学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件+讲义+课时作业41.docx
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学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册课件+讲义+课时作业41
4.1 指数
最新课程标准:
通过对有理数指数幂a
(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
知识点一 n次方根及根式的概念
1.a的n次方根的定义
如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.a的n次方根的表示
(1)当n是奇数时,a的n次方根表示为
,a∈R.
(2)当n是偶数时,a的n次方根表示为±
,其中-
表示a的负的n次方根,a∈[0,+∞).
3.根式
式子
叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
根式的概念中要求n>1,且n∈N*.
知识点二 根式的性质
(1)(
)n=a(n∈R+,且n>1);
(2)
=
(
)n中当n为奇数时,a∈R;n为偶数时,a≥0,而
中a∈R.
知识点三 分数指数幂的意义及有理数指数幂的运
算性质
1.分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数
指数幂
规定:
a
=
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
负分数
指数幂
规定:
a
=
=
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
性质
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=ar+s;(a>0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=ars;(a>0,r,s∈Q)
(3)(ab)r=arbr.(a>0,b>0,r∈Q)
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
[教材解难]
1.教材P105思考
可以,把根式表示为分数指数幂的形式时,例如,把
,
,
等写成下列形式:
=a
(a>0),
=b
(b>0),
=c
(c>0).
2.教材P108思考
无理数指数幂2
的含义:
就是一串以
的不足近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂和另一串同样以
的过剩近似值为指数、以2为底数的有理数指数幂无限逼近的结果,故2
是一个确定的实数.
[基础自测]
1.
+π等于( )
A.4 B.2π-4
C.2π-4或4D.4-2π
解析:
+π=4-π+π=4.故选A.
答案:
A
2.b4=3(b>0),则b等于( )
A.34B.3
C.43D.35
解析:
因为b4=3(b>0),∴b=
=3
.
答案:
B
3.下列各式正确的是( )
A.
=-3B.
=a
C.(
)3=-2D.
=2
解析:
由于
=3,
=|a|,
=-2,故选项A,B,D错误,故选C.
答案:
C
4.
的值是________.
解析:
=
=
=
=
=
.
答案:
题型一 利用根式的性质化简求值[经典例题]
例1
(1)下列各式正确的是( )
A.
=aB.a0=1
C.
=-4D.
=-5
(2)计算下列各式:
①
=________.
②
=________.
③
-
-
=________.
【解析】
(1)由于
=
则选项A,C排除,D正确,B需要加条件a≠0.
(2)①
=-a.
②
=
=π-3.
③
-
-
=
-
-
=
-
-
=
.
首先确定式子
中n的奇偶,再看式子的正负,最后确定化简结果.
【答案】
(1)D
(2)①-a ②π-3 ③
方法归纳
根式化简或求值的策略
(1)解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.
(2)开偶次方时,先用绝对值表示开方的结果,再去掉绝对值符号化简,化简时要结合条件或分类讨论.
跟踪训练1 求下列各式的值:
(1)
;
(2)
;
(3)
;(4)
+
.
解析:
(1)
=-2;
(2)
=
=
;
(3)
=|3-π|=π-3;
(4)原式=
+y-x=|x-y|+y-x.
当x≥y时,原式=x-y+y-x=0;
当x 所以原式= 由根式被开方数正负讨论x≥y,x 题型二 根式与分数指数幂的互化[经典例题] 例2 (1)将分数指数幂a (a>0)化为根式为________. (2)化简: (a2· )÷( · )=________.(用分数指数幂表示). 利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂.(3)将下列根式与分数指数幂进行互化. ①a3· . ② (a>0,b>0). 【解析】 (1)a = = (2)(a2· )÷( · )=(a2·a )÷(a ·a )=a ÷a =a =a 【答案】 (1) (2)a (3)①a3· =a3·a =a =a . ② = = = =a b . 方法归纳 根式与分数指数幂互化的方法及思路 (1)方法: 根指数 分数指数的分母,被开方数(式)的指数 分数指数的分子. (2)思路: 在具体计算中,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 提醒: 如果根式中含有多重根号,要由里向外用分数指数幂写出. 跟踪训练2 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.- =(-x) (x>0) B. =y (y<0) C.x = (x>0) D.x =- (x≠0) 解析: - =-x (x>0); =(y2) =-y (y<0); x =(x-3) = (x>0);x = = (x≠0). 答案: C A: - 先把 =x 再加上-. B: 注意y<0. C: 负指数次幂运算. 题型三 分数指数幂的运算与化简[教材P106例4] 例3 计算下列各式(式中字母均是正数): (1)(2a b )(-6a b )÷(-3a b ); (2)(m n )8; (3)( - )÷ . 【解析】 (1)(2a b )(-6a b )÷(-3a b ) =[2×(-6)÷(-3)]a b =4ab0 =4a; (2)(m n )8= 8 8 =m2n-3 = ; (3)( - )÷ =(a -a )÷a =a ÷a -a ÷a =a -a =a -a = -a. ①先进行指数运算,在进行指数运算时可将底数化成幂的形式,再利用幂的乘方进行运算;②对于零次幂,直接运用a0=1(a≠0)得出结论;③底数为带分数的化成假分数,进而将底数化成幂的形式;④底数为小数的一般化成分数来运算;⑤先算乘方(开方),再算乘除,最后算加减. 教材反思 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示. 跟踪训练3 计算: (1)(-1.8)0+ -2· - + ; (2) · (a>0,b>0). 解析: (1)原式=1+ 2· -10+9 =1+ 2· 2-10+27=29-10=19. (2)原式=4 ·0.12· =2× ×8= . 先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算. 一、选择题 1.将 化为分数指数幂,其形式是( ) A.2 B.-2 C.2 D.-2 解析: =(-2 ) =(-2×2 ) =(-2 ) =-2 . 答案: B 2.若a (a-2)0有意义,则a的取值范围是( ) A.a≥0B.a=2 C.a≠2D.a≥0且a≠2 解析: 要使原式有意义,只需 , ∴a≥0且a≠2. 答案: D 3.化简 的结果是( ) A.- B. C.- D. 解析: 依题意知x<0,所以 =- =- . 答案: A 4.化简( )4·( )4的结果是( ) A.a16B.a8 C.a4D.a2 解析: ( )4·( )4 =( ) ·( ) =(a ) ·(a ) =a ·a =a4. 答案: C 二、填空题 5. - + 的值为________. 解析: 原式= - + = - + = . 答案: 6.设α,β为方程2x2+3x+1=0的两个根,则 α+β=____________________. 解析: 由根与系数关系得α+β=- ,所以 α+β= =(2-2) =23=8. 答案: 8 7.若 + =0,则(x2019)y=________. 解析: ∵ + =0, ∴ + =|x+1|+|y+3|=0, ∴x=-1,y=-3. ∴(x2019)y=[(-1)2019]-3=(-1)-3=-1. 答案: -1 三、解答题 8.用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0,b>0): (1)a2 ; (2) · ; (3)( )2· ;(4) . 解析: (1)原式=a2a =a =a . (2)原式=a ·a =a =a . (3)原式=(a )2·(ab3) =a ·a b =a b =a b . (4)原式=a2·a =a =a . 9.计算下列各式: (1)0.064 - 0+[(-2)3] +16-0.75; (2) -(-9.6)0- +(-1.5)-2; (3) +0.002 -10( -2)-1+( - )0. 解析: (1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3= -1+ + = . (2)原式= -1- + -2= -1- -2+ 2= . (3)原式=(-1) · + - +1= +500 -10( +2)+1 = +10 -10 -20+1=- . [尖子生题库] 10.已知a +a = ,求下列各式的值: (1)a+a-1; (2)a2+a-2;(3)a2-a-2. 解析: (1)将a +a = 两边平方, 得a+a-1+2=5, 则a+a-1=3. (2)由a+a-1=3两边平方, 得a2+a-2+2=9, 则a2+a-2=7. (3)设y=a2-a-2,两边平方, 得y2=a4+a-4-2 =(a2+a-2)2-4 =72-4 =45, 所以y=±3 , 即a2-a-2=±3 .
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