中点问题.docx
- 文档编号:3953225
- 上传时间:2022-11-26
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:173.72KB
中点问题.docx
《中点问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中点问题.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
中点问题
中点问题
过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。
∵CF∥AD
∴∠BAC=∠ACF
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF
∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF
∵D为AB中点
∴AD=BD
∵AD=CF、AD=BD
∴BD=CF
∵BD∥CF、BD=CF
∴BCFD是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
∴在平行四边形ADCF中DE=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
(五)已知平行,有一个中点,证另外一个也是中点
到了九年级,这个直接用相似就可以证,现在需要用别的方法。
已知:
△ABC中,M为AB的中点,过M作MN∥BC交AC与N
求证:
N为AC中点
△AMN≌△BPM
PBCN为平行四边形
反射就是:
当有一条线段经过中位线时,交点必平分此线段
【例题】如图,在△ABC中,AB=AC,M、N分别是AB、AC的中点,D、E为BC上的点,连接DN、EM,若AB=5cm,BC=8cm,DE=4cm,则图中阴影部分的面积为_____cm2。
(6)中点四边形
①当给出一个四边形,连接各边中点所构成的四边形一定是一个平行四边形。
由中位线可以知道
证一组对边平行且相等
证法用相似三角形面积比等于相似比的平方
②这个平行四边形的形状只与外面大的四边形的对角有关,与其本身的形状无关。
如:
(1)若外面是一个任意四边形,其为平行四边形
(2)若外面是一个矩形(对角线相等),内部为菱形
(3)若外面是一个菱形(对角线垂直),内部为矩形
③中点四边形面积
(1)S中间的四边形=S四个三角形的和=
S临近的外面四边形
(2)若接着一个套一个
S中间=
(n-1)×S最外四边形(n为四边形的个数)
例题:
把这个四边形分成九块,种植三种不同品种的花草,其中E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,P,Q,R,K分别为EF,FG,GH,HE的中点,现要在四边形PQRK中种上红色的花,在△PFQ,△QGR,△RHK,△KEP中种上黄色的花,在△HAE,△EBF,△FCG,△GDH中种上紫色的花,已知红黄紫三种花的价格分别是8元/㎡,10元/㎡,12元/㎡,而种红花用去120元,请计算出种满这块四边形空地需要多少元?
(7)构造辅助线
当手足无措的时候,可以想一想构造辅助线。
不过也不要一见到中点就马上构造辅助线,一定要看看是否需要。
不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。
出现两个中点,当把它们连接时,发现不是中位线时。
我们有两种思路(都很重要,有时一种做不出来另外一种可以)
①思路一(几乎用这个思路都有一组相等线段)
核心思想:
构造第三个中点,连接题目中所有中点,利用中位线定理解题。
步骤:
(1)看到这几个中点,找到这几个中点所在线段。
用铅笔把这几个线段描黑。
(2)构造有上述描黑线段的具有公共边的三角形:
连接某个线段,让此线段作为这个三角形的公共边,中点所在线段作为一条边,另外一条边应该由题目中给出的相等条件线段构成。
(3)题目中应该还给了一对边的关系,立刻把这条边也画上,所围成的三角形就出来了
(4)在公共边上再构造一个中点,与上面几个中点相连
(5)利用中位线定理,写出中位线与相等边的关系,这个时候一定别忘了还有平行,而不只有数量关系。
应用:
可以倒角,边,证明一个悬空线段的取值范围
②思路二(用的很少,当没有相等线段的时候用的很多)
核心思想:
构造出一个以连接的这个线段为中位线的三角形。
步骤:
(1)死死抓住一条有中点的线段,作为此三角形的一个边
(2)连接一点和另外一条线段的中点,并且延长,构成一个类倍长中线
(3)用那条辅助线构成的三角形,证全等,得到一些线段,角度相等。
应用:
求关系,三角形的三边
注:
1.当给的不是中点而是线段相等,你也应该想到
2.三线合一出来的中点别忘了
3.题目中辅助线构成等腰三角形,也有可能用到三线合一
4.能出中点的不一定只有题目给出的,还有一些四边形的对角线
【例1】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,证明:
∠BME=∠CNE
【例2】在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连结GD,判断△AGD的形状并证明。
【例3】如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,E、F分别是AB、CD的中点,连结EF,分别交AC、BD于点M、N,判断△OMN的形状
【例4】如图所示,在△ABC中,D、G分别为AB、AC上的点,且BD=CG,M、N分别是BG、CD的中点,过MN的直线交AB于点P,交AC于点Q,求证:
AP=AQ。
【例5】已知,如图所示,在梯形ABCD中,E、F分别为BD、AC的中点。
求证EF与AD、BC之间的关系
【例6】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点,已知两底之差是6,两腰之和是12,则△EFG的周长是()
【例7】如图ABCD,AM=DM,BN=CD,AB=2,DC=3,求MN的取值范围
第三节斜边上的中线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(一)几何语言:
在Rt△AOC中
∵AO=CO
∴BO=
AC
(2)应用
它是一个很好的倒角工具
这样把整个直角三角形分成了两个等腰三角形
(3)构造辅助线
当手足无措的时候,可以想一想构造辅助线。
不过也不要一见到中点就马上构造辅助线,一定要看看是否需要。
不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。
在中位线的时候有时候我们明显可以感觉到就是填中位线,但是有时候也不是很容易能想到,因此辅助线说不好听的,就是瞎猜,猜对了就对了,反正就那么四个。
一定要敢猜,因为不猜的话,也许这道题根本出不来思路,作出来辅助线才能有思路。
不过在猜之前,你先想想可不可以不用辅助线,不用辅助线就能简单做的没必要简单问题复杂化。
①有的题目有直角,需要构造斜边,
②有的斜边需要自己画中点
步骤:
(1)看到中点,画出中点所在线段
(2)看看此线段是否所对的角为直角,是则连接直角的顶点和此中点
注:
1.当给的不是中点而是线段相等,你也应该想到
2.三线合一出来的中点别忘了
3.题目中辅助线构成等腰三角形,也有可能用到三线合一
4.能出中点的不一定只有题目给出的,还有一些四边形的对角线
5.学了这个中点,别忘了中位线
6.逆定理需要自己证明(即证明90°角)
当给出∠B=60°,AB:
BC=1:
2,则取AB中点D,连接DC,△DBC为等边三角形
所以∠BCD=60°,所以CD=BD=AD,∠BDC=60°(外角)∠ACD=30°,∠ACB=90°
【例1】如图,△ABC中,BC=18,若BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,F、G分别为BC、DE的中点,若ED=10,则FG的长为______。
【例2】如图,四边形ABCD中,∠ADC=90°,取AC中点O,BC中点E,连接OD、OE、DE,∠CAD=∠CAB=20°,则∠DOE=______。
【例3】如图,已知:
△ABD和△ACE都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°,∠BAD=∠CAE。
连接DE,设M为DE的中点。
求证:
MB=MC;
【例4】如图,BD、CE是锐角△ABC的两条高,过顶点B、C分别作ED的垂线BF、CG,垂足分别为点F、G,求证:
EF=DG。
【例5】如图,延长矩形ABCD的边AB至点E,AE=AC,F为CE中点,求证DF⊥BF
【例6】如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形。
⑴求证:
四边形ABCD是菱形;⑵若∠AED=2∠EAD,求证:
四边形ABCD是正方形。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 中点 问题