矩阵论杨明华中科技大学课后习题答案.docx
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矩阵论杨明华中科技大学课后习题答案
(2)由åxk=0¥k=(1-x-1得1æ¥kö¢æ1ö¢k-1kx=åçåx÷=ç1-x÷=(1-x2øk=1èk=0øè¥,x<1所以åkAk=1¥k-1=(I-A)-2æç40ç9=ç0ç4çç00èö0÷÷27÷4÷9÷÷4øæ12-6öç÷AtA8.A=10-3,求e,e,sinA。
ç÷ç11-4÷èø解:
由lI-A=-(l+1)3A的特征值l1=l2=l3=-1由此得æ-1çP=ç1ç0è211-11ö÷0÷÷0ø,P-1æ01-ç=ç00ç11-èö1÷÷1÷3øæ-1öç÷A=PJAP=Pç-11÷P-1ç-1÷èøæe-1çAA对f(A=e,e=Pççè对f(A=e,eAtAte-1öæ32-6ö÷ç÷e-1÷P-1=e-1ç12-3÷ç11-2÷e-1÷èøøö-6töæ2t+12t÷-1÷-tçte÷P=eçt1+t-3t÷çte-t÷t1-3t÷èøø-tæe-tç=Pççèe-t对f(A=sinA,
2cos1-6cos1öæsin(-1öæ2cos1-sin1ç÷-1÷-tçSinA=Pçsin(-1cos(-1÷P=eçcos1cos1-sin1-3cos1÷ççsin(-1÷cos1cos1-sin1-3cos1÷èøèø9.已知A2=A,求sinA。
解:
设l为A的特征值,X¹0为特征向量由得lX=AX=A2X=A(AX=lAX=l2Xl1=1,l2=0因A2=A,故有A(A-I=0于是g(l=l(l-1为矩阵A的化零多项式(最小多项式),且为一次银子乘积,所以A可对角化即有æIA=Pçrè这里rank(A=rö-1÷P0øææIsinA=Pçsinçrèèöö-1÷÷P0øøæsin1ççç=Pçççççèsin10ö÷÷÷-1÷P÷÷÷0÷øæI=Psin1çrè10.求解微分方程组ö-1æIr÷P=sin1Pç0øèö-1÷P=(sin1A0øìæ3-11öæ0öïç÷ç÷+ç÷0ïX(t=ç20-÷1Xt(íç1-12÷çe2t÷èøèøïTïX(0=(11)1î解:
212tæ13töç2-(9t+2e+16e÷ç÷1ç592t3t÷X(t=-(9t+e+8e÷6ç22ç÷2t3t1-3e+8eç÷ç÷èø习题五æ120öç÷+1.设A=001,求Aç÷ç122÷èøæ120öæ120öç÷ç÷解:
A=ç001÷®ç001÷=Fç122÷ç000÷èøèø取矩阵A的第1、3列构成列满秩矩阵B,取矩阵F第1、2行构成行满秩矩阵Cæ10öç÷æ120öA=BC=ç01÷ç÷ç12÷è001øèøæ5-21ö1ç÷A=C(CC(BBB=ç10-42÷30ç÷è-101010ø+TT-1T-1T2.证明非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是AAb=b。
证明:
必要性设AX=b有解,由A=AAA得,(AAAX=b,即有+++(AA+b=b充分性设AAb=b,则有A(Ab=b,令x0=Ab,于是Ax0=b,故方程组Ax=b有解+++
x0=A+b3.设AÎRm´n,且A的n个列是标准正交的,证明A=A。
TT+证明:
因为矩阵A的n个列向量是标准正交的,则矩阵A为列满秩的矩阵,且有AA=I于是A+=(ATAAT=AT4.A是幂等且为Hermite矩阵,证明A=A。
证明:
因为A=A,且A2H+=A,矩阵A是正规阵,可酉相似对角阵,即æIUHAU=çrè0于是0ö÷,U为酉矩阵,并设rank(A=r0øæIr0öH÷U=Uç0øè00öH÷U=A0øæI-1A+=Uçrè0æ020öæx1öæ1öç÷ç÷ç÷5.求线性方程组102x2=1的最佳的最小二乘解。
ç÷ç÷ç÷ç010÷çx÷ç1÷èøè3øèøæ010ö1ç÷解:
A=201÷ç5ç÷è020ø+æ1öç÷æ1öç5÷3+ç÷最佳最小二乘解为A1=ç÷ç÷ç5÷ç1÷ç÷èø2çç÷÷è5ø
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