百校联盟全国卷I高考最后一卷押题卷理科数学第二模.docx
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百校联盟全国卷I高考最后一卷押题卷理科数学第二模
百校联盟2016年全国卷I高考最后一卷(押题卷)理科数学(第二模拟)
一、选择题:
共12题
1.关于复数z=(i是虚数单位),下列结论正确的为
A.在复平面内,复数z所对应的点在第一象限B.复数z的共轭复数为=1-i
C.若复数ω=z+b(b∈R)为纯虚数,则b=1D.复数z的模为2
【答案】C
【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算,考查复数与复平面内点的对应关系.解题时,通过复数运算得到化简结果,然后通过选项进行判断,得出正确答案.
由已知z==-1+i,因而z在复平面内对应的点位于第二象限,A错误,=-1-i,B错误,|z|=,D错误,若ω=-1+b+i为纯虚数,则-1+b=0,即b=1,故选C.
2.已知函数f(x)=,若f(4)=2f(a),则实数a的值为
A.-1或2B.2C.-1D.-2
【答案】A
【解析】本题考查分段函数求值,考查分类讨论思想,属于基础题.
f(4)=log24=2,因而2f(a)=2,即f(a)=1,当a>0时,f(a)=log2a=1,因而a=2,当a≤0时,f(a)=a2=1,因而a=-1,故选A.
3.已知集合A={x|<1},集合B={y|y=t-2},则A∩B=
A.(-∞,2]B.(3,+∞)C.[2,3)D.(0,3)
【答案】B
【解析】本题考查集合的运算、不等式的解法及函数值域的求解.
由<1,得>0,因而x>3或x<0,即A=(-∞,0)∪(3,+∞),设m=≥0,则t=m2+3,因而y=m2+3-2m=(m-1)2+2,所以B=[2,+∞),从而A∩B=(3,+∞),故选B.
4.在数列{an}中,a1=1,a2=3,且an+1an-1=an(n≥2),则a2016的值为
A.3B.1C.D.32015
【答案】C
【解析】本题考查数列的基本运算及性质,考查运算求解能力,求解时要注意规律的发现,得到{an}为周期数列,进而求解.
由已知,a1=1,a2=3,且an+1an-1=an(n≥2),则a1a3=a2,从而a3=3,又a2a4=a3,∴a4=1,同理a5=
a6=,a7=1,a8=3,那么数列{an}为周期数列,且周期为6,∴a2016=a6=,故选C.
5.已知x,y满足不等式组,则目标函数z=()x×4y的最小值为
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】本题通过线性规划的知识考查考生的数形结合能力,本题在目标函数上进行了创新,要求考生具有一定的转化意识.
通过不等式组作出可行域如图中三角形OAB及其内部所示,其中A(1,2),
B(0,),求z=()x×4y=22y-x的最小值,可转化为求2y-x的最小值,当x=y=0时,2y-x取得最小值0,则z=()x×4y的最小值为1,故选A.
6.将函数y=sin2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到函数y=2cos2x的图象,那么φ可以取的值为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】本题考查三角函数的图象及其变换等基础知识,考查三角函数诱导公式.图象变换是三角函数性质的重点内容之一,其考查往往注重基础,一般比较常规.
通解 将y=sin2x的图象向左平移φ个单位长度,再向上平移1个单位长度得到y=sin2(x+φ)+1的图象,此时y=sin2(x+φ)+1=2cos2x,即sin2(x+φ)=cos2x,因而2φ=+2kπ,k∈Z,那么,由选项可知φ可以取的值为,故选C.
优解 由已知,可以将y=2cos2x的图象作相应的逆变换,先向下平移1个单位长度得到函数y=2cos2x-1的图象,即y=cos2x的图象,而y=cos2x=sin(2x+),因而将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度得到y=sin2x的图象,因而φ可以取的值为,故选C.
7.执行如图所示的程序框图,则可以输出函数的为
A.f(x)=sinxB.f(x)=exC.f(x)=lnx+x+2D.f(x)=x2
【答案】C
【解析】本题考查程序框图的知识,考查分支结构及初等函数的基本性质,考查考生分析问题、解决问题的能力.解题时,准确确定分支条件是求解正确的关键.
当输入f(x)=sinx时,由于是奇函数,因而执行输出“是奇函数”,然后结束;当输入f(x)=ex时,f(x)=ex不是奇函数,但恒为正,因而输出“非负”,然后结束;当输入f(x)=lnx+x+2时,f(x)=lnx+x+2既不是奇函数,又不恒为非负,因而输出该函数;而当输入f(x)=x2时,由于f(x)=x2是偶函数,且非负,因而输出“非负”.故选C.
8.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A.πB.πC.πD.π
【答案】C
【解析】本题考查三视图的知识,考查圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件信息正确确定几何体的形状是解题的关键.
由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即如图所示的下半部分,则其体积为圆柱的一半,因而V=×π×12×2=π,故选C.
9.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,P是以C为圆心,且与BD相切的圆上的动点,设=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为
A.-1B.2C.1D.-2
【答案】B
【解析】本题考查向量的基础知识,利用平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算是解题的关键.
由已知分别以AD,AB所在的直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则C(1,1),
B(0,2),D(1,0),直线BD的方程为2x+y-2=0,圆C的半径为R=,则圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=,由=λ+μ,得=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),P(λ,2μ)在圆C上,因而,(λ-1)2+(2μ-1)2=,设λ=1+cosθ,2μ=1+sinθ,则λ+μ=+cosθ+sinθ=+sin(θ+φ),其中tanφ=2,所以当sin(θ+φ)=1时λ+μ取得最大值2,故选B.
10.有4位同学参加某智力竞赛,竞赛规定:
每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答,且甲类题目答对得3分,答错扣3分,乙类题目答对得1分,答错扣1分.若每位同学答对与答错相互独立,且概率均为,那么这4位同学得分之和为0的概率为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】本题考查古典概型概率的求法,考查分类讨论思想.概率的考查可以灵活多样,既可以考古典概型,又可考几何概型,因而复习要全面,不要有遗漏.
每人的得分情况均有4种可能,因而总的情况有44=256种,若他们得分之和为0,则分四类:
4人全选乙类且两对两错,有种可能;4人中1人选甲类对或错,另3人选乙类全错或全对,有2种可能;4人中2人选甲类一对一错,另2人选乙类一对一错,有×2×2种可能;4人全选甲类且两对两错,有种可能.共有+2+×2×2+=44种情况,因而所求概率为P==,故选A.
11.已知A1,A2分别为双曲线-=1的左、右顶点,P为双曲线上第一象限内的点,直线l:
x=1与x轴交于点C,若直线PA1,PA2分别交直线l于B1,B2两点,且△A1B1C与△A2B2C的面积相等,则直线PA1的斜率为
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】本题考查双曲线与直线的相关知识,有一定综合性,考查化归与转化能力及灵活变通能力.
通解 由已知,显然直线PA1的斜率存在,故可设直线PA1的方程为y=k(x+2),由已知k>0,则由 得(9-4k2)y2-36ky=0,易知9-4k2≠0,因而P(,),所以,则直线PA2的方程为y=(x-2),直线PA1,PA2与直线l分别交于B1(1,3k),B2(1,-),因而×
3×3k=×1×,得k=,故选B.
优解 由已知,P为双曲线-=1上的点,则,又直线PA1的方程为y=
(x+2),交直线l于B1(1,3),直线PA2的方程为y=(x-2),交直线l于B2(1,-),
由于P为第一象限内的点,因而>0,则×3×3×1×,即92=,从而,故选B.
12.已知函数f(x)的定义域为R,且f'(x)+f(x)=2xe-x,若f(0)=1,则函数的取值范围为
A.[-1,0]B.[-2,0]C.[0,1]D.[0,2]
【答案】B
【解析】本题考查函数的最值、导数在求解函数问题中的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.
由f'(x)+f(x)=2xe-x,得exf'(x)+exf(x)=2x,∴[exf(x)]'=2x,设exf(x)=x2+c,由于f(0)=1,因而c=1,∴f(x)=,f'(x)==-,∴=-=-1+,当x=0时,=-1,当x≠0时,∈[-1,1],当x=-1时取得最小值,当x=1时取得最大值,从而的取值范围为[-2,0],故选B.
二、填空题:
共4题
13.已知(x+)n的展开式中前三项的系数依次成等差数列,则展开式中x4的系数为 .
【答案】7
【解析】本题考查二项式定理,属于基础题.求解时,首先求出n的值,然后再求x4的系数.
(x+)n的展开式中前三项的系数分别为,,×()2,由已知得+×()2=2,得n=8,(x+)8的展开式的通项Tr+1=x8-r×()r=x8-2r×()r,令8-2r=4,得r=2,因而展开式中x4的系数为×()2=7.
14.若椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形,则椭圆C的内接正方形的面积为 .
【答案】
【解析】本题主要考查椭圆的概念与性质等,考查考生的运算求解能力和数形结合的数学思想.解题时,根据题意求出椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2.
由已知得,a=1,b=c=,所以椭圆C的方程为x2+=1,设A(x0,y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点,则x0=y0,所以1=+2=3,解得,所以椭圆C的内接正方形的面积S=(2x0)2=4.
15.已知菱形ABCD的边长为,且∠BAD=60°,将△ABD沿BD折起,使A,C两点间的距离为,则所得三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力.球是最基本的几何体之一,对于与球相关的知识的考查,往往结合球内接柱体、锥体等,涉及表面积或体积的运算,复习时注意把握难度.
由已知,∠BAD=60°,菱形ABCD的边长为,且折起后AC=,设△BCD的外接圆圆O1的半径为r,则由正弦定理得,2r==2,因而圆O1的半径r=1,则三棱锥的高h=,设外接球半径为R,则R2=(h-R)2+r2,即R2=2-2R+R2+1,得R=,则该球的表面积为4πR2=4π×.
16.如图,在正方形ABCD中作如下操作:
先过点D作直线DE1,交BC于点E1,记∠CDE1=α1,第一步,作∠ADE1的平分线交AB于点E2,记∠ADE2=α2,第二步,作∠CDE2的平分线交BC于点E3,记∠CDE3=α3,第三步,作∠ADE3的平分线交AB于点E4,记∠ADE4=α4,以此类推,得数列α1,α2,α3,…,αn,…,若α1=,那么数列{αn}的通项公式为 .
【答案】αn=[1+(-)n]
【解析】本题考查数列的知识,立意新颖,突出能力,将几何作图与数列结合,将构造法与等比数列结合在一起,加强了知识间的横向联系,考查了考生
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