精算师中国精算师资格考试《金融数学》真题.docx
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精算师中国精算师资格考试《金融数学》真题
精算师2021中国精算师资格考试《金融数学》真题
利息理论
第1章 利息的基本概念
单项选择题(以下各小题所给出的5个选项中,只有一项最符合题目要求,请将正确选项的代码填入括号内)
1.已知在未来三年中,银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息,第二年按计息四次的名义年利率12%计息,第三年的实际年利率为6.5%。
某人为了在第三年末得到一笔10000元的款项,第一年年初需要存入银行( )元。
[2011年秋季真题]
A.7356
B.7367
C.7567
D.7576
E.7657
【答案】C@@@
【解析】由名义年利率
和实际年贴现因子
的等价关系
,可得:
每年的贴现因子分别为
,
,
。
因此,第三年末10000元的款项在第一年初的现值为:
。
2.已知0时刻在基金A中投资1元到2t时的积累值为(3t+1)元,在基金B中投资1元到3t时的积累值为
元。
假设在T时基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍,则0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为( )元。
[2011年秋季真题]
A.27567
B.27657
C.27667
D.27676
E.27687
【答案】C@@@
【解析】由题得,0时刻在基金A中投资1元到t时的积累值为(1.5t+1)元,即积累因子
,利息强度
在基金B中投资1元到3t时的积累值为
元,因此在基金B中投资1元到t时的积累值为
元,因此
。
当
时,即
,解得
,因此0时刻在基金中B投资1000元在5T时的积累值为
元。
3.已知某基金的积累函数a(t)为三次函数,每三个月计息一次,第一季度每三个月计息一次的年名义利率为10%,第二季度每三个月计息一次的年名义利率为12%,第三季度每三个月计息一次的年名义利率为15.2%,则
为( )。
A.0.0720
B.0.0769
C.0.0812
D.0.0863
E.0.0962
【答案】E@@@
【解析】令
,由于
,所以
。
到第一季度末,
,到第二季度末:
,到第三季度末:
,联立上述三个方程,解得
。
因此
。
而
,所以
=0.0962.
4.已知0时刻在基金A中投资一元到T时刻的积累值为1.5t+1,在基金B中投资一元到3t时刻的积累值为9t2-3t+1元,假设在T时刻基金B的利息强度为基金A的利息强度的两倍,则0时刻在基金B中投资10000元,在7T时刻的积累值为( )。
[2011年春季真题]
A.566901
B.567902
C.569100
D.570000
E.570292
【答案】D@@@
【解析】
,
。
可得:
,解得T=8/7。
所以
5.(2008年真题)已知
,则第10年的
等于( )。
A.0.1671
B.0.1688
C.0.1715
D.0.1818
E.0.1874
【答案】D@@@
【解析】由已知
,得:
,
所以,
,
又
,故
。
6.(2008年真题)如果现在投资3,第二年末投资1,则在第四年末将积累5,则实际利率为( )。
A.6.426%
B.6.538%
C.6.741%
D.6.883%
E.6.920%
【答案】B@@@
【解析】设实际利率为i,则有:
解得:
i=6.538%。
7.(2008年真题)假定名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%,则1000元在3年末的积累值为( )元。
A.1065.2
B.1089.4
C.1137.3
D.1195.6
E.1220.1
【答案】D@@@
【解析】1000元在3年末的积累值为:
8.(2008年真题)某人初始投资额为100,假定年复利为4%,则这个人从第6年到第10年的5年间所赚利息为( )。
A.26
B.27
C.28
D.29
E.30
【答案】A@@@
【解析】从第6年到第10年的5年间所赚利息为:
9.(2008年真题)己知
,其中a>0,b>0为常数,则积累函数a(t)为( )。
A.
B.
C.
D.
E.
【答案】E@@@
【解析】
10.(2008年真题)甲基金以月度转换12%的利率积累,乙基金以利息力
积累,期初存入两支金额相等的基金,则两支基金金额相等的下一个时刻为( )。
A.1.4328
B.1.4335
C.1.4362
D.1.4371
E.1.4386
【答案】A@@@
【解析】不妨设期初存入的金额为1,则甲基金的积累函数为:
乙基金的积累函数为:
,
由
,得:
,
解得:
t=1.4328。
11.(2008年真题)甲基金按6%的年利率增长,乙基金按8%的年利率增长,在第20年的年末两个基金之和为2000,在第10年末甲基金是乙基金的一半,则第5年年末两基金之和为( )。
A.652.86
B.663.24
C.674.55
D.682.54
E.690.30
【答案】E@@@
【解析】设甲、乙基金分别为P、R,则有:
解方程组,得:
故第5年年末两基金之和为:
12.王女士到银行存入1000元,第一年末她存折上的余额为1050元,第二年末她存折上的余额为1100元。
则第一年、第二年的实际利率分别为( )。
A.4.762%;5%
B.5%;4.762%
C.5%;5%
D.8.762%;7%
E.10%;10%
【答案】B@@@
【解析】已知A(0)=1000,A
(1)=1050,A
(2)=1100,所以第一年、第二年的实际利率分别为:
i1=[A
(1)-A(0)]/A(0)=50/1000=5%;
i2=[A
(2)-A
(1)]/A
(1)=50/1050=4.762%。
13.张先生投资1000元于一年期证券上,该证券年实际利率为10%。
则一年后,此人将得到的金额及利息分别为( )元。
A.1001;1
B.1010;10
C.1100;100
D.1200;200
E.2000;1000
【答案】C@@@
【解析】总金额为:
A
(1)=A(0)(1+i)=1000(1+0.1)=1100(元);
其中利息为:
I1=A
(1)-A(0)=100(元)。
14.某银行年息为6%,李某于2008年8月存入5000元,则以复利计息5年后的积累值比以单利计息5年后的积累值多( )元。
A.150.13
B.191.13
C.300
D.6500
E.6691.13
【答案】B@@@
【解析】若以单利计息,则其5年后的积累值为:
A1(5)=5000(1+5×6%)=6500(元)
若以复利计息,则其5年后的积累值为:
A2(5)=5000(1+6%)5=6691.13(元)
故以复利计息比以单利计息多:
6691.13-6500=191.13(元)。
15.已知年实际利率为8%,则4年后支付10000元的现值为( )元。
A.7348.0
B.7349.1
C.7350.3
D.7351.2
E.7352.4
【答案】C@@@
【解析】由于i=8%,故
,所以4年后支付10000元的现值为:
(元)
16.(样题)在1980年1月1日,某人以年利率j(每半年计息一次)向X银行存入1000元,1985年1月1日,他以年利率k(每季计息一次)把X银行全部资金转存Y银行,1988年1月1日,其Y银行的存款余额为1990.76元,如果他从1980年1月1日至1988年1月1日都能获得年利率k(每季计息一次),则他的银行存款余额可达2203.76元。
则比率
=( )。
A.1.20
B.1.25
C.1.30
D.1.35
E.1.40
【答案】B@@@
【解析】从80年1月1日到88年1月1日存款积累值为:
①
如果他来时就存入Y银行,则其在88年1月1日的银行存款余额为:
所以,
,
故
,代入①,解得:
故
。
17.王先生到银行存入5000元,第一年末他存折上的余额为5200元,第二年末他存折上的余额为5400元。
则其第一年、第二年的实际贴现率分别为( )。
A.3.846%;3.704%
B.3.704%;4%
C.4%;3.846%
D.4%;8%
E.3.846%;8%
【答案】A@@@
【解析】已知A(0)=5000,A
(1)=5200,A
(2)=5400,故
第一年的实际贴现率为:
=3.846%;
第二年的实际贴现率为:
=3.704%。
18.设0 (1)若0 >1-dt; (2)若t=1,则 =1-dt; (3)若t>1,则 <1-dt。 A. (1) B. (2) C.(3) D. (1) (2) E. (1) (2)(3) 【答案】B@@@ 【解析】令 ,于是 。 ①当0 ,从而 。 所以对任意的0 即当0 >1-dt; ②当t=1时,有: =1-dt=1-d; ③当t>1时, ,所以 ,f(d)为单调递增函数, 从而f(d)>f(0)=0,即当t>1时, <1-dt。 19.已知某项投资在一年中能得到的利息金额为336元,而等价的贴现金额为300元,则其本金为( )元。 A.2500 B.2600 C.2700 D.2800 E.2900 【答案】D@@@ 【解析】设本金为P元,则P·i=336,P·d=300,又d=i/1+i,所以: 1+i=336/300=1.12 解得: i=0.12。 故本金P=336/0.12=2800(元)。 20.10000元按每年计息4次的年名义利率6%投资3年的积累值为( )元。 A.11956 B.11996 C.12000 D.12006 E.12056 【答案】A@@@ 【解析】 =11956.2(元)。 21.(样题)用年贴现率 (每季计息一次),计算年利率 (每4年计息一次)所得的结果为( )。 A. B. C. D. E. 【答案】D@@@ 【解析】因 , 又 ,所以有: , 因此, 。 22.如果 =0.01t,0≤t≤2。 则投资1000元在第1年末的积累值和第二年内的利息金额分别为( )元。 A.1001;15.2 B.1002;15.0 C.1003;15.2 D.1004;15.0 E.1005;15.2 【答案】E@@@ 【解析】由已知条件得: =1005(元); 第二年内的利息金额为: =15.2(元)。 23.(样题)基金X本金为1000,按 累积,基金Y本金为1000,前3年按年名义利率8%(每半年计息一次)累积,以后按年复利率i累积,在第4年末基金X和基金Y价值相等,则i=( )。 A.0.0777 B.0.0800 C.0.0825 D.0.0850 E.0.0875 【答案】A@@@ 【解析】基金X的积累值为: , 基金Y的积累值为: 因第4年末基金X和基金Y价值相等,所以有: X=Y, 即 , 解得: 。 24.(样题)基金A在利息强度函数 下累积,基金B在利息强度函数 下累积,在t=0和t=n时,基金A与基金B价值相等。 已知a>g>0,h>b>0,计算n=( )。 A. B. C. D. E. 【答案】C@@@ 【解析】t=n时,基金A的积累值为: , 基金B的积累值为: , 两基金在t=n时的积累值相等,故有: , 从而 。 25.如果实际利率在前3年为10%,随后2年为8%,再随后1年为6%,则一笔1000元的投资在这6年中所得总利息为( )元。 A.645.4 B.645.6 C.645.8 D.645.9 E.646.1 【答案】B@@@ 【解析】由已知条件得: I=A(6)-A(0)=1000[a(6)-1] =1000[(1+0.1)3×(1+0.08)2×1.06-1] =645.63(元)。 26.已知年度实际利率为8%,则与其等价的利息强度为( )。 A.7.7% B.7.8% C.7.9% D.8.1% E.8.2% 【答案】A@@@ 【解析】已知i=8%,故 =7.7%。 27.已知一笔业务按利息强度为6%计息,则投资500元、经过8年的积累值为( )元。 A.805 B.806 C.808 D.810 E.812 【答案】C@@@ 【解析】投资8年后的积累值为: =808.04(元)。 28.(样题)已知 ,对于n与n+1(2≤n≤9)之间的任意一年时间里,计算 =( )。 A. B. C. D. E. 【答案】C@@@ 【解析】1个单位在t=n时的累积值为: , 在n与n+1之间的年贴现率为: , 于是, , 故 。 29.(样题)时间为t时的利息强度函数为 ,则 =( )。 A.0.78 B.0.80 C.0.82 D.0.84 E.0.86 【答案】C@@@ 【解析】 。 30.设A(t)=10t+ +2,则a(t)=( )。 A.t+0.1 +0.2 B.2t+0.2 +0.4 C.5t+0.5 +1 D.10t+ +2 E.11t+1.1 +2.2 【答案】C@@@ 【解析】因为A(0)=2,故a(t) =(10t+ +2)/2=5t+0.5 +1。 31.设A(3)=20,in=0.02n,则I6=( )。 A.2.85 B.12.25 C.21.60 D.23.76 E.26.61 【答案】A@@@ 【解析】由题意,得: , , 所以,I6=A(6)-A(5)=26.61-23.76=2.85。 32.已知a(t)=at2+b,如果在0时投资1元,能在时刻3积累至12元;如果在时刻4投资10元,在时刻8的积累值为( )元。 A.200.6 B.205.6 C.210.6 D.215.6 E.220.6 【答案】B@@@ 【解析】由a(0)=1,得b=1; 又由a(3)=9a+1=12,得a= 。 故所求的积累值为: 10[ ×42+1]=205.6(元)。 33.在单利下,5元的投资在3个月后可得到1.2元的利息。 那么800元的投资在5个月后的积累值为( )元。 A.1115 B.1116 C.1118 D.1120 E.1122 【答案】D@@@ 【解析】设每月的单利为i,由题意,得: 5[a(3)-a(0)]=5(1+3i-1)=15i=1.2 解得: i=8%。 故所求的积累值为: 800a(5)=800(1+5×8%)=1120(元)。 34.在复利作用下,投资5元,3个月后可得到1.2个单位的利息。 则投资800元在5个月后的积累值为( )元。 A.1115 B.1125 C.1135 D.1145 E.1155 【答案】D@@@ 【解析】由题意,得: 5a(3)=5(1+i)3=5+1.2=6.2, 所以1+i= =1.07434。 故所求积累值为: 800(1+i)5=800×1.074345=1144.98(元)。 35.设某项投资的单利利率为10%,则在第( )个时期里它的实际利率为5%。 A.7 B.8 C.9 D.10 E.11 【答案】E@@@ 【解析】由已知,单利 ,设第n个时期的实际利率为5%,则 解得: n=11。 36.将1000元款项以每年1%的利率投资10年,按单利计息,则第3年的利息为( )元。 A.7 B.8 C.9 D.10 E.11 【答案】D@@@ 【解析】第3年的利息为: 1000[a(3)-a (2)]=1000[(1+3×1%)-(1+2×1%)]=10(元) 37.按复利计算,将1000元款项以每年1%的利率投资10年,则第3年的利息为( )元。 A.7.00 B.8.50 C.9.02 D.10.20 E.11.68 【答案】D@@@ 【解析】第3年的复利利息为: 1000[a(3)-a (2)]=1000[(1+i)3-(1+i)2]=10.201(元) 38.已知3个单位元经过3个月将增长到5个单位元,则在第1个月末、第2个月末、第4个月末、第6个月末分别投资6个单位元的现值之和为( )个单位元。 A.7.02 B.10.50 C.14.53 D.18.20 E.20.68 【答案】C@@@ 【解析】设月利率为i,由题意,得: 3(1+i)3=5, 所以,(1+i)-1=0.84343。 故所求现值之和为: 6[(1+i)-1+(1+i)-2+(1+i)-4+(1+i)-6] =6(0.84343+0.843432+0.843434+0.843436) =14.525。 39.分别对6%的复利与单利计算d6为( )。 A.5.06%;4.21% B.5.66%;4.41% C.5.96%;4.51% D.6.0%;6% E.6.46%;4.71% 【答案】B@@@ 【解析】对复利6%,有: =0.05660; 对单利6%,有: =0.04412。 40.复利下,贴现率为6%时,d6=____;单利下,贴现率为6%时,d6=____。 ( ) A.6%;8.57% B.6.66%;6% C.6.96%;4.51% D.7.06%;6% E.8.46%;4.71% 【答案】A@@@ 【解析】复利下,有: d6=d=0.06; 单利下,有: =0.0857。
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