届人教B版理科数学热点专题突破四 立体几何的综合问题单元测试.docx
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届人教B版理科数学热点专题突破四立体几何的综合问题单元测试
热点专题突破四 立体几何的综合问题
1.[2017·湖南师大附中月考]如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,△ADE,△BCF均为等边三角形,EF∥AB,EF=AD=
AB,N为线段PC的中点.
(1)求证:
AF∥平面BDN;
(2)求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.
【解析】
(1)连接AC交BD于点M,连接MN,∵四边形ABCD是矩形,∴M是AC的中点,
∵N是CF的中点,∴MN∥AF,
又AF⊄平面BDN,MN⊂平面BDN,∴AF∥平面BDN.
(2)取BC的中点P,AD的中点Q,连接PQ,过点F作FO⊥PQ交PQ于点O,
∵BC⊥FP,BC⊥PQ,PQ∩FP=P,∴BC⊥平面EFPQ,
∵FO⊂平面EFPQ,∴BC⊥FO,
又FO⊥PQ,PQ∩BC=P,∴FO⊥平面ABCD.
如图,以O为坐标原点,x轴⊥AB,y轴⊥BC建立空间直角坐标系,
连接FP,FM,设EF=AD=
AB=a,∵△ADE,△FBC是等边三角形,
∴FP=FM=
a,
∴OP=
(AB-EF)=
a,∴OF=
a,
∴A
,B
,C
,
F
,N
.
∴
=(0,2a,0),
=
-
a,-
a,
a
.
设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),
则
∴
令z=
,得n=(2,0,
),
∴cos >= =- , ∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为 . 2.[2016·吉林实验中学四模]如图的多面体是直平行六面体ABCD-A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形,其中∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2,∠BAD=60°. (1)求证: BD⊥平面ADG; (2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值. 【解析】 (1)在△BAD中,∵AB=2AD=2,∠BAD=60°, ∴由余弦定理可得BD= ,∴AB2=AD2+BD2,∴AD⊥BD. 又在直平行六面体中,GD⊥平面ABCD, 又BD⊂平面ABCD,∴GD⊥BD. 又AD∩GD=D,∴BD⊥平面ADG. (2)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. ∵∠BAE=∠GAD=45°,AB=2AD=2, 则有A(1,0,0),B(0, ,0),G(0,0,1),E(0, ,2),C(-1, ,0), ∴ =(-1, ,2), =(-1,0,1). 设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z), ∴ 令x=1,得y=- ,z=1,n= . 而平面ABCD的一个法向量为 =(0,0,1), ∴cos< ,n>= . 故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 . 3.如图,平面ABCD⊥平面ABE,四边形ABCD是边长为2的正方形,且点B在平面ACE上的射影F恰好落在边CE上. (1)求证: AE⊥平面BCE; (2)当二面角B-AC-E的余弦值为 时,求∠BAE的大小. 【解析】 (1)∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,∴BF⊥AE, 又∵四边形ABCD是边长为2的正方形, ∴BC⊥AB, ∵平面ABCD⊥平面ABE,且平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊂平面ABCD, ∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE, 又∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE. (2)以A为原点,垂直于平面ABCD的直线AG为x轴,AB所在直线为y轴,AD所在直线为z轴,如图所示建立空间直角坐标系Axyz. 设E(a,b,0),则 =(a,b,0), =(0,2,2), =(a,b-2,0), 设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),∴ ∴ 不妨令y=a,得n=(-b,a,-a)是平面EAC的一个法向量, 又∵平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0), ∴|cos , 化简得a2=b2,① 又∵AE⊥平面BCE,BE⊂平面BCE, ∴AE⊥BE,∴ =0,即a2+b(b-2)=0,② 联立①②,解得b=0(舍去),或b=1, ∴a2=b2=1,此时易得AE=BE= ,∴∠BAE= . 4.如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,侧面ABB1A1为菱形,∠DAB=∠DAA1. (1)求证: A1B⊥AD; (2)若AD=AB=2BC,点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,∠A1AB=60°,求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值. 【解析】 (1)连接A1B,AB1相交于点O,连接DO. ∵侧面ABB1A1为菱形, ∴AB=AA1,又∠DAB=∠DAA1,AD=AD, ∴△DAA1≌△DAB,则BD=A1D, ∴OD⊥A1B,又A1B⊥AB1,AB1∩OD=O, ∴A1B⊥平面AOD,∴A1B⊥AD. (2)分别以射线OB,射线OB1,射线OD为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示. 设AD=AB=2BC=2a,由∠A1AB=60°,可知|OB|=a,|OA|=|OB1|= a, ∴|OD|= =a,从而A(0,- a,0),B(a,0,0),B1(0, a,0),D(0,0,a), ∴ =(-a, a,0). 由 ,可得C , ∴ . 设平面DCC1D1的法向量为m=(x0,y0,z0), 则 取y0=1,则x0= ,z0=3 , ∴m=( ,1,3 ). 又平面ABB1A1的一个法向量为 =(0,0,a), ∴cos< ,m>= , 故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为 . 5.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上除A,B外的一个动点,DC垂直于半圆O所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB= . (1)证明: 平面ADE⊥平面ACD; (2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求二面角D-AE-B的余弦值. 【解析】 (1)∵AB是直径,∴BC⊥AC, ∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC, ∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD, ∵CD∥BE,CD=BE,∴四边形BCDE是平行四边形, ∴BC∥DE,∴DE⊥平面ACD, ∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD. (2)依题意,CD=AB×tan∠EAB=4× =1, 由 (1)知V三棱锥C-ADE=V三棱锥E-ACD= S△ACD·DE= AC·CD·DE= AC·BC≤ (AC2+BC2)= AB2= , 当且仅当AC=BC=2 时等号成立,此时三棱锥C-ADE体积最大. 如图所示,建立空间直角坐标系Cxyz,则D(0,0,1),E(0,2 ,1),A(2 ,0,0),B(0,2 ,0), 则 =(-2 ,2 ,0), =(0,0,1), =(0,2 ,0), =(2 ,0,-1), 设平面DAE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 即 令x1=1,∴n1=(1,0,2 ), 设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2), 即 令x2=1,∴n2=(1,1,0), ∴cos , 由图形可以判断二面角D-AE-B的平面角为钝角, ∴二面角D-AE-B的余弦值为- . 6.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,D为棱A1B1上的点. (1)证明: DF⊥AE. (2)是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 ? 若存在,说明点D的位置;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB, ∴AB⊥AE. 又∵AB⊥AA1,AE∩AA1=A, ∴AB⊥平面A1ACC1. 又∵AC⊂平面A1ACC1, ∴AB⊥AC. 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0,0,0),E ,F ,0 ,A1(0,0,1),B1(1,0,1). 设D(a,0,b), =λ ,且λ∈[0,1],即(a,0,b-1)=λ(1,0,0),∴D(λ,0,1). ∴ . 又 , ∴ =0, ∴DF⊥AE. (2)假设存在点D,设平面DEF的法向量为n=(x,y,z), 则 ∵ , ∴ 令z=2(1-λ),∴n=(3,1+2λ,2(1-λ)). 由题可知平面ABC的一个法向量m=(0,0,1). ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为 , ∴|cos , 即 . ∴λ= 或λ= (舍去), ∴当点D为A1B1中点时,满足要求. 7.[2017·吉林镇赉一中一模]如图,在五边形GABCD中,AG= ,且四边形ABCD是矩形,AB= ,AD=1,E是AB的中点,DE与AC交于点F,将△GAD沿AD折叠到△G'AD的位置,点G'在平面ABCD的射影恰为点F. (1)求证: AC⊥平面DEG'; (2)求二面角A-EG'-D的大小. 【解析】 (1)∵四边形ABCD为矩形, ∴△AEF∽△CDF, ∴ . 在矩形ABCD中,AB= ,AD=1, ∴AE= ,AC= . 在Rt△DEA中,DE= , DF= DE= ,AF= AC= , ∴AF2+DF2=AD2, ∴∠AFD=90°,即AC⊥DE. 或由tan∠BAC= ,tan∠AED= =tan(90°-∠BAC),得∠BAC+∠AED=90°,从而∠AFD=90°,即AC⊥DE 又∵G'F⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, ∴AC⊥G'F. ∵DE∩G'F=F, ∴AC⊥平面DEG'. (2)在Rt△AG'F中,AG'= ,AF= , 由勾股定理可得G'F= . 由 (1)得AC,DE,G'F两两垂直,以点F为坐标原点,FA,FE,FG'所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Fxyz,如图所示. ∴A ,G' ,E , AG , 设n1=(x1,y1,z1)是平面AEG'的法向量, ∴ 令x1= ,∴n1=( ,2, ). 由 (1)知平面DEG'的一个法向量n2= , ∴cos , 由图可知,二面角A-EG'-D的平面角为锐角, 故二面角A-EG'-D的大小为60°.
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