三控制系统的时域分析.docx
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三控制系统的时域分析
第三章控制系统的时域分析
本章目录
3.1线性系统的稳定性
3.2控制系统的稳态误差
3.3控制系统的暂态响应分析
3.4一阶系统暂态响应
3.5二阶系统暂态响应
3.6高阶系统的暂态响应
3.7*用MATLAB进行暂态响应
小结
本章简介
上一章已经讲述了如何建立控制系统的数学模型。
但事实上人们真正关心的是,如何利用这些数学模型来对系统进行分析或设计。
本章主要讨论用时域分析法来分析控制系统的性能。
所谓时域分析法,就是通过求解控制系统的时间响应,来分析系统的稳定性、快速性和准确性。
它是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法,具有直观、准确、物理概念清楚的特点,尤其适用于二阶系统。
本章研究时域分析方法。
包括系统稳定性的判定,稳态误差,低阶系统的动态性能及高阶系统运动特性的近似分析等。
3.1线性系统的稳定性
设计控制系统时应满足多种性能指标,但首要的技术要求是系统全部时间内必须稳定。
一般来说,稳定性成为区分系统是否有用的标志。
从实际应用的角度来看,可以认为只有稳定系统才有用。
3.1.1稳定性的基本概念
原来处于平衡状态的系统,在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。
所谓稳定性,就是指系统在扰动作用消失后,经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态的性能。
若系统能恢复到原来的平衡状态,则称系统是稳定的;若干扰消失后系统不能恢复到原来的平衡状态,偏差越来越大,则系统是不稳定的。
系统的稳定性又分两种情况:
一是大范围内稳定,即起始偏差可以很大,系统仍稳定。
另一种是小范围内稳定,即起始偏差必须在一定限度内系统才稳定,超出了这个限定值则不稳定。
对于线性系统,如果在小范围内是稳定的,则它一定也是在大范围内稳定的。
而对非线性系统,在小范围内稳定,在大范围内就不一定是稳定的。
本章所研究的稳定性问题,是线性系统的稳定性,因而是大范围内的稳定性问题。
一般来说,系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性,如果系统的零输入响应和零状态响应都是收敛的,则此系统就被认为是总体稳定的。
不难证明,对于线性定常系统,零输入响应稳定性和零状态响应稳定性的条件是一致的。
所以线性定常系统的稳定性是通过系统响应的稳定性来表达的。
3.1.2线性系统的稳定性
线性系统的特性或状态是由线性微分方程来描述的,而微分方程的解通常就是系统输出量的时间表达式,它包含两部分:
稳态分量(又称强制分量)和瞬态分量(又称自由分量)。
稳态分量对应微分方程的特解,与外作用形式有关;瞬态分量对应微分方程的通解,是系统齐次方程的解,它与系统本身的参数、结构和初始条件有关,而与外作用形式无关。
研究系统的稳定性,就是研究系统输出量中的瞬态分量的运动形式。
这种运动形式完全取决于系统的特征方程式,即齐次微分方程式,因为它正是研究扰动消除后输出量运动形式的。
单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为:
系统的特征方程式为
显然,它是由系统本身的参数和结构所决定的。
3.1.3线性系统稳定的充分必要条件
从上节的例子可以看出,线性系统稳定与否完全取决于其微分方程的特征方程根。
如果特征方程的全部根都是负实数或实部为负的复数,则系统是稳定的。
如果特征方程的各根中即使只有一个根是正实数或只有一对根是实部为正的复数,则微分方程的解中就会出现发散项。
由此可得出如下结论:
线性系统稳定的充分必要条件是它的特征方程式的所有根均为负数或具有负的实数部分;或者说,特征方程式的所有根均在复数平面的左半部分。
由于系统特征方程式的根就是系统的极点,所以又可以说,系统稳定的充分必要条件是系统的极点均在S平面的左半部分。
如果特征方程在复平面的右半平面上没有根,但在虚轴上有根,则可以说该线性系统是临界稳定的。
3.1.4劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)稳定判据
判别系统稳定性最基本的方法是根据特征方程式的根的性质来判定。
但求解高于三阶的特征方程式相当复杂和困难。
所以在实际应用中提出了各种工程方法,它们无需求特征根,但都说明了特征根在复平面上的分布情况,从而判别系统的稳定性。
本节主要介绍代数判据。
(一)系统稳定性的初步判别
设已知控制系统的特征方程
式中所有系数均为实数,且a0>0
系统稳定的必要条件是上述特征方程式所有系数均为正数。
可简单证明如下:
将特征方程写成用特征根表达的形式
(3-1)
假如所有特征根均在S平面的左半部,即-σi<0,-αk<0,则式(3-1)中的σi<0,αk<0(i=1,…,q;k=1,…,l;q+2l=n),若把式(3-1)的乘积展开,s多项式的各项系数必然均大于零。
根据这一原则,在判别系统稳定性时,可事先检查一下系统特征方程式的系数是否均为正数。
如果有任何一项系数为负数或等于零(即缺项),则系统是不稳定或临界稳定的。
假如只是判别系统是否稳定,到此就不必作进一步的判别了。
如果系数均为正数,对二阶系统来说肯定是稳定的(必要且充分),但对二阶以上的系统,还要作进一步的判别。
(二)劳斯判据(Routh)
将系统的特征方程写成如下标准形式
并将各系数组成如下排列的劳斯表:
sna0a2a4a6…
sn-1a1a3a5a7…
sn-2b1b2b3b4…
sn-3c1c2c3c4…
┇┇┇┇┇
s2e1e2
s1f1
s0g1
表中的有关系数为
………………………
系数bi的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。
………………………
这一计算过程一直进行到n行为止。
为了简化数值运算,可以用一个正整数去除或乘某一行的各项,这时并不改变稳定性的结论。
列出了劳斯表以后,可能出现以下几种情况。
1.第一列所有系数均不为零的情况,这时,劳斯判据指出,系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次数。
系统极点全部在复平面的左半平面的充分必要条件是方程的各项系数全部为正值,并且劳斯表的第一列都具有正号。
2.某行第一列的系数等于零,而其余项中某些项不等于零的情况。
在计算劳斯表中各元素的数值时,如果某行的第一列的数值等于零,而其余的项中某些项不等于零,那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项,然后按照通常方法计算阵列中其余各项。
如果零(ε)上面的系数符号与零(ε)下面的系数符号相反,表明这里有一个符号变化。
如果零(ε)上面的系数符号与零(ε)下面的系数符号相同,则有一对共轭虚根存在,系统也属不稳定。
3.某行所有各项系数均为零的情况,如果劳斯表中某一行的各项均为零,或只有等于零的一项,这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和(或)一些共轭虚数极点。
为了写出下面各行,将不为零的最后一行的各项组成一个方程,这个方程叫作辅助方程,式中s均为偶次。
由该方程对s求导数,用求导得到的各项系数来代替为零的各项,然后继续按照劳斯表的列写方法,写出以下的各行。
至于这些根,可以通过解辅助方程得到。
但是当一行中的第一列的系数为零,而且没有其它项时,可以像情况2所述那样,用ε代替为零的一项,然后按通常方法计算阵列中其余各项。
(三)赫尔维茨判据(Hurwitz)
分析6阶以下系统的稳定性时,还可以应用赫尔维茨判据。
将系统的特征方程写成如下标准形式
现以它的各项系数写出如下之行列式:
行列式中,对角线上各元为特征方程中自第二项开始的各项系数。
每行以对角线上各元为准,写对角线左方各元时,系数a的脚标递增;写对角线右方各元时,系数a的脚标递减。
当写到在特征方程中不存在系数时,则以零来代替。
赫尔维茨判据描述如下:
系统稳定的充分必要条件在a0>0的情况下是,上述各行列式的各阶主子或均大于零,即对稳定系统来说要求
赫尔维茨稳定判据虽然在形式上与劳斯判据不同,但实际结论是相同的。
3.2控制系统的稳态误差
从前面叙述可知,如果一个线性控制系统是稳定的,那么从任何初始条件开始,经过一 段时间就可以认为它的过渡过程已经结束,进入与初始条件无关而仅由外作用决定的状态,即稳态。
控制系统在稳态下的精度如何,这是它的一个重要的技术指标,通常用稳 态下输出量的要求值与实际值之间的差来衡量。
如果这个差是常数,则称为稳态误差。
不稳定的系统不能实现稳态,因此也就谈不上稳态误差。
因此,这里讨论的稳态误差都 指的是稳定的系统。
3.2.1典型输入信号
控制系统的稳态误差是因输入信号不同而不同的。
因此就需要规定一些典型输入信号。
通过评价系统在这些典型输入信号作用下的稳态误差来衡量和比较系统的稳态性能。
在控制工程中通常采用的典型输入信号有以下几种:
1.单位阶跃函数:
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s
2.单位斜坡函数:
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s2
3.单位加速度函数:
其拉普拉斯变换为R(s)=1/s3
4.单位脉冲函数:
其拉普拉斯变换为R(s)=1
5.正弦函数:
r(t)=sinωt
其中最常用的典型信号为单位阶跃、单位斜坡、单位加速度三种输入信号。
3.2.2稳态误差和误差传递函数
系统的稳态误差是指系统在稳定状态下其实际输出值(在实际工作中常用系统输出的测量值代替)与给定值之差。
对稳定的单输入单输出系统,稳态误差是时域中衡量系统稳态响应的性能指标,它反映了系统的稳态精度,因此稳态误差分析是控制系统分析的一项基本内容。
设有如图3-1所示的系统。
它的闭环传函为
误差信号e(t)和输入信号r(t)之间的传递函数是
其中误差e(t)是输入信号和反馈信号之差。
图3-1控制系统
终值定理为求稳定系统的稳态误差提供了一个简便的方法。
因为E(s)是
则稳态误差是
3.2.3静态误差系数
当系统的输入信号为单位阶跃、单位斜坡和单位加速度三种典型信号之一时,上式分别化为:
单位阶跃函数:
(3-2)
单位斜坡函数:
(3-3)
单位加速度函数:
(3-4)
现定义误差系数如下:
静态位置误差系数Kp:
(3-5)
静态速度误差系数Kv:
(3-6)
静态加速度误差系数Ka:
(3-7)
将(3-5),(3-6)及(3-7)分别代入(3-2),(3-3)及(3-4)得
单位阶跃函数:
(3-8)
单位斜坡函数:
(3-9)
单位加速度函数:
(3-10)
下面进一步考察误差系数与系统的结构和参数的关系。
系统开环传递函数一般写成
(3-11)
的形式,式中K是系统的开环比例系数。
分母中的因子Sυ表明开环传递函数中含有υ个积分单元。
将系统按照υ=0,1,2分别将其分为0型,1型,2型。
在表3-1中列出了按照式(3-2),(3-3)及(3-4)求得的系统稳态误差系数。
表3-10型、1型及2型系统以增益K表示的稳态误差
0型系统1型系统2型系统
(阶跃输入)r(t)=1(t) (Kp)
00
(斜坡输入)r(t)=t (Kv)∞
0
(加速度输入)r(t)=t2/2(Ka)∞∞
误差系数Kp、Kv和Ka描述了系统减少或消除稳态误差的能力,系数值愈大,则给定稳态误差终值愈小。
一般来说,在保持瞬态响应在一个允许的范围内时,希望增加误差系数,如果在静态速度误差系数和加速度误差系数之间有任何矛盾时,主要考虑前者。
务请注意,使用拉普拉斯变换终值定理计算稳态误差终值的条件是:
sEr(s)在s平面右半部及虚轴上除了坐标原点是孤立奇点外必需解析,亦即sEr(s)的全部极点除坐标原点外应全部分布
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