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演绎推理
2.1.2 演绎推理
[学习目标] 1.了解演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本模式,并能进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
知识点一 演绎推理及其一般模式——“三段论”
1.演绎推理
含义
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
2.三段论
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理,对特殊情况做出的判断
S是P
思考
(1)演绎推理的结论一定正确吗?
(2)如何分清大前提、小前提和结论?
答案
(1)演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围,所以在演绎推理中,只要前提和推理形式正确,其结论就一定正确.
(2)在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断,这与平时我们解答问题中的思考是一样的,即先指出一般情况,从中取出一个特例,特例也具有一般意义.例如,平行四边形对角线互相平分,这是一般情况;矩形是平行四边形,这是特例;矩形对角线互相平分,这是特例具有的一般意义.
知识点二 演绎推理与合情推理的区别与联系
合理推理
演绎推理
区别
定义
根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果),以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程
根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程
思维方法
归纳、类比
三段论
推理形式
由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理
由一般到特殊的推理
结论
结论不一定正确,有待于进一步证明
在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确
作用
具有猜测和发现结论,探索和提供思路的作用,利于创新意识的培养
按照严格的逻辑法则推理,利于培养和提高逻辑证明的能力
联系
合情推理与演绎推理是相辅相成的,数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理;数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明
题型一 用三段论的形式表示演绎推理
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾;
(2)一切奇数都不能被2整除,2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除;
(3)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数.
解
(1)在一个标准大气压下,水的沸点是100℃,大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃,小前提
水会沸腾.结论
(2)一切奇数都不能被2整除,大前提
2100+1是奇数,小前提
2100+1不能被2整除.结论
(3)三角函数都是周期函数,大前提
y=tanα是三角函数,小前提
y=tanα是周期函数.结论
反思与感悟 三段论由大前提、小前提和结论组成.大前提提供一般原理,小前提提供特殊情况,两者结合起来,体现一般原理与特殊情况的内在联系,在用三段论写推理过程时,关键是明确命题的大、小前提,而大、小前提在书写过程中是可以省略的.
跟踪训练1 将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)0.332是有理数;
(2)y=cosx(x∈R)是周期函数;
(3)Rt△ABC的内角和为180°.
解
(1)有限小数是有理数(大前提),0.332是有限小数(小前提),0.332是有理数(结论).
(2)三角函数是周期函数(大前提),函数y=cosx(x∈R)是三角函数(小前提),函数y=cosx(x∈R)是周期函数(结论).
(3)三角形内角和是180°(大前提),Rt△ABC是三角形(小前提),Rt△ABC的内角和为180°(结论).
题型二 演绎推理在证明数学问题中的应用
例2 在锐角三角形中,求证sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
证明 ∵在锐角三角形中,A+B>,
∴A>-B,∴0<-B<A<.
又∵在内,正弦函数是单调递增函数,
∴sinA>sin=cosB,
即sinA>cosB,①
同理sinB>cosC,②
sinC>cosA.③
以上①②③两端分别相加,有:
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
反思与感悟
(1)应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略.
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论,关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.
跟踪训练2
(1)设a>0,b>0,a+b=1,求证++≥8.
(2)求证:
函数f(x)=是定义域上的增函数.
证明
(1)∵a>0,b>0,a+b=1,
∴1=a+b≥2,
即≤,
∴≥4,
∴++=(a+b)+
≥2·2+≥4+4=8.
当且仅当a=b=时等号成立,
∴++≥8.
(2)函数定义域为R.
任取x1,x2∈R且x1<x2.
则f(x1)-f(x2)
.
∵x1<x2,
,
∴f(x1)-f(x2)<0.
∴f(x1)<f(x2).故f(x)为R上的增函数.
题型三 合情推理、演绎推理的综合应用
例3 如图所示,三棱锥ABCD的三条侧棱AB,AC,AD两两互相垂直,O为点A在底面BCD上的射影.
(1)求证:
O为△BCD的垂心;
(2)类比平面几何的勾股定理,猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系,并给出证明.
(1)证明 ∵AB⊥AD,AC⊥AD,AB∩AC=A,
∴AD⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC.
∴AD⊥BC,又∵AO⊥平面BCD,AO⊥BC,
∵AD∩AO=A,
∴BC⊥平面AOD,∴BC⊥DO,同理可证CD⊥BO,
∴O为△BCD的垂心.
(2)解 猜想:
S+S+S=S.
证明如下:
连接DO并延长交BC于E,连接AE,
由
(1)知AD⊥平面ABC,
AE⊂平面ABC,
∴AD⊥AE,又AO⊥ED,
∴AE2=EO·ED,
∴2=·,
即S=S△BOC·S△BCD.
同理可证:
S=S△COD·S△BCD,
S=S△BOD·S△BCD.
∴S+S+S=S△BCD·(S△BOC+S△COD+S△BOD)=S△BCD·S△BCD=S.
反思与感悟 合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法,而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).
跟踪训练3 已知命题:
“若数列{an}是等比数列,且an>0,则数列bn=(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?
并证明你的结论.
解 类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:
若数列{an}是等差数列,则数列bn=也是等差数列.
证明如下:
设等差数列{an}的公差为d,则bn===a1+(n-1),
所以数列{bn}是以a1为首项,为公差的等差数列.
三段论中因忽视大(小)前提致误
例4 已知a,b,c∈R+,且a,b,c不全相等,试比较++与a+b+c的大小.
错解 因为a,b,c∈R+,依基本不等式有
由三式相加得a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.①
又a2b2+b2c2≥2=2ab2c,
同理b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc,
三式相加得a2b2+b2c2+c2a2≥a2bc+ab2c+abc2.②
由①②得a4+b4+c4≥a2bc+ab2c+abc2,又a,b,c∈R+,
所以++≥a+b+c.
错因分析 以上过程忽视了小前提“a,b,c不全相等”,因此①②两式中均为“>”.
正解 ∵a,b,c∈R+,有
又a,b,c不全相等,故三式相加,得
a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2.③
又a2b2+b2c2≥2ab2c,
b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc,
且a,b,c不全相等,三式相加得
a2b2+b2c2+c2a2>a2bc+ab2c+abc2,④
由③④得a4+b4+c4>a2bc+ab2c+abc2,
∵a,b,c∈R+,
∴++>a+b+c.
防范措施 利用三段论推理时,正确使用大(小)前提,尤其注意数学中有关公式、定理、性质、法则的使用情形.
1.下列推理中是演绎推理的是( )
A.全等三角形的对应角相等,如果△ABC≌△A′B′C′,则∠A=∠A′
B.某校高三
(1)班有55人,
(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三各班的人数均超过50人
C.由平面内三角形的性质,推测空间中四面体的性质
D.在数列{an}中,a1=1,an=(n≥2),由此猜想出{an}的通项公式
答案 A
解析 B项是归纳推理,C项是类比推理,D项是归纳推理.故选A.
2.指数函数都是增函数,大前提
函数y=x是指数函数,小前提
所以函数y=x是增函数.结论
上述推理错误的原因是( )
A.大前提不正确
B.小前提不正确
C.推理形式不正确
D.大、小前提都不正确
答案 A
解析 大前提错误.因为指数函数y=ax(a>0,且a≠1)在a>1时是增函数,而在0<a<1时为减函数.故选A.
3.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2+x)=f(2-x),则f(x)的周期是________.
答案 8
解析 f(x+4)=f(x+2+2)=f(2-2-x)=f(-x)=-f(x),∴f(x+8)=f[4+(4+x)]=-f(x+4)=-[-f(x)]=f(x).∴T=8是它的周期.
4.设数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且满足2an+1+Sn=3(n∈N*),则满足<<的所有n的和为________.
答案 7
解析 由2an+1+Sn=3得2an+Sn-1=3(n≥2),两式相减,得2an+1-2an+an=0,化简得2an+1=an(n≥2),即=(n≥2),由已知求出a2=,易得=,所以数列{an}是首项为a1=,公比为q=的等比数列,所以Sn==3,S2n=3,代入<<,可得<n<,解得n=3或4,所以所有n的和为7.
5.设a,b,c为正实数,求证:
+++abc≥2.
证明 因为a,b,c为正实数,由基本不等式可得
++≥3,即++≥,
当且仅当a=b=c时取等号.
所以+++abc≥+abc.
而+abc≥2=2,当且仅当=abc,
即a=b=c=时取等号.
所以+++abc≥2,当且仅当a=b=c=时取等号.
数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的,三段论是由三个判断组成的,其中的两个为前提,另一个为结论.第一个判断是提供性质的一般判断,叫做大前提,通常是已知的公理、定理、定义等,第二个判断是和大前提有联系的特殊判断,叫做小前提,从而产生了第三个判断——结论.在推理论证的过程中,一个稍复杂一点的证明题经常要由几个三段论才能完成,而大前提通常省略不写,或者写在结论后面的括号内,小前提有时也可以省去,而采取某种简明的推理格式.
一、选择题
1.下列表述正确的是( )
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③B.②③④C.②④⑤D.①③⑤
答案 D
解析 根据归纳推理,演绎推理,类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确.
2.《论语·学路》篇中说:
“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( )
A.类比推理B.归纳推理
C.演绎推理D.一次三段论
答案 C
解析 这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次复式三段论,属演绎推理形式.
3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理( )
A.结论正确B.大前提不正确
C.小前提不正确D.全不正确
答案 C
解析 由于函数f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数.故小前提不正确.
4.“所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于( )
A.演绎推理B.类比推理
C.合情推理D.归纳推理
答案 A
解析 “所有金属都能导电”及“铁是金属”均为前提,得出“铁能导电”的结论,满足演绎推理的定义.
5.有一个“三段论”推理是这样的:
对于可导函数f(x),如果f′(x0)=0,那么x=x0是函数f(x)的极值点.因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.结论正确
答案 A
解析 可导函数在某点处的导数为0,不一定能得到函数的极值点,因此大前提错误.
6.已知三条不重合的直线m、n、l,两个不重合的平面α、β,有下列命题:
①若m∥n,n⊂α,则m∥α;
②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β;
③若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,n⊂β,n⊥m,则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 ①中,m还可能在平面α内,①错误;②正确;③中,m与n相交时才成立,③错误;④正确.故选B.
二、填空题
7.如图,将边长分别为1,2,3的正八边形叠放在一起,同一边上的相邻珠子之间的距离为1,若以此方式再放置边长为4,5,6,…,10的正八边形,则这10个正八边形镶嵌的珠子总数是________.
答案 341
解析 边长为1,2,3,…,10的正八边形叠放在一起,则各个正八边形上的珠子数分别为8,2×8,3×8,…,10×8,其中,有3个珠子被重复计算了10次,有2个珠子被重复计算了9次,有2个珠子被重复计算了8次,有2个珠子被重复计算了7次,有2个珠子被重复计算了6次,……,有2个珠子被重复计算了1次,故不同的珠子总数为(8+2×8+3×8+…+10×8)-(3×9+2×8+2×7+2×6+…+2×1)=440-=341,故所求总数为341.
8.在求函数y=的定义域时,第一步推理中大前提是当有意义时,a≥0;小前提是有意义;结论是________.
答案 y=的定义域是[4,+∞)
解析 由大前提知log2x-2≥0,解得x≥4.
9.三段论式推理是演绎推理的主要形式,“函数f(x)=2x+5的图象是一条直线”这个推理所省略的大前提是________________.
答案 一次函数的图象是一条直线
10.关于函数f(x)=lg(x≠0),有下列命题:
①其图象关于y轴对称;②当x>0时,f(x)是增函数;当x<0时,f(x)为减函数;③f(x)的最小值是lg2;④当-1
其中所有正确结论的序号是________.
答案 ①③④
解析 显然f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.
当x>0时,f(x)=lg=lg(x+).
设g(x)=x+,可知其在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,
∴f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
f(x)min=f
(1)=lg2.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-1,0)上是增函数.
三、解答题
11.设m为实数,利用三段论求证方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
证明 一元二次方程ax2+bx+c=0,若Δ=b2-4ac>0,则方程有两个相异实根.(大前提)
方程x2-2mx+m-1=0中,Δ=(-2m)2-4(m-1)=(2m-1)2+3>0,(小前提)
所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.(结论)
12.证明函数f(x)=x3+x在R上是增函数,并指出证明过程中运用的“三段论”.
证明 已知函数f(x),对于任意x1,x2∈D,若x1<x2,均有f(x1)<f(x2),则f(x)在区间D上是增函数.(大前提)
任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=(x+x1)-(x+x2)=x-x+(x1-x2)=(x1-x2)·(x+x+x1x2+1)
=(x1-x2).
∵x1<x2,∴x1-x2<0.
又∵2+x+1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),(小前提)
∴函数f(x)=x3+x在R上是增函数.(结论)
13.S为△ABC所在平面外一点,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.求证:
AB⊥BC.
证明 如图,作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC,
平面SAB∩平面SBC=SB,
AE⊂平面SAB.
∴AE⊥平面SBC.
又BC⊂平面SBC.
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC,
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE=A,SA⊂平面SAB,AE⊂平面SAB,
∴BC⊥平面SAB.
∵AB⊂平面SAB,∴AB⊥BC.
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