福建省南平市届高三质量检查数学文试题及答案.docx
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福建省南平市届高三质量检查数学文试题及答案
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
文 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共5页.满分150分.
考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差锥体体积公式
s=
V=
Sh
其中
为样本平均数其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh
,
其中S为底面面积,h为高其中R为球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
,
≤
≤
,则
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内,复数
(i是虚数单位)对应的点位于
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.
=
A.
B.
C.-
D.-
4.过点
且与直线
平行的直线方程是
A.
B.
C.
D.
5.在
中,“
”是“
”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.若变量x,y满足约束条件
则z=2x+y的最大值为
A.-3B.2C.3D.4
7.若把函数
的图象上的所有点向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是
A.
B.
C.
D.
8.已知向量
,
的夹角为
,且
,
,则
=
A.2B.
C.
D.
9.设数列
是以3为首项,1为公差的等差数列,
是以1为首项,2为公比的等比数列,则
=
A.15B.60C.63D.72
10.在三棱锥
中,侧棱
,
,
两两垂直,
,
,
的
面积分别为
,
,
,则该三棱锥外接球的表面积为
A.
B.
C.
D.
11.利用计算机产生0~3之间的均匀随机数
、
,则事件“
”发生的概率为
A.
B.
C.
D.
12.在平面内,曲线
上存在点
,使点
到点A(3,0),B(-3,0)的距离之和为10,则称曲线
为“有用曲线”.以下曲线不是“有用曲线”的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置.
13.一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为.
14.如图给出了一个程序框图,其作用是输入x的值
输出相应的y值,若要使输入的x值与输出的y
值相等,则这样的x值的个数是.
15.已知P是抛物线
上的一个动点,则P到
直线
:
和
:
的距离之和的最小值是.
16.关于函数
,给出下列四个命题:
该函数没有大于
的零点;
该函数有无数个零点;
该函数在
内有且只有一个零点;
若
是函数的零点,则
.
其中所有正确命题的序号是.
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
学校开展阳光体育活动,对学生的锻练时间进行随机抽样调查,从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查,得到了如下列联表:
锻练时间
男生
女生
合计
少于1小时
5
x
不少于1小时
y
10
合计
(Ⅰ)根据上表数据求x,y,并据此资料分析:
有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”?
(Ⅱ)从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本,求从该样本中任取2人,
至少有1人锻练时间少于1小时的概率.
≥
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18.(本题满分12分)
已知正项等差数列
的前
项和为
,若
,且
,
,
成等比数列.
(Ⅰ)求
的通项公式;
(Ⅱ)若
,数列
的前
项和为
,求
.
19.(本题满分12分)
已知函数
,
.
(Ⅰ)求函数
的单调递增区间;
(Ⅱ)在
中,角
所对边的长分别是
,若
,
,
,求
的面积.
20.(本题满分12分)
如图,已知
⊙
所在的平面,
是⊙
的直径,
,
是⊙
上一点,且
,
,
是
的中点,
是
的中点,
为线段
上(除点
外)的一个动点.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求证:
;
(III)求三棱锥
的体积.
21.(本题满分12分)
已知椭圆
的离心率为
,短半轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)已知斜率为
的直线
交椭圆
于两个不同点A,B,点M的坐标为
,
设直线MA与MB的斜率分别为
,
.
①若直线
过椭圆
的左顶点,求此时
,
的值;
②试探究
是否为定值?
并说明理由.
22.(本题满分14分)
己知函数
(
),
(Ⅰ)若函数
的图象在点(1,
)处的切线方程为
,
求实数
,
的值;
(Ⅱ)若函数
≤0恒成立,求实数
的取值范围;
(III)若函数
有两个不同的极值点分别为
,
,求证:
.
2015年南平市普通高中毕业班质量检查
文科数学试题参考答案及评分标准
说明:
1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:
本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分.
1.A;2.D;3.A;4.B;5.C;6.C;
7.C;8.D;9.B;10.B;11.D;12.B.
二、填空题:
本题考查基础知识和基本运算,每小题4分,满分16分.
13.4;14.3;15.3;16.
.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.本题满分12分.
解:
(Ⅰ)
锻练时间
男生
女生
合计
少于1小时
5
15
20
不少于1小时
20
10
30
合计
25
25
50
x=15,y=20…………………(2分)
由已知数据得
…………………(4分)
所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”…………………(6分)
(Ⅱ)用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本,所以抽取了锻练时间少于1小时2人,不少于1小时3人,分别记作A1、A2;B1、B2、B3.
从中任取2人的所有基本事件共10个:
(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3).…………………(8分)
其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个:
(A1,B1),(A1,B2),
(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2).…………………(10分)
∴从中任取2人,至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为
.…………(12分)
18.本题满分12分.
解:
(Ⅰ)设正项等差数列
的公差为d,故
,
,
成等比数列,则有
,
即
…………………(1分)
又
,…………………(2分)
解得
或
(舍去)…………………(4分)
…………………(6分)
(Ⅱ)
…………………(7分)
=
………………(8分)
………………(9分)
……………………(11分)
……………………(12分)
19.本题满分12分.
解:
(Ⅰ)∵
,
)
…………………(1分)
∴
.…………………(3分)
由
,
解得
…………………(5分).
∴函数
的单调递增区间是
.…………………(6分)
(Ⅱ)∵在
中,
,
∴
解得
.
…………………(8分)
又
,∴
.…………………(9分)
依据正弦定理,有
,解得
…………………(10分)
.…………………(11分)
…………………(12分)
20.本题满分12分.
证明:
(Ⅰ)
是
的中点,
是
的中点,
∥
…………………(1分)
平面
,
点
不于点
重合,
平面
//平面
…………………(3分)
(Ⅱ)
⊙
所在的平面,
⊙
所在的平面,
…………………(5分)
又
是⊙
的直径,
…………………(6分)
于
,
平面
…………………(7分)
平面
,
…………………(8分)
(III)在
中,
,
,所以
…………(9分)
因为
,
,所以
.
因为
,所以
…………………(10分)
所以
…………………(11分)
由(Ⅱ)知
,所以
.………………(12分)
21.本题满分12分.
解:
(Ⅰ)由椭圆的离心率为
,
,又
,
,
解得
,
所以椭圆
的方程为
.…………………(3分)
(Ⅱ)①若直线过椭圆的左顶点,则直线的方程是
,
联立方程组
,解得
或
,
故
,
.…………………(6分)
②
为定值,且
.…………………(7分)
证明如下:
设直线在
轴上的截距为
所以直线的方程为
.
由
得
.
当
,即
时,直线与椭圆交于两点………(8分)
设
.
则
,
.…………………(9分)
又
,
故
=
.…………(10分)
又
,
,
所以
故
.…………………(12分)
22.本题满分14分.
解:
(Ⅰ)
,…………………(2分)
因为切线方程为
,所以
,即
……………(3分)
又
可得切点为(1,-1),代入切线方程得
……………(4分)
(Ⅱ)
恒成立等价于
恒成立,即
……………(5分
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