应用回归分析第8章课后习题参考答案.docx
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应用回归分析第8章课后习题参考答案
第8章非线性回归
思考与练习参考答案
8.1在非线性回归线性化时,对因变量作变换应注意什么问题?
答:
在对非线性回归模型线性化时,对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式,还要注意误差项的形式。
如:
(i)乘性误差项,模型形式为yAKLe,
(2)加性误差项,模型形式为yAKL。
对乘法误差项模型
(1)可通过两边取对数转化成线性模型,
(2)不能线性化。
一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式,为了方便通常省去误差项,仅考虑回归函数的形式。
8.2为了研究生产率与废料率之间的关系,记录了如表8.15所示的数据,请画出
散点图,根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。
表8.15
生产率X(单位/周)
1000
2000
3000
3500
4000
4500
5000
废品率y(%)
5.2
6.5
6.8
8.1
10.2
10.3
13.0
解:
先画出散点图如下图:
从散点图大致可以判断出x和y之间呈抛物线或指数曲线,由此
采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。
(1)二次曲线
SPSS输出结果如下:
ModelSummary
R
RSquare
AdjustedRSquare
Std.ErroroftheEstimate
.981
.962
.942
.651
Theindependentvariableisx.
ANOVA
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
Regression
42.571
2
21.286
50.160
.001
Residual
1.697
4
.424
Total
44.269
6
Theindependentvariableisx.
Coefficients
Unstandardized
Coefficients
Standardized
Coefficients
t
Sig.
B
Std.Error
Beta
x
-.001
.001
-.449
-.891
.423
x**2
4.47E-007
.000
1.417
2.812
.048
(Constant)
5.843
1.324
4.414
.012
从上表可以得到回归方程为:
y?
5.8430.087x4.47107x2
由x的系数检验P值大于0.05,得到x的系数未通过显著性检验。
由x2的系数检验P值小于0.05,得到x2的系数通过了显著性检验。
(2)指数曲线
ModelSummary
R
RSquare
AdjustedRSquare
Std.ErroroftheEstimate
.970
.941
.929
.085
Theindependentvariableisx.
ANOVA
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
Regression
.573
1
.573
79.538
.000
Residual
.036
5
.007
Total
.609
6
Theindependentvariableisx.
Coefficients
Unstandardized
Coefficients
Standardized
Coefficients
t
Sig.
B
Std.Error
Beta
x(Constant)
.000
4.003
.000
.348
.970
8.918
11.514
.000
.000
Thedependentvariableisln(y).
从上表可以得到回归方程为:
y?
4.003e0.0002t
由参数检验P值*0<0.05,得到回归方程的参数都非常显著。
从R2值,。
的估计值和模型检验统计量F值、t值及拟合图综合考虑,指数拟合效果更好一些。
8.3已知变量x与y的样本数据如表8.16,画出散点图,试用也e‘/x来拟合回归
模型,假设:
(1)乘性误差项,模型形式为y=ae‘/xe'
⑵加性误差项,模型形式为y=oce‘/x+£
表8.16
)丁与
x
y
)丁与
x
y
)丁与
x
y
1
4.20
0.086
6
3.20
0.150
11
2.20
0.350
2
4.06
0.090
7
3.00
0.170
12
2.00
0.440
3
3.80
0.100
8
2.80
0.190
13
1.80
0.620
4
3.60
0.120
9
2.60
0.220
14
1.60
0.940
5
3.40
0.130
10
2.40
0.240
15
1.40
1.620
解:
散点图:
(1)乘性误差项,模型形式为y=ae‘/xe£
线性化:
lny=lna+[3/x+&令y1=lny,a=lna,x1=1/x.
做y1与x1的线性回归,SPSS输出结果如下:
ModelSumma/
Model
R
RSquare
Adjusted
RSquare
Std.ErroroftheEstimate
1
.999a
.997
.997
.04783
a-Predictors:
(Constant),x1b.DependentVariable:
y1
ANOVAb
Model
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
1
RegressionResidualTotal
10.930.03010.960
1
13
14
10.930
.002
4778.305
.000a
a.Predictors:
(Constant),x1
b.DependentVariable:
y1
Coefficientsa
Model
Unstandardized
Coefficients
Standardized
Coefficients
t
Sig.
B
Std.Error
Beta
1(Constant)
x1
-3.856
6.080
.037
.088
.999
-103.830
69.125
.000
.000
a.DependentVariable:
y1
从以上结果可以得到回归方程为:
y1=-3.856+6.08x1
F检验和t检验的P值*0<0.05,得到回归方程及其参数都非常显著。
回代为原方程为:
y=0.021e6.08/x
(2)加性误差项,模型形式为y=aee/x+£
不能线性化,直接非线性拟合。
给初值a=0.021,6=6.08(线性化结
果),NLS结果如下:
ParameterEstimates
Parameter
Estimate
Std.Error
95%Confider
iceInterval
LowerBound
UpperBound
ab
.021
6.061
.001
.044
.020
5.965
.023
6.157
a.o—
IterationHistorvh
a
IterationNufn&sr
Residual
SumcT
Squares
Parameter
a
b
10
001
.021
6.090
1.1
.001
.021
6.051
20
.001
.021
fi061
21
001
丘061
30
.001
皿1
6051
21
001
.021
6.061
ANOVA
Source
Sumof
Squares
df
MeanSquares
Regression
4.458
2
2.229
Residual
.001
13
.000
UncorrectedTotal
4.459
15
CorrectedTotal
2.467
14
Dependentvariable:
y
a.Rsquared=1-(ResidualSumofSquares)/(CorrectedSumofSquares)=1.000.
从以上结果可以得到回归方程为:
y=0.021d5.061/x
根据R2q1,参数的区间估计不包括零点且较短,可知回归方程拟合
且其参数都显著。
非常好,且其参数都显著。
Vx/aiuefi
1—
ro-
□5—
8.4Logistic函数常用丁拟合某种消费品的拥有率,表8.17(书上239页,此处略)是北京市每白户家庭平均拥有的照相机数,试针对以下两种情况拟合
Logistic回归函数。
(1)已知u100,用线性化方法拟合,
(2)u未知,用非线性最小二乘法拟合。
解:
(1),u100时,的线性拟合。
对y-—一函数线性化得到:
-b。
*
u
1111人11g
In(———)1.8510.264In(———)Inb0tlnb1,令y3In(———),作y3
y100y100y100
关于t的线性回归分析,SPSS输出结果如下:
ModelSumma/
Model
R
RSquare
Adjusted
RSquare
Std.ErroroftheEstimate
1
.994a
.988
.987
.16820
a.Predictors:
(Constant),t
b.DependentVariable:
y3
ANOVAb
Model
SumofSquares
df
MeanSquare
F
Sig.
1Regression
39.839
1
39.839
1408.165
.000a
Residual
.481
17
.028
Total
40.320
18
a.Predictors:
(Constant),t
b.DependentVariable:
y3
Coefficientsa
Model
Unstandardized
Coefficients
Standardized
Coefficients
t
Sig.
B
Std.Error
Beta
1(Constant)
t
-1.851
-.264
.080
.007
-.994
-23.039
-37.526
.000
.000
a.DependentVariable:
y3
由
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