百师联盟届高三一轮复习联考三全国卷理科数学试题含答案解析.docx
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百师联盟届高三一轮复习联考三全国卷理科数学试题含答案解析
百师联盟2021届高三一轮复习联考(三)全国卷I
理科数学试卷
注意事项:
1•答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟,满分150分
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P={xk2-1>0(,<2=|xk-2>0|,则PUQ为
B.\x\x<-1或咒工2}
DR
A.\x\x^2\
c.|xlx<-1或%>1|
2.已知复数2=-^-则Z・?
的值
1+1
D.1
C.2
A.OB.2i
3.cos50°cos10°-sin50°sin170°=
A.cos40°
B.sin40°
C-T
4.已知m2^39则直线y=与圆x2+/=l的位置关系为
D・相交
A.相切B.相离C.相交或相切
5.函数/(x)=皂的图象在点(I,/(I))处的切线方程为
D・%=e
X
A・y=%+e-1B・y=eC・y=x-e
6.将函数/(E二sinx的图象上各点横坐标变为原来的+,纵坐标不变,再将所得图象向左平移
于个单位,得到函数g(%)的图象,则函数g(兀)的解析式为
A・g(x)=sin
1丄77
B・g(“)=sin
C.g(x)=sin(2%+-yj
D.g(x)=sin2x
12tt
Tx+T
2tt\
+T
7.已知正实数%满足a+b=l,则(3+制1+壬)的最小值为
A.14+4^
B.25
C.24
D.12A
8.零差数列gI的前n项和为5„,其中衍=y,54=14,则当耳取得最大值时n的值为
A.4或3
B.3或4
C.4
9•已知aw
B.
3
-y-r贝ljtan 1 7 c.-7或弓 D.3 D.一7或* 10.如图所示•某旅游景区的伏C景点和距2km,测得观光塔Ai)的塔底D在景点B的北偏东45。 .在呆点C的北偏西60。 方向上,在景点B处测得塔顶4的仰角为45。 现有游客甲从景点&沿直线去往景点C,则沿途中观察塔顶点的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身髙忽略不计) C.1 D. V3 2 11•设有穷数列帀讣的前兄项和为粘令'杠2厂•…f,称人为数列①宀,…宀的n “凯森和”,已知数列«,,5,…,%o的“凯森和“为4042,那么数列-1宀,%o的“凯森和”为 A.4036B.4037C.4038D.4039 12.已知a,b满足0<农<6ce,则—与//+V的大小关系为 <1b abao C・『+— ab 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 严乡1 13-已知平面上点满足“2yW4,则“3y-2”的最大值为- 勿-毎0 14.已知在△他C中"是EC的中点=4AD=272.lAHC=fflLAliC的面积为・ 15已知点。 /在同一平面上,A,B.C三点不共线,且满足OA+m+OC",其中I旋1=用,1亦1=2,1001=/14,则OA・OB的值为,则ZMEC的面积为.(第 一空2分,第二空3分〉 16•已知正方体ABCD-A.R^D,的棱长为5,其中有一半径为2的球。 与该正方体的底而ABCD和两个侧面XDDxAx肿也都相切•另有一球血,既与正方体的另外两侧面宓厲,DCCg以及底面ARCD相切,又与球Q相切,则球02的半径为• 三、解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 60分。 17.(12分) 已知数列IJ\的前«项和S“=几数列也-叫}是首项为2,公比为2的等比数列. (1)求数列{aJ和数列;bn-a„|的通项公式; (2)求数列心}的前死项和 18.(12分) 在LABC中,乙A,厶B,乙C的对边分别为a,b,c.已知QccosC=acosB+6cosA (1)求乙(7的大小; (2)已知a+6=4,求MBC的面积的最大值. 19.(12分) 斜三棱柱ABC-HDE中,平面丄平面BCD,AABC是边长为1的等边三角形,DC丄PC, 且DC长为存,设DC中点为仏且几G分别为CE.AD的中点. (1) 证明: FG〃平面朋C; (2) 20.(12分) 求二面角B—AC—E的余弦值. 某企业年初在一个项目上投资2千万元,据市场调查,每年获得的利润为投资的50%,为了企业长远发展,每年底需要从利润中取岀500万元进行科研、技术改造,其余继续投入该项目•设经过“(xN")年后,该项目的资金为叫万元 (1)求证: 数列1«„-1000! 为等比数列; (2)若该项目的资金达到翻一番,至少经过儿年? (lg3«0.5,lg2«0.3) 21.(12分) 已知函数/(比)=©7(丁疋一2%+2sinx+1),g(x)=sinx+cosx+x2-2x (1)求g(E在点(0,g(0))处的切线方程; (2)证明: 对任意的实数*1,g(E^af(x)在[0,+oo)上恒成立. (二)选考题"0分。 请考生在第22.23题中选定一题作答,并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。 按所涂题号进行评分,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多答,则按所答第一题评分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) X=cos0 在平面直角坐标系诃,中,曲线G的参数方程为c・,&为参数),以坐标原点为极 y=2sin0 点/轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程为psinp+y)=1 (1)求G的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)若G与C? 相交于4眉两点,设P(-1,疗)■求IP/1I-\PB\. 23•[选修4-5: 不等式选讲](10分)已知%,>5=0,满足X+y=2. (1)求/+Xy+3/的最小值; (2)证明沌今&+/)w2. 百师联盟2021届高三一轮复习联考(三)全国卷I 理科数学参考答案及评分意见 1.C解析: 由题意由题意P=! ^lx>l或沐故PUQ=P,故选C. 2.C解析: z•z-Izl2,2=][■;=1+i,则z•2=Izl2=J22=2.故选C. 3.C解析: 由题意,cos50°cos10°-sin50°sin170°=cos50°cos10°-sin50°sin10。 =cos60°= 故选C. 4.D解析: 由题意,该圆的圆心为0(0,0),该点到该直线的距离为<1,故选D. 5.B解析: /'(%)二竺二匚,所以广 (1)=0,又/ (1)二e,所以切线方程为y=e.故选B. x~ 6.D解析: /(%)=sinx图象上各点横坐标变为原来的y,Wy=sin2x再向左平移号•个单位后 得: g(%)=血(2兀十¥)•故选D. 7.A解W: (3+±)(l+|)= 丑型二归卫土如“4+8・牛+3・2工14+4 ba 拓.故选A. &C解析: 设{(叮公差为",由题意知 a}+2/=令 2,解得 [4创+6(/=14 13 ai=T 2,由等差数列前几项和公式 d=—2 知S”二- 孕“),由二次函数相关知识,当zt=4时,S”最大.故选C. 9.A解析: 因为aw tv3tt ,又cos IT r£ TTTT 4 所以sin(a-于 4、 =g,所以cosa=cos 1T\.7T1(IT\7T・ 4")+T\=cos—-sin 7T r sin于=-需,所以得sina故tana=-7.故选A. 10.A【解析】由题意得乙DBC=45°,ZDCB=3O°,BC=2. 故乙3DC=180。 一(乙DBC+乙DCB)=105° 在中,由正弦定理得 BD sinZDCB BC sin乙BDC 所以刃)二 BC•sin乙DCBsinZ_BDC 当游客甲到达E处时,仰角为LAED且tanMED=炭 因为ad为定长,所以当DE的长最小时,怕nZ.AE0取最大值. 故当DE丄〃C时.tan^AED最大•在Rt^DEB中,DE=BD-sin45° =(76-72)*舟=昶・\. 在RlZUDB中,乙ABD=45°,所以AD=BD二届—Q. 所以tan乙AED=―—=-! 1.故选A. DE73-1 11.D解析: 由已知可得5+S2+-+52O2O=2020x4042 贝! j—1+(—1+)+(-1+吗+。 2)+•••+(-1+佝+“2+“2020)二—Ix2021+S[+S? +•••+ 5^=-1X2021+2021X4042 所以数列-1,⑷卫2,…,。 迥的“凯森和”为匸"X2021蛊]020X4042=“+2020x2=4039 故选D. 12.C解析: 两边同时取对数后,我们发现比较疋与bn的大小关系等价于比较也与学的大 ab 小关系,设/&)=—,W7x)可得XE(0,e)时/仏)>0,/(x)单调递增,所以 XX b1IIdL>(£111b、并c (L+——<6+~7—・故选c. ab 13.y解析: 由题意,可知可行域如图中阴影部分所示,由题意y=y%+^-z,当在{1,*)处z 取得最大值号. 14.2再+2解析: 在△倔中,由正弦定理監岛,解得血5〃詁,故 M4D二于,所以S△他=y•BP.AD-sin乙BDA=^+1,由。 为BC的中点所以兀磁= 2S△個〃 =2A+2・ 15.2,37? 解析: 由题意IOA^OB\二|-况|=厢,故I方$+\0B\2+2页•亦=14,解得 0A•丽=2又因为OA.OB=\OA\\OB\cosLAOB=2.所以cos厶AOB卑. 0 故sin60,晋,故也厂*10为1•lOBIsin"03=点,同理可求得仇他与九心 求和知S△磁二3、$ 16.1解析: 设球。 2半径为r,由题意知,球。 与球。 2外切,则由勾股定理得(2-r)2+(5Q -2渥一©7)2=(2+r)\求解可知r=1. 17. (1)由题意知a】二S]=1,1分 当心2=S„-5„_|=zi2-(n-1)2=2n-13分 A|=1符合an=2n-1 所以a„=2n-1,5分 由题意知7分 (2)由 (1)可知丄几=2八+2几一1,9分 10分 12分 Tn=»+b2++6ZJ=(2'+22+・・・2“)+(1+3+…+2n-1) =2小-2+7? 得cosC 由Cg(0,77),故C=于6分 (2)由a心4,得血8分 10分 当且仅当a=b=2时取等号II分 所以△E〃C面积的最大值为Q12分 19. (I)取肋中点N,连结GN,NF,易知N,M,F三点共线, 由GN〃肋,且GAV平ABC,ABC平面MC,故GN〃平面MC,2分 同理可得WF〃平面A3C,3分 因为GNCNFnN,故平面G/VF〃平面MC,4分 由FGU平面FGN,故FG〃平面4BC5分 (2)以中点。 为坐标原点,以0C,OW,OH分别为轴,建立空间直角坐标系0-啪, 由已知可得40,0 2 ,故亦=(1,厲,0),农=(*,0, 7分 •AC=0 设加=(兀,y,z)为平面ME的法向量,则—,解得加=(疗,-1,1),9分 \m>CE=Q 10分 11分 由于ON丄平面/1BC,不妨取平面ABC的法向量为/I=(0」,0) 所以cos 由图可知所求二面角为钝角,故二面角B-AC-E的余弦值为-警12分 20. (1)证明: 由题意知%=(1+50%)匕-500(心2).2分 即5_500,所以叫-1000=1-(^.,-1000)(心2).4分 由题意知①=2000(1+50%)-500=2500所以数列{%-1000}的首项为引-1000=1500 所以{%-1000}是首项为150(),公比为号的等比数列.5分 (2)由⑴知数列{叫-1000}的首项为81-1000=1500,公比为斗6分 an-1an-1 所以an-1000=1500(y),所以a„=1500(y)+1000.9分 当a&4000,得(非"m2.10分 两边取常用对数得(n-l)仗訂矽,所以n-1『鈣犷0f-3所以心2.5 因为neN\所以n=3 即至少经过3年,该项目的资金达到翻一番.12分 21. (1)由题意,设该切线的切线方程为y=kx+b,由gf(x)=cosx-sinx+2x-2,2分 故A: =g'(0)=-1,由g(0)=1,解得b=1,故该切线的切线方程为y--x+14分 (2)证明: 设/i(x)=-yx3~2x+2sinx+1,贝l]h'(x)-x-2+2cos贝ljh"(x)=2x-2sinx MO, 故W)在[o,+oo)上单调递増"(%)M/(0)=0,故/心)在[0,+00)上单调递增, 所以A(x)^A(O)>0,所以/(巧>0在[0,+00)上恒成立, 故g(%)-af(x)>g(x)-f(x),8分 故只需证g(x),即证e*(sinx+cosx+x2-2x)--2兀+2sinx+1)MO 10分 设F(x)=e1(sinx+cosx+x2-2x)-(*%'-2x+2sin%+1), 贝ljF'(x)=e'(2cos%+/一2)-(2cosx+x2-2)=(2cosx+x2-2)(ev-1)M0, 在[0,+oo)上恒成立.12分 ! X=COS2 得/+务=12分 y=2sin0 由C2: psin(8+才)=1得专卩心11&+*pcos0=1,将%=pcos0, y二psin0代入可得%+、%-2=05分 (2)经检验P(-l,A)在曲线C2上,则曲线C2的参数方程可以为Q为参 y=A+* 数)7分 代入iH【线G,得13『+20A: +12=0,8分 设久3两点对应的参数分别为儿,<2,则由韦达定理得z.G=j|,9分 故回I・IP/? I=j|10分 23. (1)由题意,/+xy+3/=x(x+y)+3))=2(2-y)+3#=3^-2y+4,3分 由二次函数知识,知上式在y=y时4分 取到最小值¥ (2)证明: 由题口条件以及均值不尊式可以得到: xy(x2+y2)=xy{x2+y2) +y2)w x2y2(%2+y2) =2, 10分 当且仅当x=y=l时等号成立
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