第五章留数定理习题及其解答.docx
- 文档编号:4739581
- 上传时间:2022-12-08
- 格式:DOCX
- 页数:15
- 大小:274.01KB
第五章留数定理习题及其解答.docx
《第五章留数定理习题及其解答.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第五章留数定理习题及其解答.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第五章留数定理习题及其解答
第五章留数定理习题及其解答
注:
此例说明,判断孤立奇点z类型虽可从f(z)的Laurent展开式含有负幕项的情况入手,但切不可忘掉必须是在去心领域内的Laurent展式,否则与z0是什么性质的点没有
关系。
5.2设f(z)在全平面解析,证明:
若:
:
为f(z)的可去奇点,则必有f(z)二a。
(常
数);若:
:
为f(z)的m级极点,则f(z)必为m次多项式:
f(z)二a°•a1z•III•akZ,ak=0;除此之外,f(z)在Zo=0处的Taylor展式必有无限多项系数=0。
证:
因为f(z)在全平面解析,所以f(z)在勺=0邻域内Taylor展式为f(z)二a0a1z丨11akzJ11且|z"o注意到这Taylor级数也是f(z)在:
:
去心邻域内的Taylor级数。
所以,当二在f(z)的可去奇点<—>f(z)在:
:
去心邻域内Laurent展示无z的正幕项,即厲=a?
=丨1(=0。
故f(z)=逐(常数);
当:
:
为f(z)的m级极点uf(z)在:
:
去心邻域内Laurent展示中只含有限个z的正幕项,且最高正幕为m次(am=0)o
f(z)=a°az川am_zm‘amZmam严a0n0m()
即f(z)为m次多项式;
除去上述两种情况,:
:
为f(z)的本性奇点=f(z)在:
:
去心邻域内Laurent展开式中含有无限多个正幕项,
CO
f(z)=送anznz£邑
因此在n£中,有无限多个项的系数不为0。
注
(1).对本题的结论,一定要注意成立的条件为f(z)在全面解析,否则结论不成
1
f(z)=—
立。
例:
z在0 ),且以°°为可去奇点, 但f(z)式常数;又f⑵=Z冷在° 同样地, 整函数); 同时注意,全平面解析的函数在 (2).本题证明完全依赖于无穷远点性态的分类定义, z°=°邻域内Taylor展示的收敛半径R=+: : ,从而此Taylor展示成立的区域z: •恰是: : 的去心领域,即同一展示对: : 而言即是其去心领域内的Laurent展式。 5.3证明: 如果z0为解析函数f(z)的m阶零点,则z0必为f(z)的m-1阶零点。 (m>1) 证因为f(z)在z0点解析,且z0为其m阶零点。 故f(z)在z0的邻域内Taylor展式为 f(Z)=Cm(Z—Ze)"卡十川其中C^0.Z—Z。 VR. 由Taylor级数在收敛圆内可逐项微分性质有 f'(z)=Cmm(z_z°)mJL+Cm半(m+1)(z_z°)m+川Z_z°|cR. ;*Cm=°Cmm=0 右端即为f(z)在Z—NvR内的Taylor展开式,由解析函数零点定义知,f(z)以 4)sinzcosz .2jJgk兀 令sinzcosz=0,得ei2z--i,即ee2(k=0,二1,二|()。 zkk二(k",_1,_2川).孙予上口 •••4为sinz•cosz的零点,且 [sinzcosz]z二coszk-sinzk=2(-1)k=0(k=0,±1,±2|||) 兀,1 zkk二f(z)二 •4为sinz•cosz的一级极点。 且zkk」r-',故,: : 为f(z)的非孤立奇点。 注当: : 为孤立奇点时,一般直接从函数在: : 的去心邻域内的Laurent展示入手,判断其类 型,但对3),因f(z)有一定的特性 5.5.求出下列函数的奇点, 1 zk=——z(k=0,_1,_2川) 31k-t 2为一级极点,闵为可去奇点;6)0为可去奇点,旳为本 性奇点)。 5.6计算下列各函数在指定点的留数: f(z)在扩充复平面内仅有孤立奇点,故留数和为0,于是可得 Res 2z 1—e 2)()z4,由留数定义,Res〔f(z),01等于(—e)在z=0处Taylor展式中z3项 的系数。 Z 2 e - 1- S e R 11 coszmsin,在z=°^-处(m为自然数). 1)Z;2)在Z 解 1 f(z)=cos—戸产』 1)z在扩充平面仅有两个奇点。 注意co—在-u「内Taylor展式中只有偶 次项。 _1 故住)=彎在0宀£址内Laurent展式中无z」项,即Res〔f(z),°】=°。 且环域°vz*+力也是的去心邻域。 故上述展式也是临处的Laurent展式。 因此Reslf(z)^卜° 1 f(z)=zmsin 2)z,m为自然数。 由留数定义知,Reslf⑵QL于snz在°-z-: : 内Lauernt展式中z°m1)的系 数。 注意在该环域有 5.11计算下列积分 k=5,k=4,-5,-2, 1) \17 2 1 sinz 解1)因为积分路径z二1位于环域°TZ兰汽内,且围绕z=0,简单、正向、闭,在该环域内解析,故可知所求积分为 1 其中a2为sinz在环域0 因此k=5时, k=4时, A —dz=2^4=0品zsinz 1 kdz=2: : ia3=2: 姑zsinz (上述展式中无偶次幕项) ~1d ](3! )25! 一 (无偶次幕项) =2~ia_6 k一-5时, k=「2时, 1 ~k;zsinz dz=2-ia (丄以o为一级极点). sinx 2)同1)道理,但积分路径位于环域71引习成2沢内,且围绕z=0,简单、正向、闭, 1 sinz在此环域内解析。 sinz dz二2-iC kJ 1 其中Ck丄为sinz在环域 : : : 2内Laurent展式中zkJ项系数。 因而k=-2时,r-2 k=5时, 5.12计算下列积分 31 I—z_ [——zdz 屆1+z kdz=2兀iCj3=2兀i(一2兀)=一4兀i z'sinz z= 11223i kdz=2二iG=2「: i()4i 3zksinz3! 二3! iz寸 A kdz=2二iC"03zsinz (积分路径均为正向) 1 二门eZ在1: : : z「二内解析。 z3 (展式中无偶次幕项) f(z) 解因为 简单、正向、闭,故由: : 留数定义有 二iResf(z),: : .1-2iResf(^)-2,0 -zz f(z)dz=-2 这里C3为 =2二iResez4, _1zz4 z : (zHe 路径z=2位于该环域内,围绕z=0, —,0=2二G 的z3项系数,由幕级数乘法易求得: 31 口z…=2兀i(—丄)=—纟兀i 33 1 ezdz: 岂1+z 即羽|z 5.13计算积分 2n |-7Iz ndz (积分方向为正方向) C3 内Laurent展式(即丄丄13! 2! 1z在z: : 1内taylor展式) 杲1+z 解: (n为自然数) 当n=1时z「1J" 1-z的一级极点,故 =2二iRes(,一1)=2二i 1+z z2n 当n=1时,积分路径内围绕了 f(z)=1-zn的n个一级极点 i(12k)二 z^—e 由留数定理有 (k=0,1,2,||(n-1) 因为 所以 5.14 z2n n_1 I疑1+z Res( 2nz n,zk)- 1z 2n z k=0 2n_n1 zk 暂+z"g2 k=0n 计算定积分o1—2"。 ^ 解: 被积式为cos,的有理函数,积分,得 z2n Cl) n zkzkzk 叱2‘ 故令 -三(0,1). (V cos: 则 dz z21 dz f(z)= dz n Zk=-1) z21 dz iz。 代入原 扫(1-2〉一一X=2)iz 2z dz 则z=1内包围故,由留数定理有 r (z-: )(z-丄)z a的一个奇点z0 ■,且为一级极点。 I二丄Res a a 1, (z「)(z——) a 1 z「一 a 2■: 2■: 22 : 2_11_J2 5.15计算定积分 dx 4・01x4 IJ解: 2;「x R(z)二1 设 1x4。 则 R(z)为z的有理函数,且分母次数为4, 分子次数为0(m-n=4.2)。 且R(z)在实轴上无奇点,在上半平面的奇点为 .3 i4H z2二e均为一级极点。 詁2二i(Res(宀,zjRes(宀,Z2)) 21z41z4 2二1叨dx (1)1d日; (2)J(a>0) 5.17计算实积分01'cos-0asinx JI 【答案 (1)2-; (2)2,a2a】 二dx 4 5.18计算积分: x-1 兀 【答案2】 : : cosmx 2——dx 5.19计算积分0xa的值 富_ma 】 : : xsinmx,dx 0(x2a2)2的值 e 【答案2a 5.20计算积分 m? H_ma e 【答案4a】 22 5.21若函数f(z)=u(x,y+iv(x,y)解析,且u—v=(x—y)(x+4xy+y),试求f(z).【答案f(z)=—iz3c】 5.22利用复变函数环路积分方法,证明级数 : (-1) J4nan 74 (提示: 考虑函数2iz4sin二Z沿着仅包围某一个奇点Z=n(n=0)的环路In的积分) 计算机仿真编程实践 5.23计算机仿真计算(利用Matlab计算机求解出留数,然后求积分) zdz 10 z1 5.24计算机仿真计算 (1) 8 (2)25 2 ez-1 z3在0点 z-3 ~32 (2)z-5z在0点处的留数。 (答案 (1)1; 5.25利用计算机仿真编程的方法计算积分(积分方向为正方向) 2n —z z(n "門+zn为自然数). 5.26利用计算机仿真计算积分 dz 10 -|z|^(zi)(z-1)(z-3),并验证典型实例结果。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第五 章留数 定理 习题 及其 解答
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)