最新中考数学专题训练特殊四边形的动态探究题.docx
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最新中考数学专题训练特殊四边形的动态探究题
最新中考数学专题训练---
特殊四边形的动态探究题
1.已知△ABC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,交BC于点E,连接ED,若ED=EC.
(1)求证:
AB=AC;
(2)①若AB=4,BC=2,则CD=________;
②当∠A=________时,四边形ODEB是菱形.
第1题图
1.
(1)证明:
∵ED=EC,∴∠EDC=∠C,
∵∠EDC+∠ADE=180°,∠B+∠ADE=180°,
∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,
∴AB=AC;
(2)解:
①;
【解法提示】如解图,连接BD,
第1题解图
∵AB为⊙O的直径,∴BD⊥AC,
设CD=a,由
(1)知AC=AB=4,则AD=4-a,
在Rt△ABD中,由勾股定理可得BD2=AB2-AD2=42-(4-a)2,
在Rt△CBD中,由勾股定理可得BD2=BC2-CD2=
(2)2-a2,
∴42-(4-a)2=
(2)2-a2,解得a=,即CD=.
②60°.
【解法提示】如解图,连接OD、OE,
∵四边形ODEB是菱形,∴OB=BE,
又∵OB=OE,∴△OBE是等边三角形,∴∠OBE=60°,
∵OD∥BE,∴∠BOD=120°,∴∠A=∠BOD=60°.
2.如图,在▱ABCD中,AD=4,AB=5,延长AD到点E,连接EC,过点B作BF∥CE交AD于点F,交CD的延长线于点G.
(1)求证:
四边形BCEF是平行四边形;
(2)①当DF=______时,四边形BCEF是正方形;
②当=________时,四边形BCEF是菱形.
第2题图
2.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴EF∥BC.
∵BF∥CE,∴四边形BCEF是平行四边形;
(2)解:
①1;
【解法提示】∵四边形BCEF是正方形,
∴BF=BC=AD=4,∠FBC=∠AFB=90°,
∴AF===3.
∵AD=4,∴DF=AD-AF=4-3=1.
②.【解法提示】∵四边形BCEF是菱形,
∴BF=BC=AD=4.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,
∴=,即==.
3.如图,AB是半圆O的直径,射线AM⊥AB,点P在AM上,连接OP交半圆O于点D,PC切半圆O于点C,连接BC.
(1)求证:
BC∥OP;
(2)若半圆O的半径等于2,填空:
①当AP=________时,四边形OAPC是正方形;
②当AP=________时,四边形BODC是菱形.
第3题图
3.解:
(1)证明:
连接OC,AC,如解图所示,
∵AB是直径,AM⊥AB,
∴BC⊥AC,AP是半⊙O的切线,
又∵PC是半⊙O的切线,∴PA=PC,
又∵OA=OC,∴OP⊥AC,
∴BC∥OP;
(2)①2;②2.
【解法提示】①若四边形OAPC是正方形,
则OA=AP,∵OA=2,∴AP=2;
②若四边形BODC是菱形,则CB=BO=OD=DC,
∵AB=2OB,∠ACB=90°,
∴AB=2BC,∴∠BAC=30°,∠ABC=60°,
∵BC∥OP,∴∠AOP=∠ABC=60°,
又∵∠OAP=90°,OA=2,
∴∠OPA=30°,∴OP=4,
∴AP=
=2.
第3题解图
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,线段BC的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,点F在DE的延长线上,AF=CE且F不与E重合.
(1)求证:
△EFA≌△ACE;
(2)填空:
①当∠B=_________°时,四边形ACEF是菱形;
②当∠B=_________°时,线段AF与AB垂直.
第4题图
4.
(1)证明:
如解图,
第4题解图
∵ED是BC的垂直平分线,∴EB=EC,ED⊥BC,
∴∠3=∠4,
∵∠ACB=90°,∴FE∥AC,∴∠1=∠5,
∵∠2与∠4互余,∠1与∠3互余,∴∠1=∠2=∠5,
∴AE=CE.
又∵AF=CE,∴AE=AF,∴∠5=∠F,
在△EFA和△ACE中,
AF=AE=EC,∠1=∠2=∠5=∠F,∴△EFA≌△ACE.
(2)解:
①30;②45.
【解法提示】①∵四边形ACEF是菱形,∴AC=CE,
∵CE是Rt△ABC斜边AB的中线,
∴CE=AE=BE,∴AE=AC=CE,
∴△ACE是等边三角形,∴∠1=60°,则∠B=30°,
∴当∠B=30°时,四边形ACEF是菱形;
②由
(1)知△EFA≌△ACE,
∴∠AEC=∠EAF,∴AF∥CE,
∵AF⊥AB,∴CE⊥AB,
∵CE=EB,∴∠3=∠4=45°,
∴当∠B=45°时,线段AF与AB垂直.
5.如图,AB是⊙O的直径,E是⊙O外一点,过点E作⊙O的两条切线ED,EB,切点分别为点D,B.连接AD并延长交BE延长线于点C,连接OE.
(1)试判断OE与AC的关系,并说明理由;
(2)填空:
①当∠BAC=_________°时,四边形ODEB为正方形;
②当∠BAC=30°时,
的值为________.
第5题图
5.解:
(1)OE∥AC,OE=
AC.
理由:
连接OD,如解图,
第5题解图
∵DE,BE是⊙O的切线,∴OD⊥DE,AB⊥BC,
∴∠ODE=∠ABC=90°,∵OD=OB,OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL),∴∠1=∠2.
∵∠BOD=∠A+∠3,OA=OD,∴∠A=∠3,
∴∠2=∠A,∴OE∥AC;
∵OA=OB,∴EC=EB,
∴OE是△ABC的中位线,∴OE=
AC.
(2)①45;②3.
【解法提示】①要使四边形ODEB是正方形,由ED=EB,∠ODE=∠ABC=90°,只需∠DOB=90°,∴∠A=45°;②过O作OH⊥AD于H,∵∠A=30°,OA=OD,∴∠3=∠A=30°,∴OD=
AD,∵∠ODE=90°,∠1=∠3=30°,∴OD=
DE,∴
AD=
DE,∴
=3.
6.如图,将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连接BC1,∠ACB=30°,AB=1,CC1=x.
(1)若点O与点C1重合,求证:
A1D1为⊙O的切线;
(2)①当x=________时,四边形ABC1D1是菱形;
②当x=________时,△BDD1为等边三角形.
第6题图
6.
(1)证明:
∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=90°,
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,
∴∠A1D1O=∠D=90°,∴A1D1⊥OD1,
∴A1D1为⊙O的切线;
(2)解:
①1;②2.
【解法提示】①如解图①,连接AD1,当x=1时,四边形ABC1D1是菱形;
第6题解图①
理由:
由平移得:
AB=D1C1,且AB∥D1C1,∴四边形ABC1D1是平行四边形,∵∠ACB=30°,∴∠CAB=60°,
∵AB=1,∴AC=2,
∵x=1,∴AC1=1,∴AB=AC1,
∴△AC1B是等边三角形,∴AB=BC1,
∴四边形ABC1D1是菱形;
②如解图②所示,当x=2时,△BDD1为等边三角形,
第6题解图②
则可得BD=DD1=BD1=2,
即当x=2时,△BDD1为等边三角形.
7.如图,AB是半圆O的直径,点C是半圆上的一个动点,∠BAC的平分线交圆弧于点D,半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E.
(1)求证:
△ADE∽△ABD;
(2)填空:
①若ED∶DB=∶2,则AE∶AB=________;
②连接OC、CD,当∠BAC的度数为________时,四边形BDCO是菱形.
第7题图
7.
(1)证明:
如解图①,连接OD,
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠EAD=∠DAB,
∵AO=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∴∠EAD=∠ODA,∴OD∥AE,
∵DE是半圆O的切线,∴OD⊥DE,
∴∠E=90°,
∵AB是半圆O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠EAD=∠DAB,∠E=∠ADB,
∴△ADE∽△ABD;
第7题解图①
(2)解:
①3∶4;
【解法提示】由
(1)得△ADE∽△ABD,∴=,
∵ED∶DB=∶2,∴AE∶AD=∶2,
∴∠EAD=30°,∴∠DAB=30°,
∴AD∶AB=∶2,∴AE∶AB=3∶4.
②60°.
【解法提示】如解图②,连接OC,CD,OD,当四边形BDCO是菱形时,OD=BD,∴△ODB为等边三角形,∴∠DOB=60°,由
(1)得,OD∥AC,∴∠BAC=60°.
第7题解图②
8.如图,以△ABC一边AB为直径作⊙O,与另外两边分别交于点D、E,且点D为BC的中点,连接DE.
(1)证明:
△ABC是等腰三角形;
(2)填空:
①当∠B=________时,四边形BDEO是菱形;
②当∠B=________时,△AOE是直角三角形.
第8题图
8.
(1)证明:
连接AD,如解图,∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=90°.
∵D为BC的中点,∴BD=DC,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形;
第8题解图
(2)解:
①60°;②67.5°.
【解法提示】①当∠B=60°时,四边形BDEO是菱形.连接OD,如解图,∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,△OBD是等边三角形,∴△AOE是等边三角形,△DOE是等边三角形,∴OB=BD=DE=EO,∴四边形BDEO是菱形;②若△AOE是直角三角形,只有一种情况,即∠AOE=90°,∵OA=OE,∴∠OAE=∠AEO=45°,由
(1)知△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C==67.5°.
9.如图,在△ABC中,AB=BC=8,O是AB的中点,以O为圆心,OA为半径的圆交AC于D,E是上的一点,∠C=45°,连接BE,DE.AF切圆O于点A,交BE的延长线于点F.
(1)求证:
BC是圆O的切线;
(2)填空:
①当BE=________时,四边形BDAE是正方形;
②当BF=________时,四边形ODAF是平行四边形.
第9题图
9.
(1)证明:
∵AB=BC,∠C=45°,
∴∠BAC=∠C=45°,
∵在△ABC中,∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-45°-45°=90°,
又∵AB是过圆心O的直径,OB⊥BC,
∴BC是圆O的切线;
(2)解:
①4;②4.
【解法提示】①当DE经过圆心时四边形BDAE是正方形,连接BD,AE,如解图①,∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=90°,又∵AB=BC,∴BD⊥AC,AD=DC=BD,又∵∠ADB=90°,AD=BD,∴DO⊥AB,∴AB⊥ED,∵AB=ED,OA=OB,OE=OD,∴四边形BDAE是正方形.∵AB=8,∴EO=OB=4,∴BE=
==4,∴当BE=4时,四边形BDAE是正方形;②如解图②,∵四边形ODAF是平行四边形,∴AF=OD=4,∴BF=
=
=4,∴当BF=4时,四边形ODAF是平行四边形.
第9题解图①第9题解图②
10.如图,已知平行四边形ABCD中,AD=8cm,AB=10cm,BD=12cm.点P从点A出发,以1cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点C出发以相同的速度向点D运动.设运动时间为t.
(1)连接DP、BQ,求证:
DP=BQ;
(2)填空:
①当t为______s时,四边形PBQD是矩形;
②当t为______s时,四边形PBQD是菱形.
第10题图
10.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD=BC.
又∵AP=CQ=t,
∴△APD≌△CQB(SAS),
∴DP=BQ;
(2)①1;②2.
【解法提示】①如解图①,∵△APD≌△CQB,∴DP=BQ.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴AB-AP=CD-CQ,即BP=DQ,∴四边形PBQD是平行四边形.当∠DPB=90°时,则四边形PBQD就是矩形.此时,AD2-AP2=BD2-BP2=DP2,即82-t2=122-(10-t)2,解得t=1;②如解图②,由①知四边形PBQD是平行四边形,当DP=BP时,则四边形PBQD就是菱形.此时,连接PQ,交BD于点O,则PQ⊥BD,OB=OD=6.作DH⊥AB于H.由①知BH=10-1=9,cos∠DBH===.在Rt△BOP中,cos∠PBO=,cos∠DBH=cos∠PBO=,即=
,解得t=2.
第10题解图①第10题解图②
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