
x--1=0,l1与l2不平行;
当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:
=-a2x-3,
l2:
=11-ax-(a+1),
l1∥l2⇔-a2=11-a,-3≠-a+1, 解得a=-1,
综上可知,a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行.
方法二 由A1B2-A2B1=0,
得a(a-1)-1×2=0
由A12-A21≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,
∴l1∥l2⇔aa-1-1×2=0aa2-1-1×6≠0⇔a2-a-2=0,aa2-1≠6
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