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第3章作业解答
第3章静电场及其边值问题的解法
3.1、3.6、3.11、3.13、3.16、3.18、3.32、3.33
3.1对于下列各种电位分布,分别求其对应的电场强度和体电荷密度:
(1);
(2);
(3);(4)。
解:
已知空间的电位分布,由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1)
(2)
(3)
(4)
(顶端▲)
3.6有和的两种电介质分别分布在和的半无限大空间。
已知时。
试求时的。
解:
设,则由题意可知
两种电介质的交界面上无自由电荷,则边界条件为或,则
所以,z<0时:
(顶端▲)
3.11如题3.11图所示的平板电容器中,分别以两种不同的方式填充两种不同的介质和。
当两极板之间外加电压时,试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。
解:
对于图a:
忽略边缘效应,可以认为电位分布也只与有关,均满足一维拉普拉斯方程:
且由介质分界面的边界条件可知,两种介质中的电位分布是相同的,其通解为:
根据已知条件,解得和,即平板电容器中的电位分布为:
根据,可以得到平板电容器中的电场强度:
对平板上,面电荷密度分别为
总电量为:
电容器的电容为:
对于图b:
忽略边缘效应,同样可认为电位分布也只与有关,均满足一维拉普拉斯方程,两种介质中的电位分布的通解可以分别设为
和
根据已知条件和,以及分界面处的边界条件和可以解得
和
根据,可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为
和
对平板上,面电荷密度为:
总电量为:
电容器的电容为:
(顶端▲)
3.13如题3.13图所示,半径为的无限长导体圆柱,单位长度的带电量为。
其一半埋于介电常数为的介质中,一半露在空气中。
试求各处的电位和电场强度。
解:
设导体电位为零。
以导体圆柱中心轴为z轴建立圆柱坐标系,空间电位与只与坐标ρ有关,即,在圆柱坐标系中,设电位分布为:
Φ1、Φ2均满足一维拉普拉斯方程,即
将上述两方程分别直接积分两次,得通解:
和
在介质分界面上任一点电位皆连续,则和,即
无限长导体圆柱上电位为0,即,可得,则通解可写为:
导体圆柱表面的面电荷密度为:
单位长度导体圆柱上的电量为:
或:
于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为
和(顶端▲)
3.16顶端夹角为的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面,但两者之间有一缝隙。
当圆锥所加电压为时,试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。
解:
由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标的函数,满足一维的拉普拉斯程
即
将上述方程分别直接积分,得出通解为
利用边界条件和解得
和
由此可得圆锥体与导体平面之间的电位和电场强度的分布分别为
和
(顶端▲)
3.18题图所示矩形空间区域内的电位分布,已知边界条件为:
(1),;
(2),,;
解:
(1)本题属于二维边值问题:
,其电位满足的
Laplace方程可用分离变量法求解。
由题意可知:
y方向具有齐次边界条件,则,,其通解形式为:
由边界条件,即由可得:
和
则通解亦为:
代入边界条件:
由于,则,代入通解得
利用公式:
,得
令常数,则通解可写成:
将上式对求和,得该边值问题的解:
最后,将边界条件代入上式,得
上式两边同乘,并作积分:
利用三角函数的正交关系:
,则
而,则系数
或
最后得到电位分布为:
(2)x方向满足齐次边界条件,则,,其通解形式为:
将上式运用边界条件和,可以得到
再由边界条件以及,可以得到
则
式中,。
将上式对求和得此边值问题的解:
最后,将边界条件代入上式,得
两边同乘,作积分并利用三角函数的正交性:
得系数:
或
最后得到电位分布为:
(顶端▲)
3.32若两个半无限大导体平面相交成α角,其间放一根无限长带电直线,线电荷密度为,且与两平面的交线平行。
试求下列情况下α角形区域内的电位分布:
(1);
(2);(3)。
解:
设导体平面接地,则O点电位亦为零。
以O点为零电位参考点
(1)α=90°时,对应3个镜像(线)电荷(位置如图):
,,
P点电位为各线电荷在P点电位的叠加:
r、r1、r2、r3分别为到P点的距离,
r0为各线电荷到O点的距离。
代入整理上式得:
(2)α=60°时,对应5个镜像(线)电荷(位置如图):
,,,
,
设r、r1、r2、r3、r4、r5分别为
到P点的距离。
各线电荷到O点的距离相
等(设为r0),则P点电位为:
(3)α=45°时,,对应2n-1=7个镜像(线)电荷(图略),P点的电位为:
(顶端▲)
3.33内半径为的导体球壳内有一个点电荷,距球心为,球壳的厚度为。
试求下列情况下,空间各处的电位分布:
(1)球壳接地;
(2)球壳接电位;(3)球壳带电量。
解:
可将电场空间分成3个区间进行讨论、及(r为场点P到球心的距离)
(1)球壳接地时:
电位分布
:
:
(采用镜像法计算电位)引入镜像电荷
,(如图)
该区域(球型空腔)内电位
式中分别为空腔内场点分别到的距离。
(2)球壳接电位时:
设外表面带电荷Q,则Q在
外表面分布为均匀分布。
:
:
在边界上电位连续,即
则该区域电位
:
(采用镜像法计算电位)引入镜像电荷(如图)
,及(位于球心)
设该区域中场点P到电荷的距离分别为,则
(3)球壳带电量时:
静电感应平衡后球壳外表面均匀带电,则
:
:
=常数Φ0
:
(采用镜像法计算电位)
引入镜像电荷(如图)
式中,分别为该区域中场点P到电荷的距离。
(顶端▲)
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