学年浙江省湖州市高一下学期期中考试数学试题解析版.docx
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学年浙江省湖州市高一下学期期中考试数学试题解析版
2016-2017学年浙江省湖州市高一下学期期中考试数学试题
一、选择题
1.在等差数列
中,若
,
,则
A.6B.4C.0D.-2
【答案】D
【解析】由题意
2.如图,已知向量
,那么下列结论正确的是()
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】根据向量加法的三角形法则,
向量首尾顺次相连,所以根据图形可知,
与向量
反向且相等,所以
.故选择B.
3.用数学归纳法证明
(
)时,第一步应验证不等式为()
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】根据命题可知,不等式左边共
项,所以第一步验证当
时,左边应取3项.故选择D.
4.已知平面向量
与
的夹角等于
,
,则
A.2B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
.
5.在
中,内角
,
,
所对的边分别是
,
,
,若
,
,
则
A.
B.
或
C.
D.
或
【答案】B
【解析】由正弦定理
得
或
.
点晴:
本题考查的是应用正弦定理解三角形.解决这类题的关键是一方面三角形中的正弦定理对应有两个角,锐角或者是钝角,不能丢掉其中一种情况;另一方面要借助三角形中大边对大角,进行取舍,本题中
又
,所以角
可以取两种情况,所以
或
.
6.已知等比数列
中,
,则前9项之和等于()
A.50B.70C.80D.90
【答案】B
【解析】试题分析:
等比数列中,依次k项和成等比数列,
=(
)
=10,所以前9项之和为70,选B.
【考点】本题主要考查等比数列的性质、求和公式。
点评:
简单题,等比数列的性质散见在例题、练习之中,应注意汇总总结。
7.已知向量
满足
,且
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等,则
等于
A.
B.3C.
D.5
【答案】A
【解析】
在
方向上的投影与
在
方向上的投影相等,设这两个向量的夹角为
则
.
8.已知数列
满足
,
,则
的值为
A.0B.18C.96D.600
【答案】C
【解析】由题{
为等差数列,即
,所以
,所以
.
9.已知数列
是各项均不为0的正项数列,
为前
项和,且满足
,
,若不等式
对任意的
恒成立,求实数
的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由
得
整理得
数列
是各项均不为0的正项数列,
由
令
可得
,
不等式
即
当
为偶数时,
,
当
为奇数时,
,
单调递增,
取最小
,
,综上可得
,所以实数
的最大值为
.
点睛:
本题考查了数列通项的求法和数列求和,
(1)中是由
的关系求通项,要注意分
和
两种情况讨论,并且最后结果要看两种情况最后能否合并,根据情况写出正确的通项公式的表达形式;
(2)转化为
恒成立,要分
为偶数和
为奇数两种情况下求
的范围,再取交集.
10.在
中,
,点
在
上,
,
是
的中点,
,
,则
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】
在
和
中,由正弦定理可得
.
二、填空题
11.已知向量
,且
,则
______,
_____.
【答案】5,
【解析】由题
,
.
12.在
中,内角
,
,
所对的边分别是
,
,
,若
,
,
则
____,
的面积
____.
【答案】1
【解析】由余弦定理
.
13.已知等差数列
中,
,
,则公差
______,
______.
【答案】2193
【解析】
.
14.在
中,内角
,
,
所对的边分别是
,
,
,若
,
,
,则
______,
____.
【答案】-1
【解析】
.
为锐角.由
可得
由正弦定理
得
.
15.已知向量
,
,点
在
内,且
,设
,则
_______.
【答案】
【解析】∵
,
即
.
又点
在
内,
.
16.已知数列
的前
项和
满足
,则
_______.
【答案】961
【解析】因为
,故当
时,
两式相减得
即
,故等比数列的公比为
所以
;由
点睛:
本题考查了数列通项的求法和数列求和,
(1)中是由
的关系求通项,要注意分
和
两种情况讨论,并且最后结果要看两种情况最后能否合并,根据情况写出正确的通项公式的表达形式;
(2)的求和,,由
所以从第6项开始各项为正,前五项为负,分组求和即可.
17.
是
所在平面上的一点,内角
所对的边分别是3、4、5,且
.若点
在
的边上,则
的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题知
为直角三角形,以
为原点,
所在直线为轴建立坐标系,则
设
由
可得
则
为
乘以
在
方向上的投影,所以当
重合时取最大为10,
重合时取最小时为-5.所以
的取值范围为
.
点晴:
平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数
量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.
三、解答题
18.已知向量
是同一平面内的三个向量,其中
.
(Ⅰ)若
,且
,求向量
的坐标;
(Ⅱ)若
,且
,求
与
的夹角
.
【答案】
(1)
,或
;
(2)
.
【解析】试题分析:
(1)设
则由条件可得
可得向量
的坐标.
(2)由条件利用两个向量垂直的性质求得
可得
与
的夹角
余弦值.
试题解析:
(1)设
,由
,且
可得
所以
或
故
,或
(2)因为
,且
,所以
即
,所以
,
故
19.在
中,角
的对边分别是
,已知
.
(Ⅰ)求角
的大小;
(Ⅱ)若
,
,求
的面积.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】试题分析:
(1)根据余弦定理
,可得角
的大小;
(2)由余弦定理可得
的值,利用三角形面积公式即可求解.
试题解析:
(1)∵
,
,
,…4分
(2)∵
,所以
,,
∴
,
20.等比数列
的各项均为正数,且
,数列
满足
.
(Ⅰ)求数列
,
的通项公式;
(Ⅱ)求设
,求数列
的前
项和
.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】试题分析:
(1)根据题干中给出的
之间的关系,解出公比和首项,从而得到等比数列的通项公式,将
的通项公式代入到
中可得
;
(2)由
(1)可得
,分组求和即可.
试题解析:
(1)因为等比数列
中
,故
,
,故
,又因为
,所以
,
(2)因为数列
,令数列
前
项和
,数列
自前
项和为
则
,
点睛:
本题考查了数列求和,一般数列求和方法
(1)分组转化法,一般适用于等差数列加等比数列,
(2)裂项相消法求和,如
形式,(3)错位相减法求和,一般适用于等差数列乘以等比数列,(4)倒序相加法求和,一般距首末两项的和是一个常数,这样可以正着写和和倒着写和,两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
21.在锐角
中,角
所对的边分别是
,且
.
(Ⅰ)求角
的大小;
(Ⅱ)求
的范围.
【答案】
(1)
;
(2)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由条件可得
,因为
是锐角三角形,从而得到
,
.
(Ⅱ)利用诱导公式、两角和差的余弦公式化简
为
由角
的范围求出
的范围,即可得到
的取值范围.
试题解析:
(1)因为
,
所以
因为
,
所以
,
,所以
,因为
是锐角三角形,所以,
,
(2)因为
,所以
,
因为
是锐角三角形,所以
,
的范围
点晴:
本题考查的是三角恒等变换及三角函数的图像和性质.第一问的关键是,是由正弦定理结合三角形内角和及两角和的正弦公式求得
,结合
是锐角三角形,求得
,第二问中化两角为一角
,利用
是锐角三角形,求出
角范围即可求解.
22.已知数列
满足
.
(Ⅰ)若数列
是常数列,求
的值;
(Ⅱ)当
时,求证:
;
(Ⅲ)求最大的正数
,使得
对一切整数
恒成立,并证明你的结论.
【答案】
(1)
;
(2)见解析;(3)1.
【解析】试题分析:
(1)
.
(2)由条件得
得
,
又
显然有
,所以
与
同号,而
所以
即
.
(3)先由
猜测
.然后用数学归纳法证明即可.
试题解析:
(1)若数列
是常数列,则
;显然,当
时,有
(2)由条件得
得
,
又因为
两式相减得
显然有
,所以
与
同号,而
所以
;
从而有
(3)因为
,
所以
.这说明,当
时,
越来越大,不满足
,所以要使得
对一切整数n恒成立,只可能
.下面证明当
时,
恒成立;用数学归纳法证明:
当
时,
显然成立;假设当
时成立,即
则当
时,
成立,
由上可知对一切正整数
恒成立.因此,正数
的最大值是1.
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