四年级奥数有余除法的应用.docx
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四年级奥数有余除法的应用
一、带余除法的定义及性质
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,
0≤r<b;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里:
(1)当
时:
我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商
(2)当
时:
我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商
一个完美的带余除法讲解模型:
如图
这是一堆书,共有a本,这个a就可以理解为被除数,现在要求按照b本一捆打包,那么b就是除数的角色,经过打包后共打包了c捆,那么这个c就是商,最后还剩余d本,这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。
并且可以看出余数一定要比除数小。
二、三大余数定理:
(一)余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2
(二)余数的减法定理
a与b的差除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之差。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23-16=7除以5的余数等于2,两个余数差3-1=2.
当余数的差不够减时时,补上除数再减。
例如:
23,14除以5的余数分别是3和4,23-14=9除以5的余数等于4,两个余数差为3+5-4=4
(三)余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
乘方:
如果a与b除以m的余数相同,那么
与
除以m的余数也相同.
模块一、简单的有余数除法
【例1】在下列每个算式中的两个括号内,填上所有可能的数。
(1)17÷()=()······2
(2)()÷4=8······()
(3)()÷()=3······5,(除数小于9)
【巩固】在下列每个算式中的两个括号内,填上所有可能的数.
(1)62÷()=5······()
(2)()÷3=6······()
(3)38÷()=()······3
(4)()÷()=5······2,被除数小于35.
【例2】已知57除以8,商为(),余数为(),被除数与除数同时扩大675倍,则商为(),余数为().
【巩固】已知255510除以3003,商为(),余数为(),被除数与除数同时缩小255倍,则商为(),余数为().
【例3】1992年1月1日是星期三,阳历2004年1月1日是星期几?
【巩固】1998年元旦是星期五,1999年元旦是星期几?
2000年元旦是星期几?
2001年元旦是星期几?
【例4】节日的街上挂起了长长的一排彩灯,共有2013盏,从第1盏开始,按照5盏红灯,4盏黄灯,3
【例5】盏蓝灯,2盏绿灯不断地排下去.问:
(1)第1982盏灯是什么颜色?
(2)蓝灯共有多少盏?
【巩固】下面写了一组自然数:
1,10,11,20,21,30,31,40,41……如果按照这个规律写下去,那么第2003个位置的数被13除余几?
【例6】电子跳蚤每跳一步,可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。
现在,一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步,落在一个圆圈里。
一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳,但它是沿着逆时针方向跳了1949步,落在另一个圆圈里。
问:
这两个圆圈里数字的乘积是多少?
【巩固】如图是一钟面共分成12格,设时针刚好对正12,若将时针按顺时针方向向前拨动365格,再按逆时针方向向前拨动263格,再按顺时针方向向前拨动462格,再按逆时针方向向前拨动392格,这时时针应指向多少点?
【例7】甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏,从1起按下面顺序进行:
甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、丙报5、乙报6、甲报7、乙报8、丙报9……这样,报2003这个数的是谁?
【巩固】把自然数中的单数1、3、5、7、9,……,如右表所示依此排成列,把最左边的一列叫做第1列,从左到右依此叫做第2列,……,第5列。
问数“2003”出现在第几列?
【例8】582除以一个数所得的不完全商是11,并且除数与余数的差是6,除数、余数各是多少?
【巩固】两个数相除商5余3。
如果被除数、除数都扩大到原来的2倍,则被除数、除数、商、余数之和为101。
求原来的被除数和除数。
模块二、有余数除法三大定理
【例9】六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱,一起到新华书店购买《成语大词典》.一看定价才发现有5个人带的钱不够,但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本,丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种《成语大词典》的定价是________元.
【巩固】商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克.
【例10】求
的余数.
【巩固】求
除以17的余数.
【例11】【例10】
与
的和除以7的余数是________.
【巩固】在1995,1998,2000,2001,2003中,若其中几个数的和被9除余7,则将这几个数归为一组.这样的数组共有______组.
【例12】有一个数,除以7余2,除以8余4,除以9余3,这个数至少是多少?
【巩固】有一个数,除以3余1,除以5余2,除以7余3,求适合条件的最小数是多少?
【例13】有一类自然数,其中每个数与3的和都是5的倍数,与4的差都是7的倍数。
这类自然数中最小的是多少?
【巩固】50以内被5除余2,被6除余5的数是什么?
(以下内容选讲)
【例14】有一个大于1的整数,除
所得的余数相同,求这个数.
【巩固】有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.
【例15】一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为
,
,
,则这个自然数是多少?
【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数,则这个自然数是多少?
【例16】【例15】两位自然数
与
除以7都余1,并且
,求
.
【巩固】学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?
【随练1】用一个两位数除709,余数为44,这个两位数是多少?
【随练2】有李子一堆,按甲、乙、丙、丁、甲、乙······的顺序轮流分派,每次每人一个,如果丙分得最后一个,这堆李子有个。
【随练3】6100被300除,得()
A.商2余10B.商20余1C.商20余10D.商20余100E.商200余100
【随练4】有这样的整数,它除以6所得的商与余数相同,所有这样的数之和是。
【随练5】被除数是431,余数是11,那么商最大是()。
A.35B.70C.105D.210E.420
【随练6】某数除以17,商是5,余数是2,这个数除以10,余数是.
【随练7】在两位数中,除以8的商和余数都相等的数有个.
【随练8】566除以一个数所得的商是12,并且除数与余数的差是6,余数是.
【随练9】求
除以9的余数.
【随练10】求
的个位数字.
【作业1】甲数除以9,商12余7;乙数除以9,商28余8;丙数除以9,商3余6.甲数、乙数、丙数之和除以9,余数是多少?
【作业2】阳历1999年1月1日是星期五,阳历2002年6月1日是星期几?
【作业3】有红、黄、蓝珠共298个,按着先摆红珠4个,再摆黄珠5个,后摆蓝珠6个,这样依次顺序排列.问:
:
(1)第201珠是什么颜色?
(2)蓝珠共有多少个?
【作业4】
】有a、b、c、d四条射线(如右图),从射线a开始按箭头方向从1开始依次在上a、b、c、d上写上整数1,2,3,4,5……
(1)整数303在a、b、c、d中哪条射线上?
(2)直线a上第99个整数是什么?
【作业5】某班学生列队时,排成三路纵队多1人,排成四路纵队多2人,排成五路纵队多3人.那么这班学生至少有多少人?
【作业6】三个数:
23、51、72,各除以大于1的同一个自然数,得到同一个余数,则这个除数是.
【作业7】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是
、
、
,求这个自然数和
的值.
【作业8】一个小于200的数,它除以11余8,除以13余10,这个数是几?
【作业9】小朋友们做游戏,若3人分成一组,则最后余下2人;若4人分成一组,则最后余下3人;若5人分成一组,则最后余下4人.那么一起做游戏的小朋友至少有人.
【作业10】某个自然数除以2余1,除以3余2,除以4余1,除以5也余1,则这个数最小是.
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- 四年级 有余 除法 应用