数值分析习题.docx
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数值分析习题.docx
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数值分析习题
第一章绪论
习题主要考察点:
有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为0.5x103那么近似数0.003400有几位有效数字?
(有效数字的计算)
2兀=3.14159…具有4位有效数字的近似值是多少?
(有效数字的计算)
3已知cul.2031,b=0.978是经过四舍五入后得到的近似值,问a+b,axb有几位有效数字?
(有效数字的计算)
4设x>0,x的相对误差为5,求lnx的误差和相对误差?
(误差的计算)
5测得某圆柱体高度力的值为ir=20cw,底面半径厂的值为r*=5cm,已知\h-h*|<0.2cm,|r-r*|<0.1c/w,求圆柱体体积v=m^h的绝对误差限与相对误差限。
(误差限的计算)
6设x的相对误差为c/%,求y=的相对误差。
(函数误差的计算)
7计算球的体枳,为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多人?
(函数误差的计算)
1
8设lH=e~^xnexdx,求证:
0
(1)/„=1-nl^(n=0,1,2-•■)
(2)利用
(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增人;反向递推计算时误差逐步减小。
(计算方法的比较选择)
第二章插值法
习题主要考察点:
拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应甩
1己知/(—1)=2,/
(1)=1,/
(2)=1,求/(x)的拉氏插值多项式。
(拉格朗口插值)
2已知y=习=9,用线性插值求J7的近似值。
(拉格朗口线性插值)
3若x.(y=O,Uw)为互异节点,且有
试证明土屮卫)三扌(k=0,1,...//)o(拉格朗口插值基函数的性质)7=0
4已sill0.32=0.314567,sin034=0333487,sin036=0352274,用抛物线插值计
算sin0.3367的值并估计截断误差。
(拉格朗口二次插值)
TT7T
5用余弦函数cosx在x0=0,呂=—,X.=-三个节点处的值,写出二次拉格朗口插值4■2
多项式,并近似计算cos兰及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。
(拉格朗
6
口二次插值)
6已知函数值/(0)=6J(l)=10J(3)=46J(4)=82J(6)=212,求函数的四阶均差
/[0,1,3,4,6]和二阶均差/[4丄3]o(均差的计算)
7设/(X)=(x-xQ)(x-xk)-\x-xn)求f[xQxk-xp]之值,其中p (均差的计算) 8如卜函数值表 X 0 1 2 4 1 9 23 3 建立不超过三次的牛顿插值多项式。 (牛顿插值多项式的构造) 9求一个次数小于等于三次多项式p(x),满足如下插值条件: 卩 (1)=2,卩 (2)=4, “' (2)=3,“(3)=12。 (插值多项式的构造) 10构造一个三次多项式H(X),使它满足条件H(0)=l,H(l)=0,H (2)=l,H'(l)=l(埃尔米特插值)。 3 11设f(x)=x^9x0=1/4,^=l,x2=9/4o⑴试求/(切在[1/4,9/4]上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得H(x;)=f(x;),j=0,1,2,//XxJ=/Vi)»H(x)以升幕形式给出。 (2)写出余项R(x)=f(x)-H(x)的表达式。 (埃尔米特插值及其余项的计算)。 12若f(x)ec2[a,b],f(a)=f(b)=0,试证明: max|f(x)\<-(b-a)2max|fn(x)|(插值余项的应用) 13设/(-2)=-l,/(0)=l,/ (2)=2,求p(x)使pU)=/U)(r=0,1,2); 又设|厂(x)卜M,则估计余项r(x)=f(x)-p(x)的大小。 (插值误差的估计) 第三章函数逼近 习题主要考察点: 最小二乘法,最佳平方逼近,正交多项式的构造。 1设/(x)=sin加,求/(切于[0,1]±的线性最佳平方逼近多项式。 (最佳平方逼近) 2令f(x)=ex且设p(x)=aQ+a.x,求兔使得p(x)为/(x)T[-1,1] 上的最佳平方逼近多项式。 (最佳平方逼近) 3证明: 切比雪夫多项式序列 7}(x)=cos伙aiccosx) 在区间[-1,1]上带权p(x)=1正交。 (正交多项式的证明) yJl-X2 xk+x2=3 4求矛盾方程组: <“+2心=4的最小二乘解。 (最小二乘法) [“-心=2 5已知一组试验数据 19 25 31 38 44 儿 19 32.3 49 733 97.8 (最小二乘二次逼近) 第四章数值积分 习题主要考察点: 代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造。 1给定求积公式af(-h)+"(0)+cf(h)试确定ab,c使它的代数精度尽可能高。 (代数精度的应用和计算) 2求积公式jy(x)dx〜A°/(O)+4/(l)+Bo/'(O),试确定系数观,人及使该求积公式具有尽町能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数。 (代数精度的应用和计算) 3数值积分公式J: /(x)dxQ^[/(l)+/ (2)],是否为插值型求积公式,为什么? 又该公式的代数精确度为多少? (插值型求积公式特征) 4女U果厂(x)>0,证明用梯形公式计算积分ff(x)dx所得到的结果比准确值人,并说明其几何意义。 (梯形求积) 5用n=4的复化梯形公式计算积分并估计误差。 (复化梯形求积) 6设/(-I)=1,/(—0.5)=4,/(0)=6,/(0.5)=9,/⑴=2,则用复化辛甫生公式计算 若有常数M使\f(4)\ (复化辛甫生公式) 1 7已知高斯求积公式J/(x)d.s/(0.57735)+/(—0.57735)将区间[0,1]二等分,用复 -1 1 化高斯求枳法求定积分Jyf^dx的近似值。 (高斯公式) 0 8试确定常数A,B,C和使得数值积分公式f(x)dx^Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)有尽可能高的代数精度。 试问所得的数值积分公式代数精度是多少? 它是否为高斯型的? (代数精度的应用和计算,高斯点的特征) 9设{P”(x)}是[0,1]区间上带权p(%)=x的最高次幕项系数为1的正交多项式系 (1)求R(x)o (2)构造如下的高斯型求积公式^xf{x)dx»A0/(x0)+o(高斯求积) 第五章线性方程组的直接解法 习题主要考察点: 高斯消去法,LU分解法,平方根法和追赶法解线性方程组。 '310' -T 4试用“追赶法”解方程组Ax=b,其中: 4= 241 b= 7 025 9 (追赶法的应用) n厶(范数的性质) HII 7求证: ||班引州•刿L。 (范数的性质) 的计算) 9方程组Ax=b, 其中AgRnxn,A是对称的且非奇异。 设4有误差朋,则原方程组变 化为(4+&)©+&)=b,其中&为解的误差向量,试证明: „11112„<卜+叫 中人和血分别为4的按模最人和最小的特征值。 (范数的性质,误差的分析) 10证明: 若A=(aij)nXll为严格对角占优矩阵,则4非奇异。 (严格对角占优矩阵的性质) 第六章线性方程组的迭代解法 习题主要考察点: 雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组,及其收敛性讨论。 性判断) 2若用雅可比迭代法求解方程组+%疋=? (①“,丰0)迭代收敛的充要条件是 [ci2lxL+a22x2=b2 3用雅可比、高斯-塞德尔迭代法,求解方程组 +2x2=3 \3xt+2x2=4 是否收敛? 为什么? 若将方程组改变成为 再用上述两种迭代法求解是否收敛? 为什么? (雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性) _410 (雅可比迭代收敛 4证明解线性方程组Ax=b的雅可比迭代收敛,其中4=121 011 性判断) 121 5已知方程组Ax=b,其中,b= 0.312 (1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。 ⑵若有迭代公式⑷+b),试确定a的取值范围,使该迭代公式收敛。 (雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论) (Ia、 6给出矩阵4=a,(幺为实数),试分别求出必的取值范围: ⑵1丿 (1)使得用雅可比迭代法解方程组Ax=b时收敛; (2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组Ar=/? 时收敛。 (雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论) —21,1 7设人=,b= 122 ⑴设x⑷是由雅可比迭代求解方程组Ax=b所产生的迭代向量,且xw=(Ll)r,试写 出计算x⑷的精确表达式。 ⑵设H是Ax=b的精确解,写出误差卜⑹-x*|L的精确表达式。 ⑶如构造如下的迭代公式⑷+忒加⑷-b)解方程组Ax=b,试确定Q的范 围,使迭代收敛。 (雅可比迭代及其收敛判断) i x{+2x2-2x3=1 Xl+x2+x.=2 2旺+2x2+x3=3 (1厂讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 (2)对收敛的方法,取初值x⑼=(1,0,0)丁,迭代两次,求出x⑴/⑺,x⑶。 (雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比较) 9证明对称矩阵 "1aa A=a1a aa1 当一丄vav1为正定矩阵,且只有当-丄vac丄时,用雅可比迭代法求解方程组Ax=b 222 才收敛。 (雅可比迭代法的收敛性) 第七章非线性方程求根 习题主要考察点: 二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根,迭代法求根的收敛性和收敛速度 的讨论。 1用二分法求方程X2-X-l=0的正根,要求误差小于0.05o(二分法) 2说明方程X2+111X-4=O在区间[1,2]内有惟一根并选用适当的迭代法求T(精 确至3位有效数),并说明所用的迭代格式是收敛的。 (迭代法) 2 3设有解方程12-3x+2cosx=0的迭代法£+]=4+yCosx,, (1)证明eR均有 lim£=F(F为方程的根)。 (2)此迭代法的收敛阶是多少,证明你的结论。 (3)取x0=4 用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过10一‘,列出各次迭代值。 (和收敛性讨论) 4设=max|0(x)|=^<1,试证明: 由xll+l=(p{xn)“=0,1,…,得到的序 列{兀}收敛于(收敛性证明) 5设方程3-3a-2shix=0在[0,1]内的根为若采用迭代公式x,t+1=l--smx„,试证明: V%0eR均有lHnxrf=/(%为方程的根);此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。 (迭代法和收敛性讨论) 6方程a-3-a-2-1=0在x°=1.5附近有根,把方程写成3种不同的等价形式: (1)X=1,对应迭代格式: =1r 对X; ⑵X3=1+X2,对应迭代格式: =寸1+兀; (3)X2=——,对应迭代格式: £+1=1—-— 兀-1v-1 讨论这些迭代格式在x0=1.5时的收敛性。 若迭代收敛,试估计其收敛速度,选一种收敛格 式计算出=1.5附近的根到4位有效数字。 (收敛速度的计算和比较) 7设f(x)=(x5-a)2 (1)写出解/(x)=0的牛顿迭代格式; (2)证明此迭代格式是线性收敛的。 (牛顿迭代的构造与收敛速度) 9用牛顿法求子的近似值,取Ao=10或11为初始值,计算过程保留4位小数。 (牛顿 迭代的构造) 10设F是非线性方程/(X)=0的m重根,试证明: 迭代法 =Xn m”) 具有至少2阶的收敛速度。 (收敛速度证明) 11设F是非线性方程f(x)=0的m重根,证明: 用牛顿迭代法求”只是线性收敛。 (收敛 速度证明) 12设(p(a)=a,仪x)在d附近有直到〃阶的连续导数,且0‘(d)=...=0i⑷=0, H0,试证: 迭代法£+】=强心)在a附近是p阶收敛的。 (收敛速度证明) 第九章常微分方程数值解 习题主要考察点: 欧拉方法的构造,单步法的收敛性和稳定性的讨论,线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。 1用改进的欧拉公式,求以下微分方程 2牙 卜(0)=1 的数值解(取步长h=0.2),并与精确解作比较。 (改进的尤拉公式的应用) yf+v=1 2用四阶龙格一库塔法求解初值问题? 取A=0.2,求x=0.2,0.4时的数值解. y(o)=0 要求写出由九X”儿直接计算儿十]的迭代公式,计算过程保留3位小数。 (龙格一库塔方 fy'+y=0 3用梯形方法解初值问题{).,(0)=1 法的应用) 证明其近似解为儿=[斗],并证明当/7—0 12+/? 丿 时,它收敛于原初值问题的准确解y= =—10y 4对于初值问题丿,证明当/? <0.2时,欧拉公式绝对稳定。 (显式和隐式欧拉公b(o)=1 式的稳定性讨论) 5证明梯形公式儿乂=儿+£[/(£,儿)+/(汕,儿胡无条件稳定。 (稳定性讨论) 6设有常微分方程的初值问题=/(“)‘),试用泰勒展开法,构造线性两步法数值计算 )'(兀)=儿 公式儿+】=欧儿+儿7)+/? (0。 九+0』1),使其具有二阶精度,并推导其局部截断误差 主项。 (局部截断误差和主项的计算) 7已知初值问题 =2x 取步长力=0.1,利用阿当姆斯公式儿知=儿+2(3/”一九T),求此微分方程在[0,10] 上的数值解,求此公式的局部截断误差的首项。 邙可当姆斯公式的应用)
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