辽宁省届高三三校联考理数试题Word版含答案.docx
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辽宁省届高三三校联考理数试题Word版含答案
辽宁省2018届高三三校联考理数试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
,
,则()
A.
B.
C.
D.
2.记复数
的虚部为
,已知复数
(
为虚数单位),则
为()
A.
B.2C.
D.3
3.已知曲线
在点
处的切线的倾斜角为
,则
()
A.
B.
C.2D.
4.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径
,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻向硬币内投掷100次,其中恰有30次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是()
A.
B.
C.
D.
5.已知圆
(
),当
变化时,圆
上的点与原点
的最短距离是双曲线
(
)的离心率,则双曲线
的渐近线为()
A.
B.
C.
D.
6.已知数列
为等比数列,且
,则
()
A.
B.
C.
D.
7.执行如图的程序框图,若输出的
的值为
,则①中应填()
A.
B.
C.
D.
8.已知函数
为
内的奇函数,且当
时,
,记
,
,
,则
间的大小关系是()
A.
B.
C.
D.
9.已知一几何体的三视图如图所示,俯视图是一个等腰直角三角形和半圆,则该几何体的体积为()
A.
B.
C.
D.
10.已知函数
(
)的部分图象如图所示,其中
.即命题
,命题
:
将
的图象向右平移
个单位,得到函数
的图象.则以下判断正确的是()
A.
为真B.
为假
C.
为真D.
为真
11.抛物线有如下光学性质:
过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为
,一条平行于
轴的光线从点
射出,经过抛物线上的点
反射后,再经抛物线上的另一点
射出,则
的周长为()
A.
B.
C.
D.
12.已知数列
与
的前
项和分别为
,
,且
,
,
,
,若
,
恒成立,则
的最小值是()
A.
B.49C.
D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知在
中,
,
,若边
的中点
的坐标为
,点
的坐标为
,则
.
14.在
的展开式中,含
项的为
,
的展开式中含
项的为
,则
的最大值为.
15.已知
满足
其中
,若
的最大值与最小值分别为1,
,则实数
的取值范围为.
16.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biēnào).已知在鳖臑
中,
平面
,
,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知向量
,
,设函数
.将函数
的图象向右平移
个单位,得到函数
的图象.
(1)若
,求函数
的值域;
(2)已知
分别为
中角
的对边,且满足
,
,
,
,求
的面积.
18.如图,在四棱锥
中,底面
为直角梯形,其中
,
,侧面
平面
,且
,动点
在棱
上,且
.
(1)试探究
的值,使
平面
,并给予证明;
(2)当
时,求直线
与平面
所成的角的正弦值.
19.如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在
市的普及情况,
市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查,并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析,得到下表:
(单位:
人)
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为
市使用网络外卖的情况与性别有关?
(2)①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人,再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券,求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率;
②将频率视为概率,从
市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常使用网络外卖的人数为
,求
的数学期望和方差.
参考公式:
,其中
.
参考数据:
20.已知椭圆
(
)的左、右焦点分别为点
,其离心率为
,短轴长为
.
(1)求椭圆
的标准方程;
(2)过点
的直线
与椭圆
交于
两点,过点
的直线
与椭圆
交于
两点,且
,证明:
四边形
不可能是菱形.
21.已知函数
(
),其中
为自然对数的底数.
(1)讨论函数
的单调性及极值;
(2)若不等式
在
内恒成立,求证:
.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
中,已知曲线
的参数方程为
(
,
为参数).以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)当
时,求曲线
上的点到直线
的距离的最大值;
(2)若曲线
上的所有点都在直线
的下方,求实数
的取值范围.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知函数
.
(1)解不等式
;
(2)记函数
的值域为
,若
,证明:
.
辽宁省2018届高三三校联考理数试题
答案及评分细则
一、选择题
1-5:
DABAC6-10:
BBCDC11、12:
DC
二、填空题
13.114.
15.
16.
三、解答题
17.解:
(1)由题意,得
.
所以
.
因为
,
所以
,
所以
,
所以
,
所以函数
的值域为
.
(2)因为
,
所以
.
因为
,
所以
.
所以
,解得
.
所以
.
又
,且
,
,
所以
.
所以
的面积
.
18.解:
(1)当
时,
平面
.
证明如下:
连接
交
于点
,连接
.
∵
,
,
∴
.
∵
,∴
.
∴
.
又∵
平面
,
平面
,
∴
平面
.
(2)取
的中点
,连接
.
则
.
∵平面
平面
,平面
平面
,且
,
∴
平面
.
∵
,且
,
∴四边形
为平行四边形,∴
.
又∵
,∴
.
由
两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则
,
,
,
,
,
.
当
时,有
,
∴可得
.
∴
,
,
.
设平面
的一个法向量为
,
则有
即
令
,得
,
,
即
.
设
与平面
所成的角为
,
则
.
∴当
时,直线
与平面
所成的角的正弦值为
.
19.解:
(1)由列联表可知
的观测值
.
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为
市使用网络外卖情况与性别有关.
(2)①依题意,可知所抽取的5名女网民中,经常使用网络外卖的有
(人),
偶尔或不用网络外卖的有
(人).
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为
.
②由
列联表,可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为
,
将频率视为概率,即从
市市民中任意抽取1人,
恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为
.
由题意得
,
所以
;
.
20.解:
(1)由已知,得
,
,
又
,
故解得
,
,
所以椭圆
的标准方程为
.
(2)由
(1),知
,如图,
易知直线
不能平行于
轴,
所以令直线
的方程为
,
,
,
联立方程
得
,
所以
,
.
此时
.
同理,令直线
的方程为
,
,
,
此时
,
,
此时
,
故
.
所以四边形
是平行四边形.
若
是菱形,则
,即
,
于是有
.
又
,
所以有
,
整理得到
,
即
,
上述关于
的方程显然没有实数解,
故四边形
不可能是菱形.
21.解:
(1)由题意得
.
当
,即
时,
,
在
内单调递增,没有极值.
当
,即
时,
令
,得
,
当
时,
,
单调递减;
当
时,
,
单调递增,
故当
时,
取得极小值
,无极大值.
综上所述,当
时,
在
内单调递增,没有极值;
当
时,
在区间
内单调递减,在区间
内单调递增,
的极小值为
,无极大值.
(2)当
时,
成立.
当
时,由
(1),知
在
内单调递增,
令
为
和
中较小的数,
所以
,且
,
则
,
.
所以
,
与
恒成立矛盾,应舍去.
当
时,
,
即
,
所以
.
令
,
则
.
令
,得
,
令
,得
,
故
在区间
内单调递增,
在区间
内单调递减.
故
,
即当
时,
.
所以
.
所以
.
而
,
所以
.
22.解:
(1)直线
的直角坐标方程为
.
曲线
上的点到直线
的距离
,
当
时,
,
即曲线
上的点到直线
的距离的最大值为
.
(2)∵曲线
上的所有点均在直线
的下方,
∴对
,有
恒成立,
即
(其中
)恒成立,
∴
.
又
,∴解得
,
∴实数
的取值范围为
.
23.解:
(1)依题意,得
于是得
或
或
解得
.
即不等式
的解集为
.
(2)
当且仅当
时,取等号,
∴
.
原不等式等价于
.
∵
,∴
,
.
∴
.
∴
.
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