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27多元微分学的几何应用
高等数学AⅠ
吉林大学数学学院金今姬
第二章多元函数的微分学及其应用
一、偏导数
二、全微分
三、复合函数的微分法
四、隐函数微分法
五、方向导数与梯度
六、多元微分学的几何应用
七、多元函数的Taylor公式与极值问题
§7多元微分学的几何应用
7.1空间曲线的切线与法平面
7.2曲面的切平面与法线
复习:
平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线(xfy=,(00yx切线方程0yy−法线方程0yy−若平面光滑曲线方程为,0,(=yxF,(,(ddyxFyxFxyyx−=故在点,(00yx切线方程法线方程(0yy−,(00yxFy+(,(000xxyxFx−0=
((00xxxf−′=(
(100xxxf−′−=在点有
有
因0
(,(000=−−yyyxFx,(00yxFy(0xx−
7.1空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.ΓTMπ
空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限平面.
1.曲线方程为参数方程的情况(,(,(:
tztytxωψϕ===Γz
zzyyyxxx∆−=∆−=∆−000,t∆上述方程之分母同除以得令,0→∆t切线方程000zzyyxx−=−=−
,(0000zyxMtt对应设=,,(0000zzyyxxMttt∆+∆+∆+′∆+=对应(0tϕ′(0tψ′
(0tω′TMΓ
M′
:
的方程割线MM′
((00xxt−′ϕ此处要求(,(,(000tttωψϕ′′′也是法平面的法向量,切线的方向向量:
称为曲线的切向量.((00yyt−′+ψ0
((00=−′+zztω如个别为0,则理解为分子为0.πΓM不全为0,
(,(,((000tttTωψϕ′′′=T因此得法平面方程o(trT切线方程000zzyyxx−=−=−(0tϕ′(0tψ′
(0tω′
例7.1求曲线32,,tztytx===在点(1,1,1处的切线与法平面方程.解:
(((((,3,2,1,,2'''tttztytx=点(1,1,1对应于参数t=1,故曲线在点(1,1,1处的切向量
(((((.
3,2,11,1,1'
''==zyxs所求切线方程为,3
12111−=−=−zyx法平面方程为(((,
013121=−+−+−zyx即.0632=−++zyx
2.曲线为一般式的情况((,,:
xzzxyy==Γ光滑曲线取x为参数,((,,,:
xzzxyyxx===Γ根据上述情形的结论,在点M处的切向量为(((,,,10'
0'xzxys=切线方程为((,10'00'00xzzzxyyyxx−=−=−法平面方程为(((((.000'
00'0=−+−+−zzxzyyxyxx
光滑曲线⎩⎨⎧==Γ0
,(0,,(:
zyxGzyxF当0,(,(≠∂∂=zyGFJ⎩⎨⎧==((xzxyψϕ=xydd曲线上一点,,(000zyxMxyz
且有=xzdd,,(,(1xzGFJ∂∂,,(,(1yxGFJ∂∂时,Γ可表示为处的切向量为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂=MMyxGFJxzGFJ,(,(1,,(,(1,1{}
(,(,100xxTψϕ′′=3.空间曲线的情况
000zzyyxx−=
−=
−M
zyGF
(,(∂∂则在点,,(000zyxM切线方程
法平面方程
有M
zyGF,(
(∂∂M
xzGF
(,(∂∂M
yxGF,(,(∂∂(0xx−M
yxGF
(,(∂∂+
M
xzGF,(
(∂∂+
(0yy−0
(0=−zz或
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=MM
MyxGFxzGFzyGFT,(,(,,(,(,,(,(
为了便于记忆,用行列式记为
⎭⎬
⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=MM
MyxGFxzGFzyGFT,(,(,,(,(,,(,(M
z
yxzyx
GGGFFFkjiT=
((((
((0
00
=−−−MGMGMGMFMFMFzzyyxxzyxzyx也可表为
(,(
((,(,(00yyM
xzGFxxMzyGF−∂∂+−∂∂法平面方程
0(,(
(0=−∂∂+zzMyxGF
例7.2求曲线0,1022
22=++=++zyxzyx在点
M(1,–2,1处的切线方程与法平面方程.
切线方程1
10211−−=+=−zyx解法1令,,1022
2
2
zyxGzyxF++=−++=则
即⎩⎨⎧=+=−+0202yzxMzy
xzyx
GGGFFFkjiT=M
zyxkji111242=111282−=k
ji(.
1,0,110−−=
法平面方程0
1(2(01(=−−+⋅+−zyx即0=−zxxx
zzxyy−=+dddd2解法2.方程组两边对x求导,得1dddd−=+x
z
xy1
1
2112ddzyx
yx
z−−=1
1
2ddzyxy=曲线在点M(1,–2,1处有:
切向量解得
11−−zx,2zyxz−−=zyyx−−=221,0,1(−=⎟⎠⎞⎜⎝
⎛=MMxzxyTdd,dd,1
切线方程
121−=+=−zyx即⎩
⎨⎧=+=−+0202yzx法平面方程01(1(2(01(1=−⋅−++⋅+−⋅zyx即
0=−zx点M(1,–2,1处的切向量
01−1
1,0,1(−=T
当空间曲线(((tzztyytxx===Γ,,:
给出时,若(((tztytx''',,连续且不同时为零,则曲线上每一点处都有切线,并且切线随着切点的移动而连续地变动,称为光滑曲线.
当空间曲线((xzzxyy==Γ,:
给出时,若((
xzxy'',连续,则此曲线是光滑曲线.
当空间曲线⎩⎨⎧==Γ0
,(0,,(:
zyxGzyxF给出时, 若F,G是类函数且Jacobi行列式不同时为零时,则此曲线是光滑曲线.
((((((
yxGFxzGFzyGF,,,,,,,,∂∂∂∂∂∂(1C
,(:
=ΣzyxF1.设有光滑曲面通过其上定点,,(000zyxM0tt=设对应点M,(,(,(000tttωψϕ′′′切线方程为
(((000000tzztyytxxωψϕ′−=′−=′−不全为0.则Γ在,(,(,(:
tztytxωψϕ===Γ且点M的切向量为任意引一条光滑曲线MΓ
T下面证明:
此平面称为∑在该点的切平面.
∑上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.
(,(,((000tttTωψϕ′′′=7.2曲面的切平面与法线
MΓT证:
在∑上,
(,(,(:
tztytxωψϕ===Γ∵0(,(,((≡∴tttFωψϕ,0处求导两边在tt=,
0Mtt对应点注意=(0tω′0
=,,(000zyxFx,,(000zyxFy+,,(000zyxFz+(0tϕ′
(0tψ′得
(,(,((000tttTωψϕ′′′=,,(,,,(,,,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx=令n
T⊥切向量由于曲线Γ的任意性,表明这些切线都在以为法向量n的平面上,从而切平面存在.
n
(,,(0000xxzyxFx−曲面∑在点M的法向量
法线方程
000zzyyxx−=−=−
(,,(0000yyzyxFy−+0(,,(0000=−+zzzyxFz切平面方程
,(000zyxFx,,(000zyxFy
,(000zyxFzMΓTn
,(,,,(,,,((,,(000000000000zyxFzyxFzyxFzyxFnzyx=∇=
(,(000xxyxfx−曲面时,,(yxfz=z
yxfzyxF−=,(,,(则在点,,,(zyx故当函数,(yxf,(00yx1
(,(0000000−−=−=−zzyxfyyyxfxxyx法线方程,yyfF=1−=zF令
有
在点,,(000zyxΣ2.当光滑曲面∑的方程为显式在点有连续偏导数时,(,(000yyyxfy−+=−0zz,xxfF=切平面方程
γβα,,法向量用2
211
cosyxff++=γ将,(,,(0000yxfyxfyx,,yxff法向量的方向余弦:
表示法向量的方向角,并假定法向量方向.
为锐角则γ分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff++−=++−=
βα向上,1,,(,,((0000yxfyxfnyx−−=
例7.4求椭圆抛物面222yxz+=在点M(1,-1,3处的切平面方程和法线方程.
解:
因(
(1,1''1,,−−=yxzzn(,
1,4,2−−=故所求切平面方程为(((,
031412=−−+−−zyx即
.0342=−−−zyx法线方程为.134121−−=−+=−zyx
3.设曲面∑的参数方程为
(((,
,,,,vuzzvuyyvuxx===记((0,,PvuzyA∂∂=((0,,PvuxzB∂∂=((
0,,PvuyxC∂∂=不妨设由隐函数存在定理,方程组x=x(u,v,y=y(u,v在点(x0,y0,u0,v0的某一邻域唯一确定一组隐函数u=u(x,y,v=v(x,y,并且在(x0,y0处,.0≠C.,,,CxvCxuCyvCyuuyvyuxvx=−=−==将u=u(x,y,v=v(x,y,代入z=z(u,v得z=z(u(x,y,,v(x,y.
z=z(u(x,y,,v(x,y.在(x0,y0处对x,y求偏导,由连锁规则,有
(,1CAyzyzCvzuzzuvvuxvxux−=−=⋅+⋅=(.1CBxzxzCvzuzzuvvuyvyuy−=+−=⋅+⋅=曲面∑在点M0的法向量为(,1,,1,,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−CBCAzzyx(.,,CBAn=或
0Pvvvuuu
zyxzyxkji
n=
切平面方程为(((,
0000=−+−+−zzCyyBxxA法线方程为
.0
00C
zzByyAxx−=−=−0
Pv
vvuuu
zyxzyxkjin=
例7.5求曲面3
322,,vuzvuyvux+=+=+=在对应于u=1,v=-1的点处的切平面方程.
解:
曲面上对应于u=1,v=-1的点为M(0,2,0,在该点
故所求切平面方程为(,
0203=−−⋅+zyx即
.03=−zx(
1,1''''''−v
vvuuuzyxzyxkji(
1,12
2
321321−=v
vu
uk
ji3
21321−=kji(,
4,0,12−=
当曲面(0,,:
=∑zyxF给出时,若''',,z
y
x
F
FF连续且不同时为零,则曲面上每一点处都有切平面和
法线,并且法线随着切点的移动而连续地变动,称为光滑曲面.
z
y
x
o
1.
求圆柱螺旋线
ϕϕϕkzRyRx===,sin,cos2
π
ϕ=
对应点处的切线方程和法平面方程.
2
时当πϕ=切线方程=−Rx
法平面方程xR−022=+−kzkxRπ即
⎩⎨
⎧=−=−+0
2
RykRzRxkπ即
解:
由于,sinϕRx−=′0Ry−k
kz2π
−=
cosϕRy=′,kz=′,,0(2
0kRMπ对应的切向量为0
(2=−+kzkπ
在,0,(kRT−=,故
2.确定正数σ使曲面σ=zyx2
22zyx++在点,,(000zyxM解:
二曲面在M点的法向量分别为
二曲面在点M相切,故0
00000000zyxyzxxzy==0x2
2
02
0zyx==∴
又点M在球面上,3
2
2
02
02
0azyx===故于是有
000zyx=σ2a
=相切.3
33
a=
与球面,,,(0000001yxzxzyn=,,(0002zyxn=21//nn,因此有
20y20
z2
3.如果平面01633=+−+zyxλ与椭球面相切,提示:
设切点为,,,(000zyxM则
223yx+.λ求000226zyx==3λ3
−01633000=+−+zyxλ163202020=++zyx2
±=λ162=+z(二法向量平行(切点在平面上(切点在椭球面上
证明曲面(xyfxz=上任一点处的切平面都通过原点.提示:
在曲面上任意取一点,,,(000zyxM则通过此=−0zz(0xxxzM−∂∂(0yyyzM−∂∂+4.设f(u可微,证明原点坐标满足上述方程.
点的切平面为
5.证明曲面0,(=−−ynzymxF与定直线平行,.,(可微其中vuF证:
曲面上任一点的法向量
1F′,((21nFmF−⋅′+−⋅′2F′取定直线的方向向量为,m,1n则(定向量
故结论成立.的所有切平面恒(=n(=l,0=⋅nl
6.求曲线⎩⎨⎧=−+−=−++04532032
22zyxxzyx解:
点(1,1,1处两曲面的法向量为2,2,1(−=因此切线的方向向量为
1,9,16(−=由此得切线:
111−=−=−zyx1691
−法平面:
0
1(1(91(16=−−−+−zyx0
24916=−−+zyx即与法平面.
1,1,1(12,2,32(zyxn−=
5,3,2(2−=n21nnl×=在点(1,1,1的切线
作业:
习题2.6
(A1(1(4,3(1,5;
(B2.
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- 27 多元 微分学 几何 应用