湖北黄冈中考数学解析.docx
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湖北黄冈中考数学解析.docx
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湖北黄冈中考数学解析
黄冈市2018年初中毕业生学业水平和高中阶段学校招生考试
数学试题
一、选择题(本题共6小题,每小题3分,共18分。
每小题给出的4个选项中,有且只有一个答案是正确的)
1.(2018湖北黄冈,1题,3分)
的相反数是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由相反数的定义可知,a的相反数是-a,则
,故选C
【知识点】相反数
2.(2018湖北黄冈,2题,3分)下列运算结果正确的是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A.原式=6a5,错误;B.原式=4a2,错误;C.原式=1,错误;D.正确.故选D
【知识点】同底数幂的乘法,积的乘方,特殊三角函数值
3.(2018湖北黄冈,3题,3分)函数
中自变量x的取值范围是
A.x≥-1且x≠1B.x≥-1C.x≠1D.-1≤x<1
【答案】A
【解析】分子是二次根式,可知x+1≥0,得x≥-1;由分式的分母不为零可得,x-1≠0,即x≠1,自变量x的取值范围是x≥-1且x≠1,故选A
【知识点】二次根式的定义,分式的定义
4.(2018湖北黄冈,4题,3分)如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为
A.50°B.70°C.75°D.80°
第4题图
【答案】B
【解析】在△ABC中,∠B=60°,∠C=25°,所以∠BAC=95°,因为DE是AC的垂直平分线,所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=25°,所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°,故选B
【知识点】三角形内角和,垂直平分线的性质
5.(2018湖北黄冈,5题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=
A.2B.3C.4D.
第5题图
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中,CE为AB边上的中线,所以CE=
AB=AE,因为CE=5,AD=2,所以DE=3,因为CD为AB边上的高,所以在Rt△CDE中,
=4,故选C
【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,勾股定理
6.(2018湖北黄冈,6题,3分)当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为
A.-1B.2C.0或2D.-1或2
【答案】D
【解析】y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内最小值为0,但题中说当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,因此,当x=a或x=a+1时,函数值为1,令y=1,可得x1=0,x2=2,再由该函数的增减性可知a+1=0,或a=2,即a=-1或2,故选D
【知识点】二次函数的最值,增减性
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
7.(2018湖北黄冈,7题,3分)实数16800000用科学记数法表示为__________
【答案】1.68×107
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.整数部分有8位,因此n=8-1=7,a=1.68,即16800000=1.68×107
【知识点】科学记数法
8.(2018湖北黄冈,8题,3分)因式分解:
x3-9x=________
【答案】x(x+3)(x-3)
【解析】原式=x(x2-9)=x(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解
9.(2018湖北黄冈,9题,3分)化简
=___________
【答案】-1
【解析】原式=1+4-3+(-3)=-1
【知识点】零指数幂,负指数幂,根式运算
10.(2018湖北黄冈,10题,3分)若
,则
值为________
【答案】8
【解析】
【知识点】完全平方公式
11.(2018湖北黄冈,11题,3分)如图,△ABC内接于
O,AB为
O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC=________
第11题图
【答案】
【解析】连接BD,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠DAB=30°,∠ABC=30°,因为AB是
O的直径,所以∠C=∠D=90°,所以
,因为∠C=90°,∠CAB=60°,所以∠ABC=30°,所以
第11题解图
【知识点】圆周角定理的推论,直角三角形性质,三角函数
12.(2018湖北黄冈,12题,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周长为__________
【答案】16
【解析】解该方程得x1=3,x2=7,因为两边长为3和6,所以第三边x的范围为:
6-3 【知识点】解一元二次方程,三角形三边关系 13.(2018湖北黄冈,13题,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为______cm(杯壁厚度不计) 第13题图 【答案】20 【解析】如图,点E与点A关于直线l对称,连接EB,即为蚂蚁爬行的最短路径,过点B做BC⊥AE于点C,则Rt△EBC中,BC=32÷2=16cm,EC=3+14-5=12cm,所以 第13题解图 【知识点】轴对称,勾股定理 14.(2018湖北黄冈,14题,3分)在-4,-2,1,2四个数中,随机取两个数分别作为函数y=ax2+bx+1中a,b的值,则该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为________ 【答案】 【解析】当x=0时,y=1,因此函数过定点(0,1),因此一定过第一、二象限,因为要求二次函数图像恰好过一、二、四象限,所以该二次函数图像的开口向上,所以a>0,而且要求图像与x轴有交点,所以b2-4a>0,并且对称轴要在y轴右侧,即 ,即a、b异号,符合以上条件的a和b有2种情况,即a=1,b=-4和a=2,b=-4,而从4个数中选2个共有12种结果,所以该二次函数图像恰好经过第一、二、四象限的概率为 【知识点】二次函数图像与系数的关系,概率 三、解答题(本题共10题,满分78分) 15.(2018湖北黄冈,15题,5分)求满足不等式组 的所有整数解 【思路分析】先解不等式组,再求得所有的整数解 【解题过程】解①得: x≥-1,解②得: x<2,所以不等式组的解集为-1≤x<2,其中所有的整数解为: -1,0,1. 【知识点】不等式组的特殊解 16.(2018湖北黄冈,16题,6分)在端午节来临之际,某商店订购了A型和B型两种粽子,A型粽子28元/千克,B型粽子24元/千克,若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克,购进两种粽子共用了2560元,求两种型号粽子各多少千克 【思路分析】设出两种粽子的数量,根据数量和总价两个等量关系,可以列出两个方程,进而求解二元一次方程组可得。 【解题过程】设A型粽子x千克,B型粽子y千克,根据题意得 ,解之得 ,答: A型粽子40千克,B型粽子60千克。 【知识点】二元一次方程组的应用 17.(2018湖北黄冈,17题,8分)央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注,我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查,对收集的信息进行统计,绘制了下面两副尚不完整的统计图,请你根据统计图所提供的信息解答下列问题: 图中A表示“很喜欢”,B表示“喜欢”,C表示“一般”,D表示“不喜欢” (1)被调查的总人数是________人,扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为______; (2)补全条形统计图; (3)若该校共有学生1800人,请根据上述调查结果,估计该校学生中A类有______人; (4)在抽取的A类5人中,刚好有3个女生2个男生,从中随机抽取两个同学担任两角色,用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率。 第17题图 【思路分析】 (1)由条形统计图中的人数和扇形统计图中的百分比,可以计算出总人数;由C的人数和总数可求出百分比,进而求出所占圆心角度数; (2)由 (1)可知总人数,减去A、C、D的人数即为B的人数;(3)由样本估计总体,样本中选A的百分比可由选A的人数和总人数求得,用样本百分比和全校总人数可求得全校A类学生人数;(4)5人中抽取两人,可用列表的方法计算出总结果数和性别相同的结果数,进而求出性别相同的概率。 【解题过程】 (1)由图可知选A的人数为5人,占总人数的10%,所以总人数=5÷10%=50(人);选C的人数为30人,所以扇形圆心角= (2)如图所示,总人数为50人,所以B的人数=50-5-30-5=10(人); 第17题解图 (3)该校共有学生1800人,由调查结果可以估计该校A类人数为: (人); (4)设3个女生分别为女1,女2,女3,2个男生分别为男1,男2,所有可能出现的结果如下表: 女1 女2 女3 男1 男2 女1 (女1,女2) (女1,女3) (女1,男1) (女1,男2) 女2 (女2,女1) (女2,女3) (女2,男1) (女2,男2) 女3 (女3,女1) (女3,女2) (女3,男1) (女3,男2) 男1 (男1,女1) (男1,女2) (男1,女3) (男1,男2) 男2 (男2,女1) (男2,女2) (男2,女3) (男2,男1) 从中随机抽取两个同学担任两角色,所有可能的结果有20种,每种结果的可能性都相同,其中,抽到性别相同的结果有8种,所以P(被抽到的两个学生性别相同)= ,答: 被抽到的两个学生性别相同的概率为 。 【知识点】条形统计图,扇形统计图,样本估计总体,概率 18.(2018湖北黄冈,18题,7分)如图,AD是 O的直径,AB为 O的弦,OP⊥AD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交OP与点C. (1)求证: ∠CBP=∠ADB. (2)若OA=2,AB=1,求线段BP的长. 第18题图 【思路分析】 (1)连接OB,则OB⊥BC,因为AD是直径,则∠ABD=90°,故∠OAB=∠OBA=∠DBC,因为OB=OD,所以∠D=∠OBD,因为∠CBP与∠OBD都与∠DBC互余,所以∠CBP=∠ADB; (2)易得△ABD∽△AOP,则 由AB、AO的长度可求出BP的长度。 【解题过程】 (1)连接OB,则OB⊥BC,∠OBC=90°,因为AD是直径,则∠ABD=90°,即∠OBA与∠DBC都与∠DOB互余,所以∠OBA=∠DBC,因为OD=OB,∠OAB=∠OBA,所以∠OAB=∠DBC,因为∠CBP与∠OBD都与∠DBC互余,所以∠CBP=∠ADB; (2)在△ABD和△AOP中,∠DAB=∠PAO,因为OP⊥AD,所以∠POA=90°=∠DBA,故△ABD∽△AOP,则 ,因为AB=1,AO=2,AD=2AO=4,则AP=8,BP=7 第18题解图 【知识点】圆的切线性质,圆周角定理的推论,互余,等腰三角形,相似三角形 19.(2018湖北黄冈,19题,6分)如图,反比例函数 过点A(3,4),直线AC与x轴交于点C(6,0),过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B. (1)求k的值与B点的坐标; (2)在平面内有点D,使得以ABCD四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合条件的所有点D的坐标. 第19题图 【思路分析】 (1)由双曲线上点A坐标可求得k的值,BC⊥x轴,则B、C的横坐标相等,代入解析式可得点B坐标; (2)已知点A、B、C的坐标,按照对面顶点的情况,对点D进行分类讨论,共三种情况,分由平行四边形对顶点的坐标特点可得点D坐标。 【解题过程】 (1)因为反比例函数 过点A(3,4),所以 ,k=12,反比例函数解析式为 ,因为BC⊥x轴,则B、C的横坐标相等,因为C(6,0),所以点B的横坐标为6,在反比例函数 中,令x=6,得y=2,则B(6,2); (2)因为四边形ABCD是平行四边形,所以对面顶点的横坐标和相等,纵坐标和相等,其中A(3,4),B(6,2),C(6,0),①当A和D对面,B和C对面时,xD=xB+xC-xA=9,yD=yB+yC-yA=-2,所以;②当A和B对面,D和C对面时,xD=xB+xA-xC=3,yD=yB+yA-yC=6,所以;③当A和C对面,B和D对面时,xD=xA+xC-xB=3,yD=yA+yC-yB=2,综上所述,符合条件的点D坐标为D1(9,-2),D2(3,6),D3(3,2)。 【知识点】反比例函数,平面直角坐标系,平行四边形 20.(2018湖北黄冈,20题,8分)如图,在 ABCD中,分别以边BC,CD作腰△BCF,△CDE,使BC=BF,CD=DE,∠CBF=∠CDE,连接AF,AE. (1)求证: △ABF≌△EDA; (2)延长AB与CF相交于G,若AF⊥AE,求证BF⊥BC. 第20题图 【思路分析】 (1)由平行四边形得到对边相等,对角相等,再由题上已知条件得到两个三角形对应边相等,通过等量代换,得到∠ABF=∠EDA,故全等可证; (2)证垂直即证90°的角,将∠FBC分为两个角∠FBG和∠CBG,通过等量代换,得到∠FBC=∠EAF,即证得垂直 【解题过程】 (1)在 ABCD中,AB=DC,BC=AD,∠ABC=∠ADC,AD∥BC,因为BC=BF,CD=DE,所以AB=DE,BF=AD,又因为∠CBF=∠CDE,所以∠ABF=360°-∠ABC-∠CBF,∠EDA=360°-∠ADC-∠CDE,所以∠ABF=∠EDA,又因为AB=DE,BF=AD,所以△ABF≌△EDA; (2)由 (1)知∠EAD=∠AFB,∠GBF=∠AFB+∠BAF,因为AD∥BC,所以∠DAG=∠CBG,所以∠FBC=∠FBG+∠CBG=∠EAD+∠FAB+∠DAG=∠EAF=90°,所以BF⊥BC 【知识点】平行四边形的性质,全等三角形的判定,三角形外角 21.(2018湖北黄冈,21题,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°,其中点A,C,E在同一直线上. (1)求坡底C点到大楼距离AC的值; (2)求斜坡CD的长度. 第21题图 【思路分析】 (1)在Rt△ABC中,已知∠ACB和AB,利用三角函数可求得AC; (2)设CD=x,在Rt△BDF和△DCE中,利用三角函数表示出BF、DF和DE、CE, 【解题过程】 (1)在Rt△ABC中,AB=60米,∠ACB=60°,所以 米,答: 求坡底C点到大楼距离AC长 米; (2)过点D作DF⊥AB于点F,则四边形FAED为矩形,所以AF=DE,DF=AE,设CD=x米,在Rt△EDC中,因为∠DCE=30°,则 ,在Rt△BDF中,∠BDF=45°,所以 ,因为DF=AE=AC+CE,所以 ,解得 ,答: 斜坡CD长 【知识点】三角函数的应用 22.(2018湖北黄冈,22题,8分)已知直线l: y=kx+1与抛物线y=x2-4x (1)求证: 直线l与该抛物线总有两个交点; (2)设直线l与该抛物线两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积. 【思路分析】 (1)根据一元二次方程和二次函数的关系可知,联立方程后,如果△>0,则直线与抛物线总有两个交点; (2)先求出交点坐标,然后将△ABO分割成两个三角形,通过坐标求出两个三角形的底和高,利用三角形面积公式进行计算 【解题过程】 (1)联立两个函数,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中△=(4+k)2+4>0,所以该一元二次方程由两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点; (2)连接AO、BO,联立两个函数,得x2-4x=-2x+1,解得 ,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1, 【知识点】一元二次方程和二次函数的关系,一元二次方程,三角形面积 23.(2018湖北黄冈,23题,9分)我市某乡镇在“精准扶贫”活动中销售一农产品,经分析发现月销量y(万件)与月份x(月)的关系为: ,每件产品的利润z(元)与月份x(月)的关系如下表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 (1)请你根据表格求出每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式; (2)若月利润w(万元)=当月销量y(万件)×当月每件产品的利润z(元),求月利润w(万元)与月份x(月)的关系式; (3)当x为何值时,月利润w有最大值,最大值为多少? 【思路分析】 (1)根据表中数字变化趋势可以看出分为两部分,前一部分为一次函数,后一部分为常函数,注意自变量的取值范围; (2)根据自变量的取值范围,可以分为三种情况,分别为1≤x≤8,9≤x≤10和11≤x≤12,在不同的范围找到对应的函数表达式,进而根据题中利润的公式进行计算;(3)将二次函数化为顶点式,结合自变量的取值范围和函数的增减性进行分析,得到各部分函数的最值,通过比较,得出整个函数在1≤x≤12范围内的最大值。 【解题过程】 (1)根据表格知: 当1≤x≤10,x为整数时,z=-x+20,当11≤x≤12,x为整数时,z=10,所以每件产品利润z(元)与月份x(月)的关系式为: ; (2)当1≤x≤8时,w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80=-(x-8)2+144,当9≤x≤10时,w=(-x+20)(-x+20)=(x-20)2,当11≤x≤12时,w=10(-x+20)=-10x+200,综上所述, ; (3)当1≤x≤8时,w=-(x-8)2+144,当x=8时,w有最大值为144,当9≤x≤10时,w=(x-20)2,w随x增大而减小,所以x=9时,w有最大值为121,当11≤x≤12时,w=-10x+200,w随x增大而减小,所以x=11时,w有最大值为90,综上所述,当x=8时,w有最大值为144. 【知识点】一次函数,二次函数增减性,二次函数最值 24.(2018湖北黄冈,24题,14分)如图,在直角坐标系XOY中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB与P,交对角线OB与Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动. (1)当t=2时,求线段PQ的长; (2)求t为何值时,点P与N重合; (3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围. 第24题图 【思路分析】 (1)由题可知Rt△POM中,∠POM=60°,Rt△QOM中,∠QOM=30°,当t=2时,OM=2,可得PM和QM的长度,进而求得PQ; (2)根据点P和点N的运动速度,可知点P和点N在边BC上相遇,因为BC=8,用含有t的代数式表示出PC和NB的长度,二者之和为8,解方程可得t的值;(3)根据 (2)中的分析,可以将运动的过程分为4个阶段: 0≤t≤4,4≤t≤ , <t≤8,8<t≤12,前3个阶段,边PN都与x轴平行,求出PN长度和点P到x轴距离即可求出△APN的面积,第4个阶段,△APN的三边与坐标轴都不平行,因此,由 ,其中菱形面积易求,三个三角形都有一边与x轴平行,可以逐个求出面积,从而得到△APN的面积。 【解题过程】 (1)菱形OABC中,∠AOC=60°,所以Rt△POM中,∠POM=60°,Rt△QOM中,∠QOM=30°,当t=2时,OM=2,可得PM= ,QM= ,所以PQ= ; (2)当t≤4时,AN=PO=2OM=2t,当t=4时,P到达C点,N到达B点,由此可推断,点P、N在BC上相遇,设t秒时,点P与N重合,则PC=t-4,BN=2(t-4),PC+BN=BC=8,即(t-4)+2(t-4)=8,t= ,即t= 时,点P与N重合; (3)①当0≤t≤4时,PN=OA=8,且PN∥OA,PM= t, ②当4<t≤ 时,P、N在边BC上,所以PN∥OA,PN=8-3(t-4)=20-3t, ③当 <t≤8时,P、N相遇后还在BC边上运动,所以PN∥OA,PN=3(t-4)-8=3t-20, ④当8<t≤12时,如图所示,ON=24-2t,N到OM距离为 ,N到CP距离为 ,CP=t-4,BP=12-t, 综上所述,S与t的函数关系式为: 第24题解图 【知识点】菱形,三角函数,一元一次方程,三角形面积,分段函数
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