高中数学 必修4讲义第一章 12 121 第一课时 三角函数的定义与公式一 Word版含答案.docx
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高中数学必修4讲义第一章12121第一课时三角函数的定义与公式一Word版含答案
1.2.1 任意角的三角函数
第一课时 三角函数的定义与公式一
预习课本P11~15,思考并完成以下问题
(1)任意角的三角函数的定义是什么?
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关?
(3)如何求三角函数的定义域?
(4)如何判断三角函数值在各象限内的符号?
(5)诱导公式一是什么?
1.任意角的三角函数的定义
前提
如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)
定义
正弦
y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y
余弦
x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x
正切
叫做α的正切,记作tanα,即tanα=
(x≠0)
三角
函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数
[点睛] 三角函数也是函数,都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数;三角函数值只与角α的大小有关,即由角α的终边位置决定.
2.三角函数值的符号
如图所示:
正弦:
一二象限正,三四象限负;
余弦:
一四象限正,二三象限负;
正切:
一三象限正,二四象限负.
简记口诀:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.诱导公式一
即终边相同的角的同一三角函数值相等.
[点睛] 诱导公式一的实质是:
终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α=β+720°,则cosα=cosβ.( )
(2)若sinα=sinβ,则α=β.( )
(3)已知α是三角形的内角,则必有sinα>0.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)√
2.若sinα<0,tanα>0,则α在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
答案:
C
3.已知角α的终边与单位圆的交点P
,则sinα+cosα=( )
A.
B.-
C.
D.-
答案:
B
4.sin
=________,cos
=________.
答案:
-
三角函数的定义及应用
[典例] 设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),那么sinα+2cosα的值等于( )
A.
B.-
C.
D.-
[解析] ∵点P在单位圆上,则|OP|=1.
即
=1,解得a=±
.
∵a<0,∴a=-
.
∴P点的坐标为
.
∴sinα=-
,cosα=
.
∴sinα+2cosα=-
+2×
=
.
[答案] A
利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种:
法一:
先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
法二:
在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则sinα=
,cosα=
.已知α的终边求α的三角函数值时,用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
[活学活用]
1.如果α的终边过点P(2sin30°,-2cos30°),那么sinα的值等于( )
A.
B.-
C.-
D.-
解析:
选C 由题意知P(1,-
),
所以r=
=2,
所以sinα=-
.
2.已知角α的终边过点P(12,a),且tanα=
,求sinα+cosα的值.
解:
根据三角函数的定义,tanα=
=
,
∴a=5,∴P(12,5).这时r=13,
∴sinα=
,cosα=
,从而sinα+cosα=
.
三角函数值符号的运用
[典例]
(1)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0,则角θ的终边一定位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
(2)设α是第三象限角,且
=-cos
,则
所在象限是( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
[解析]
(1)由sinθ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合.由tanθ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.
(2)∵α是第三象限角,
∴2kπ+π<α<2kπ+
,k∈Z.
∴kπ+
<
. ∴ 在第二、四象限. 又∵ =-cos ,∴cos <0. ∴ 在第二象限. [答案] (1)D (2)B 对于已知角α,判断α的相应三角函数值的符号问题,常依据三角函数的定义,或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理. [活学活用] 1.设△ABC的三个内角为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A.tanA与cosBB.cosB与sinC C.sinC与tanAD.tan 与sinC 解析: 选D ∵0<A<π,∴0< < ,∴tan >0; 又∵0<C<π,∴sinC>0. 2.若角α是第二象限角,则点P(sinα,cosα)在第________象限. 解析: ∵α为第二象限角, ∴sinα>0,cosα<0. ∴P(sinα,cosα)位于第四象限. 答案: 四 诱导公式一的应用 [典例] 计算下列各式的值: (1)sin(-1395°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°; (2)sin +cos ·tan4π. [解] (1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°) =sin45°cos30°+cos60°sin30° = × + × = + = . (2)原式=sin +cos ·tan(4π+0)=sin +cos ×0= . 利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤 [活学活用] 求下列各式的值: (1)sin +tan ; (2)sin810°+cos360°-tan1125°. 解: (1)sin +tan =sin +tan =sin +tan = +1. (2)sin810°+cos360°-tan1125° =sin(2×360°+90°)+cos(360°+0°)-tan(3×360°+45°) =sin90°+cos0°-tan45° =1+1-1 =1. 层级一 学业水平达标 1.若α= ,则α的终边与单位圆的交点P的坐标是( ) A. B. C. D. 解析: 选B 设P(x,y),∵角α= 在第二象限, ∴x=- ,y= = , ∴P . 2.若角α的终边上一点的坐标为(1,-1),则cosα为( ) A.1B.-1 C. D.- 解析: 选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1,-1),它与原点的距离r= = ,∴cosα= = = . 3.若三角形的两内角α,β满足sinαcosβ<0,则此三角形必为( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 解析: 选B ∵sinαcosβ<0,α,β∈(0,π), ∴sinα>0,cosβ<0,∴β为钝角. 4.代数式sin120°cos210°的值为( ) A.- B. C.- D. 解析: 选A 利用三角函数定义易得sin120°= , cos210°=- ,∴sin120°cos210°= × =- ,故选A. 5.若角α的终边在直线y=-2x上,则sinα等于( ) A.± B.± C.± D.± 解析: 选C 在α的终边上任取一点(-1,2),则r= = ,所以sinα= = = .或者取P(1,-2),则r= = ,所以sinα= =- =- . 6.tan =________. 解析: tan =tan =tan = . 答案: 7.已知角α的终边过点P(5,a),且tanα=- ,则sinα+cosα=________. 解析: ∵tanα= =- ,∴a=-12. ∴r= =13. ∴sinα=- ,cosα= . ∴sinα+cosα=- . 答案: - 8.若角α的终边落在直线x+y=0上,则 + =________. 解析: 当α在第二象限时, + =- + =0;当α在第四象限时, + = - =0. 综上, + =0. 答案: 0 9.求下列三角函数值: (1)cos(-1050°); (2)tan ;(3)sin . 解: (1)∵-1050°=-3×360°+30°, ∴cos(-1050°)=cos(-3×360°+30°)=cos30°= . (2)∵ =3×2π+ , ∴tan =tan =tan = . (3)∵- =-4×2π+ , ∴sin =sin =sin = . 10.已知点M是圆x2+y2=1上的点,以射线OM为终边的角α的正弦值为- ,求cosα和tanα的值. 解: 设点M的坐标为(x1,y1). 由题意,可知sinα=- ,即y1=- . ∵点M在圆x2+y2=1上, ∴x +y =1, 即x + 2=1, 解得x1= 或x2=- . ∴cosα= 或cosα=- , ∴tanα=-1或tanα=1. 层级二 应试能力达标 1.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3)D.[-2,3] 解析: 选A 由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以有
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