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九年级上册
九年级上册
第二十一章二次根式
教学
内容
二次根式的概念、二次根式的混合运算
重点
难点
区分最简二次根式、同类二次根式、二次根式的性质。
教学
目标
1.认识二次根式,以及最简二次根式。
2.学会二次根式的混合运算。
教
学
过
程
针
对
性
授
课
知识梳理
二次根式的概定义:
我们把形如
(a≥0)的式子叫做二次根式.“
”称为二次根号。
一般地,
。
当a>0时,
表示a的算术平方根,因此
>0;当a=0时,
表示0的算术平方根,因此
=0。
也就是说:
是一个非负数。
代数式的定义:
用基本运算符号(包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式。
3.二次根式的乘法:
一般地,对二次根式的乘法规定:
.
4.二次根式的除法:
一般地,对二次根式的除法规定:
.显然,反过来也是成立的。
5.最简二次根式的概念:
被开方数不含有字母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
我们把
满足上述两个条件的二次根式,叫做最简二次根式。
6.二次根式的加减:
二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。
难点:
二次根式有意义的条件
例1
下列各式
,其中哪些是二次根式_________;哪些是最简二次根式______________(填序号).
分析:
运用二次根式及最简二次根式的概念。
例2若式子
有意义,则x的取值范围是_______.[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
7.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式.
8.二次根式的性质
重点:
掌握二次根式的性质
难点:
理解和熟练运用二次根式的性质
例1、若
则
.
第二十二章一元二次方程教案
一.一元二次方程的概念
教学目标:
1.使学生充分了解一元二次方程的概念;正确掌握一元二次方程的一般形式。
2.通过探究实际问题来发现新知,培养学生的观察能力和思维能力。
通过探索满足方程的解的过程,发展学生估算的意识和能力。
3.通过对一元二次方程概念的教学,培养学生严谨的科学态度;让学生体验数学的简洁、对称、和谐等美的特征。
重点和难点:
一元二次方程的概念和一般形式.
正确理解和掌握一般形式中的a≠0,“项”和“系数”
教学过程
复习旧知(师生活动)
1、你还记得什么叫方程?
什么叫方程的解吗?
2、什么是一元一次方程?
它的一般形式是怎样的?
3、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题,你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?
问题情境:
3、一个正方形的面积的2倍等于15,这个正方形的边长是多少?
4、一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数
学习新知
1、一元二次方程的概念:
2、一元二次方程必须同时满足的三个条件:
3、一元二次方程的一般形式:
归纳:
(1)只含一个未知数x;
(2)最高次数是2次的;(3)整式方程.
因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
例1.将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
注意:
二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
二、一元二次方程的解:
复习:
方程的解
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.(只含有一个未知数的方程的解,又叫方程的根)
例1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根?
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.
三、一元二次方程的解法
(一)、直接开平方法方程x2=9,根据平方根的意义,直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求解呢?
由应用直接开平方法解形如x2=p(p≥0),那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0),那么mx+n=±
,达到降次转化之目的.若p<0则方程无解
(二)配方法x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
(x+3)2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2,x2=-8
可以验证:
x1=2,x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值,所以场地的宽为2m,常为8m.
像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法.通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程
配方法解一元二次方程的一般步骤:
(1)将方程化为一般形式;
(2)二次项系数化为1;(3)常数项移到右边;
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.
(三)公式法
由上例4可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x=
就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。
)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
公式的理解
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
应用公式法解一元二次方程的步骤:
1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0.
2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,
4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果。
26.1 二次函数
(1)
教学目标:
(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯
重点难点:
能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程:
一、试一试一个表格,填写。
。
。
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
在这个问题中,可提出如下问题供学生思考并回答:
1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
[利润=(售价-进价)×销售量]
2.如果不降低售价,该商品每件利润是多少元?
一天总的利润是多少元?
[10-8=2(元),(10-8)×100=200(元)]
3.若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元?
一天可销售约多少件商品?
[(10-8-x);(100+100x)]
4.x的值是否可以任意取?
如果不能任意取,请求出它的范围,
[x的值不能任意取,其范围是0≤x≤2]
5.若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。
三、观察;概括
让学生讨论、交流,发表意见,归结为:
自变量x为何值时,函数y取得最大值。
2.二次函数定义:
形如y=ax2+bx+c(a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
四、课堂练习
五、小结
1.请叙述二次函数的定义.
2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决,请你联系生活实际,编一道二次函数应用题,并写出函数关系式。
第二十三章旋转
23.1图形的旋转
(1)
第一课时
教学内容
1.什么叫旋转?
旋转中心?
旋转角?
2.什么叫旋转的对应点?
教学目标
了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念,了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题.
通过复习平移、轴对称的有关概念及性质,从生活中的数学开始,经历观察,产生概念,应用概念解决一些实际问题.
重难点、关键
1.重点:
旋转及对应点的有关概念及其应用.
2.难点与关键:
从活生生的数学中抽出概念.
教具、学具准备
小黑板、三角尺
教学过程
一、复习引入
2.如图,已知△ABC和直线L,请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′.
二、探索新知
我们前面已经复习平移等有关内容,生活中是否还有其它运动变化呢?
回答是肯定的,下面我们就来研究.
1.请同学们看讲台上的大时钟,有什么在不停地转动?
旋绕什么点呢?
从现在到下课时钟转了多少度?
分针转了多少度?
秒针转了多少度?
(口答)老师点评:
时针、分针、秒针在不停地转动,它们都绕时针的中心.如果从现在到下课时针转了_______度,分针转了_______度,秒针转了______度.
2.再看我自制的好像风车风轮的玩具,它可以不停地转动.如何转到新的位置?
(老师点评略)
3.第1、2两题有什么共同特点呢?
共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形,那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度.
像这样,把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
如果图形上的点P经过旋转变为点P′,那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
23.1图形的旋转
(2)
第二课时
教学内容
1.对应点到旋转中心的距离相等.
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前后的图形全等及其它们的运用.
教学目标
理解对应点到旋转中心的距离相等;理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;理解旋转前、后的图形全等.掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用.
先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念,接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质.
重难点、关键
1.重点:
图形的旋转的基本性质及其应用.
2.难点与关键:
运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)老师口问,学生口答.
1.什么叫旋转?
什么叫旋转中心?
什么叫旋转角?
2.什么叫旋转的对应点?
3.请独立完成下面的题目.可画两个三角形,然后得出相关结论。
让同学们动手做。
看看可得出什么结论。
三、巩固练习教材P64练习1、2.
五、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课应掌握:
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
3.旋转前、后的图形全等及其它们的应用.
23.2中心对称
(1)
第一课时
教学目标
了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题.
复习运用旋转知识作图,旋转角度变化,设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念,并运用它解决一些实际问题.
重难点、关键
1.重点:
利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题.
2.难点与关键:
从一般旋转中导入中心对称.
教学过程
一、复习引入
二、探索新知
问题:
作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案,并回答下列的问题:
像这样,把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心.
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
23.2中心对称
(2)
第二课时
1.重点:
中心对称的两条基本性质及其运用.
2.难点与关键:
让学生合作讨论,得出中心对称的两条基本性质.
教学过程
一、复习引入
(老师口问,学生口答)
1.什么叫中心对称?
什么叫对称中心?
2.什么叫关于中心的对称点?
3.请同学随便画一三角形,以三角形一顶点为对称中心,画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形,并分组讨论能得到什么结论.
四、归纳小结(学生总结,老师点评)
本节课应掌握:
中心对称的两条基本性质:
1.关于中心对称的两个图形,对应点所连线都经过对称中心,而且被对称中心所平分;
2.关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用.
23.2中心对称(3)
第三课时
教学内容
1.中心对称图形的概念.
2.对称中心的概念及其它们的运用.
教学目标
了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念,掌握这两个概念的应用.
复习两个图形关于中心对称的有关概念,利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用.
重难点、关键
1.重点:
中心对称图形的有关概念及其它们的运用.
2.难点与关键:
区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形.
例3.求证:
如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形.
分析:
中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点,也是对应点间的线段中点,因此,直接可得到对角线互相平分.
证明:
如图,O是四边形ABCD的对称中心,根据中心对称性质,线段AC、BD必过点O,且AO=CO,BO=DO,即四边形ABCD的对角线互相平分,因此,四边形ABCD是平行四边形.
五、归纳小结(学生归纳,老师点评)
本节课应掌握:
1.中心对称图形的有关概念;
2.应用中心对称图形解决有关问题.
23.2中心对称(4)
第四课时
教学目标
理解P与点P′点关于原点对称时,它们的横纵坐标的关系,掌握P(x,y)关于原点的对称点为P′(-x,-y)的运用.
复习轴对称、旋转,尤其是中心对称,知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用.
23.3课题学习图案设计
教学内容
课题学习──图案设计
教学目标
利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计,设计出称心如意的图案.
通过复习平移、轴对称、旋转的知识,然后利用这些知识让学生开动脑筋,敝开胸怀大胆联想,设计出一幅幅美丽的图案.
第二十四章圆
24.1圆(共3课时)
24.1.1圆与24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)
教学内容:
1.圆的有关概念。
2.垂径定理:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧及其它们的运用。
教师提问几名学生并点评总结:
(1)图上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);
(2)到定点的距离等于定长的点都在同一圆上。
得到圆的新定义:
圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长的组成的图形。
六、板书设计:
1.圆的有关概念;
2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
3.垂径定理及推论以及它们的应用。
24.1.3弧、弦、圆心角(第2课时)
教学内容:
1.圆心角的概念。
2.有关弧、弦、圆心角关系的定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
3.定理的推论:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
24.1.4圆周角(第3课时)
教学内容:
1.圆周角的概念。
2.圆周角定理:
在周圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对的圆心角的一半。
推论:
半圆(直径)所对的圆周角是直角,90圆周角所对的弦是直径及其它们的应用。
第二十四章圆
24.2与圆有关的位置关系(共4课时)
24.2.1点与圆有关的位置关系(第1课时)
得出结论:
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:
点P在圆外d>r;点P在圆上d=r;点P在圆内d 不在同直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。 4.教师学生共同研究第99页的反证法。 24.2.2直线和圆有关的位置关系(第2课时) 教学内容: 1.直线和圆相交、割线;直线和圆相切、圆的切线、切点;直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念。 3.切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 4.切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径。 5.概念: 相交: 直线和圆有两个公共点这直线叫圆的割线; 相切: 直线和圆有一个公共点这直线叫圆的切线,这个公共点叫做切点; 相离: 直线和圆没有公共点就说直线和圆相离。 24.2.2直线和圆有关的位置关系(第3课时) 教学内容: 1.切线长的概念。 2.切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3.三角形的内切圆及三角形内心的概念。 教学目标: 1.了解切线长的概念。 2.理解切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3.了解三角形的内切圆和三角形内心的概念,熟练掌握它的应用。 三角形的内切圆: 与三角形各边都相切的圆。 三角形的内心: 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点。 24.2.3圆和圆有关的位置关系(第4课时) 教学内容: 1.两个圆相离(外离、内含),两个圆相切(外切、内切),两个圆相交等概念。 2.设两个圆的半径分别为r1、r2,圆心距(两圆圆的距离)为d,则有两圆的位置关系,d与r1、和r2之间的关系。 两个圆之间的五种情况: 外离: 两个圆没有公共点;外切: 两个圆只有一个公共点; 相交: 两个圆有两个公共点;内切: 两个圆只有一个公共点; 内含: 两个圆没有公共点(包括: 同心圆)。 24.3正多边形和圆(共1课时) 教学内容: 1.正多边形和圆的有关概念;正多边形的外接圆,正多边形的中心,正多边形的半径,正多边形的中心角,正多边形的边心距。 2.在正多边形和圆中,圆的半径、边长、边心距、中心角之间的等量关系。 3.正多边形的画法。 (1)概念: 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n(n≥3)条边,就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形,正方形有四条边叫正四边形. 矩形不是正多边形,因为边不一定相等.菱形不是正多边形,因为角不一定相等. (四)多边形和圆的关系的定理 定理: 把圆分成n(n≥3)等份: (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形; (2)经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 我们以n=5的情况进行证明. 说明: (1)要判定一个多边形是不是正多边形,除根据定义来判定外,还可以根据这个定理来判定,即: ①依次连结圆的n(n≥3)等分点,所得的多边形是正多迫形;②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线,相邻切线相交成的多边形是正多边形. (2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件. 定理: 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆. 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于360÷n. (四)正多边形的性质: 1、各边都相等. 2、各角都相等. 观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形? 如果是,它们又各应有几条对称轴? 3、正多边形都是轴对称图形,一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形,它的中心就是对称中心. 4、边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方. 5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆. 第二十四章圆 24.4弧长和扇形面积(共2课时) 24.4.1弧长和扇形面积(第1课时) 教学目标: 1.理解nº的圆心角所对的弧长 2.了解扇形的概念; 3.理解圆心角为nº的扇形面积 24.4.1圆锥的侧面积和全面积(第2课时) 教学内容: 1.圆锥母线的概念。 2.圆锥侧面积的计算方法。 3.计算圆锥全面积的计算方法。 4.应用它们解决实际问题。 (1)什么叫做圆锥的母线? 2)圆锥侧面剪开是什么图形? (3)圆锥侧面积怎样计算? (4)圆锥全面积怎样计算? 25.1.1随机事件(第一课时) 知识与技能: 通过对生活中各种事件的判断,归纳出必然事件,不可能事件和随机事件的特点,并根据这些特点对有关事件作出准确判断。 过程与方法: 历经实验操作、观察、思考和总结,归纳出三种事件的各自的本质属性,并抽象成数学概念。 情感态度和价值观: 体验从事物的表象到本质的探究过程,感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。 (1)太阳从西边下山; (2)某人的体温是100℃; (3)a2+b2=-1(其中a,b都是实数); (4)水往低处流; (5)酸和碱反应生成盐和水; (6)三个人性别各不相同; (7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解 2.引发思考 我们把上面的事件 (1)、(4)、(5)、(7)称为必然事件,把事件 (2)、(3)、(6)称为不可能事件,那么请问: 什么是必然事件? 什么又是不可能事件呢? 它们的特点各是什么? 二、引导两个活动,自主探索新知 活动1: 5名同学参加演讲比赛,以抽签方式决定每个人的出场顺序。 签筒中有5根形状大小相同的纸签,上面分别标有出场的序号1,2,3,4,5。 小军首先抽签,他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机(任意)地取一根纸签。 请考虑以下问题: (1)抽到的序号是0,可能吗? 这是什么事件? (2)抽到的序号小于6,可能吗? 这是什么事件? (3)抽到的序号是1,可能吗? 这是什么事件? (9)抛掷一千枚硬币,全部正面朝上。 25.1.1随机事件(第二课时) 知识技能: 通过“摸球”这样一个有趣的试验,形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力,了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。 过程和方法: 历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”,及时发现问题,解决问题,总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。 情感态度和价值观: 在试验过程中,感受合作学习的乐趣,养成合作学习的良好习惯;得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。 需经过大量重复的试验,让学生从中体验到科学的探究态度。 课题: 25.1.2概率的意义 教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生
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