上海十年中考数学压轴题及答案解析.docx
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上海十年中考数学压轴题及答案解析
上海十年中考数学压轴题解析
2001年上海市数学中考
27.已知在梯形ABCD中,AD//BCADcBC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图8,P为AD上的一点,满足/
BPC=ZA.
BC
图8
1求证;△DPC
2求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点AD不重合),且满足/BPE=ZA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q那么
1当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQy,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
2当CE=1时,写出AP的长(不必写出解题过程).
27.
(1)①证明:
•••/ABP=180°—/A-ZAPB
中,AD//BCAB=CD•••/A=ZD.
②解:
设AP=x,则DP=5—x,
或4.
/DPC=180。
一/BPC-ZAPB
ABP^aDPC
由厶ABP^DPC得AB空
APDC'
AB
(2)①解:
类似
(1)①,易得△ABP^ADPQ.——
PD
②AP=2或AP=3—<5.
(题27是一道涉及动量与变量的考题,其中
(1)可看作
/BPC=ZA,aZABP=ZDPCv在梯形ABCD
5x
解得X1=1,X2=4,则AP的长为1
2
-x2-x2,1vxv4.
22
(2)的特例,故
(2)的推断与证明均可借鉴
(1)的思路.这
这是中学生学数学应具备的一种基本素质,世上的万
是一种从模仿到创造的过程,模仿即借鉴、套用,创造即灵活变化,事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区别,模仿的关键是发现联系,创造的关键是发现区别,并找到应付新问题的途径.)
上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试
27.操作:
将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终
经过点B,另一边与射线DC相交于点Q
探究:
设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?
试证明你观察得到结论;
(2)当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ勺面积为y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当点P在线段AC上滑动时,△PCC是否可能成为等腰三角形?
如果可能,指出所有能使厶PCC成为等腰三角形的点Q的位置,并求出相应的x的值;如果不可能,试说明理由.
五、(本大题只有1题,满分12分,
(1)、
(2)、(3)题均为4分)
27.
图1图2图3
(1分)
(1)解:
PQ=PB
证明如下:
过点P作M2BC分别交AB于点M交CD于点N,那么四边形AMN和四边形BCNh都是矩形,△AMP
和厶CNP都是等腰直角三角形(如图1).
•••NP=NC=MB(1分)
/BPQ90°,「./QPN■/BPM=90°.
而/BPM■/PBM=90°,「./QPI4ZPBM(1分)
又•••/QNP=ZPMB=90°,二△QNB^PMB(1分)
PQ=PB
(2)解法一
由(〔)△QNB^PMB得NQ=MP
[2
AP=x,•••AM=MP=NQ=DN=x,
2
[2
BM=PN=CN=1-x,
2
CQ=CD-DQ=1-2・-^x=1-2x.
2
得S,PB=1BC-BM=1x1x(1-_^x)
222
1分)
S
四边形
-CQPN=-x(1-2x)(1-」x)
222
1-3Zx+1x2
242
(1分)
PBChS^PBC^S,PCQ-x-'2x+1'
即y=—x—.2x+1(0wxv—).
22
分,1分)
解法二
作PT丄BC,T为垂足(如图2),那么四边形PTCh为正方形.
•PT=CB-PN
又/PN(=ZPTB-90°,PB-PQPBT^,PQN
S四边形PBC=S△四边形PBT+S四边形PTC=S四边形PTC+S\PQN
S
正方形PTCN
(2分)
2
=cN=
(1」
2=1x2-2x+1
2
y=1x2-2x+1(0wxv丄).
22
(1分)(3)△PCQ可能成为等腰三角
1当点P与点A重合,点Q与点D重合,这时PQ=QC△PCQ!
等腰三角形,
此时x=0(1分)
2当点Q在边DC的延长线上,且CP=CQ时,△PCC!
等腰三角形(如图3)
(1分)
解法
此时,QN=PM=
CP=.2-x,CN=
•CQ=QN-CN=
(1-
x)=、2x-1.
(1分)
当.2—x=2x—1时,得x=1.
1
解法二此时/CPQ=—/PCN=22.5°/APB=90°—22.5°=67.5°
2
/ABP=180°—(45°+67.5°=67.5°得/APB=ZABP
•••AP=AB=1,二x=1.(1分)
上海市2003年初中毕业高中招生统一考试
27.如图,在正方形ABCD中,AB=1,弧AC是点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧。
点E是边AD上的任意一点(点E
与点AD不重合),过E作弧AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点:
(1)当/DEF=45o时,求证:
点G为线段EF的中点;
(2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
5
(3)将厶DEF沿直线EF翻折后得厶D1EF,如图,当EF=时,讨论△A^D与厶E^F是否相似,如果相似,请加以证
6
明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写出理由。
■、E
*-扎
an
D
、
c
k?
B
c
{备用團J
(令凉・島)•所叔応=令嬉一(—-j-yz)*臂冈此户播大桥拱内宜际桥氏再剧厘xIIoooxo.tn2757?
=«3S5(4t>.1*-11J解*、k冋炜(或,当zA0时,A0*当mV。
时*『VI町证明=逐点
A的坐标沟{扫*时,点耳的伞标戈K*・0>,PI0 Jl足冇程妙*+fcH-r—O cia. —卢”TuKS*: r=+・即3=i.所以当etftor性册总展ca,o«4£的比供中颅时.」匸吒溯饵CuC3)解1当i——4Bf.由O如*工L十七——吕-—£-AD・-*-aAo.JW绘一JAB—Off—M——j| 宮旳* =%/<^i+ 解磋二■: 由: fffW在武+J7 £--C 4yr.w =4yj,: *™ uL遷37.{! )证駅: ・』上少F—4S**W^,DFE=30*—^LJKF■45^DFE : *AB—OB— ~上DFF.几PK"■nr..RVAfJ=fX^,/.A£7-FV.AAfiflLCTB的帘栋*8I/\B,ffilUAD切別耶于点Al冋理・C7DVJ趴]目于点。 又讯为厅尸切岡“于点GL庙以闵此EG-M7,IIP点<7为駁fftEF旳屮j(5L£巧MtVEC;—AK—jt50—CF—y(LA£D-]—j■”FZ>—1—>t在RtZkOEF申.由EDf+At? 1—t(1—壬尸+<1——2+y〉*+/.y— 林冷EF■寻M.rfi<2)W貯■Bt5+fl&=AE: +PC-±+卜轻一哥邯 xi■寺成巧一*叩AE■壬成AE■-务“ △ET>lF-诳購如下: 设直纯M叠皱段E>Dt于点H,如E扫気席銅脸,/\£L>F£ △EDiF,FF丄DO*且DH—DiH.VAK—-|.AJJ■1*柯AF■£UhA HJ护貝d.-'*上6AD—^FED—NF弹i>i,NAPpL>=—9Q'TXV NKThF=二也F—9o\真NRlF=ZAUiL>.A△/Id£fcoZ\ED*F,②出“h寺时^AOiC弓厶EDlF不相獄. 2004年上海市中考数学试卷 27、(2004? 上海)数学课上,老师提出: 如图,在平面直角坐标系中,0为坐标原点,A点的坐标为(1,0),点B在x轴上,且在点A的右侧,AB=OA过点A和B 作x轴的垂线,分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线0C交BD于点M直线CD交y轴于点H,记点CD的的横坐标分别为Xc、xd点H的纵坐标为丫川 同学发现两个结论: ①SacmdS梯形abm=2: 3②数值相等关系: xc? xd=-yH (1)请你验证结论①和结论②成立; (2)请你研究: 如果上述框中的条件A的坐标(1,0)”改为A的坐标(t,0)(t>0)”,其他条件不变,结论①是否仍成立(请说明理由); (3)进一步研究: 如果上述框中的条件A的坐标(1,0)”改为A的坐标(t,0)(t>0)”,又将条件y=x2”改为“=ax2(a>0)”,其他条件不变,那么xc、xd与yH有怎样的数值关系? (写出结果并说明理由) 考点: 二次函数综合题。 专题: 压轴题。 C点 D点的 分析: (1)可先根据AB=OA#出B点的坐标,然后根据抛物线的解析式和A,B的坐标得出C,D两点的坐标,再依据 的坐标求出直线OC的解析式•进而可求出M点的坐标,然后根据CD两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出 坐标,然后可根据这些点的坐标进行求解即可; (2)(3)的解法同 (1)完全一样. 解答: 解: (1)由已知可得点B的坐标为(2,0),点C坐标为(1,1),点D的坐标为(2,4), 由点C坐标为(1,1)易得直线OC的函数解析式为y=x, 故点M的坐标为(2,2), 所以S^CM=1,S梯形ABM=错误! 未找到引用源。 所以SacmdS梯形abm=2: 3, 即结论①成立. 设直线CD的函数解析式为y=kx+b, 则错误! 未找到引用源。 , 解得错误! 未找到引用源。 所以直线CD的函数解析式为y=3x-2. 由上述可得,点H的坐标为(0,-2),ynr-2 因为Xc? X[=2, 所以xc? xd=-yH, 即结论②成立; (2) (1)的结论仍然成立. 理由: 当A的坐标(t,0)(t>0)时,点B的坐标为(2t,0),点C坐标为(t,t2),点D的坐标为(2t,4t2),由点C坐标为(t,t2)易得直线OC的函数解析式为y=tx, 故点M的坐标为(2t,2t2), 所以SacM=t3,S梯形abm=错误! 未找到引用源。 t3. 所以SacmdS梯形abm=2: 3, 即结论①成立. 设直线CD的函数解析式为y=kx+b, 则错误! 未找到引用源。 ,解得错误! 未找到引用源。 所以直线CD的函数解析式为y=3tx-2t2; 由上述可得,点H的坐标为(0,-2t2),yHF-2t2 「,2 因为Xc? XD=2t, 所以xc? xd=-yH, 即结论②成立; 22 (3)由题意,当二次函数的解析式为y=ax(a>0),且点A坐标为(t,0)(t>0)时,点C坐标为(t,at),点D坐标 2 为(2t,4at), 设直线CD的解析式为y=kx+b, 则: 错误! 未找到引用源。 ,解得错误! 未找到引用源。 所以直线CD的函数解析式为y=3atx-2at2,则点H的坐标为(0,-2at2),yH=-2at2. 2 因为XC? XEF2t, 所以XC? XEF-错误! 未找到引用源。 yH. 点评: 本题主要考查了二次函数的应用、一次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象的交点等知识点. 2005年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷 1、(本题满分12分,每小题满分各为4分) 在厶ABC中,/ABC=90°,AB=4,BC=3,O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E,作EP丄ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F。 (1)如图8,求证: △AD0AAEP (2)设OA=X,AP=y,求y关于X的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当BF=1时,求线段AP的长. 图8 25.(1证明: 连结0D QAP切半圆于D,ODAPED90 又QODOE,ODEOED 90ODE90OED EDAPEA又QAA ADE: AEP (2)ODCB )OAAC OD33 OD3OD3xOE,同理可得: AD x55 QADE: AEP APAE AEAD (x0) 4 xy 642 x 25 16 (3)由题意可知存在三种情况 但当E在C点左侧时EF显然大于4所以不合舍去 5 当x5时APAB(如图) 4延长DO,BE交于H易证DHEDJE 6 HDx,QPBEPDH90 5 PFB: PHD 1PB PB2AP6 612 xx 55 P 5 当x-时P点在B点的右侧 4 延长DO,PE交于点H 同理可得DHEEJD PBF: PDH BP 12 x - BP2 AP422 F ti 2006 市初中毕业生统一学业考试数学试卷 分4分,第 (2)小题满分7分,第(3)小题满分3分) 已知点P在线段AB上,点0在线段AB的延长线上。 以点0为圆心,0P为半径作圆,点C是圆0上的一点。 如图9,如果AP=2PBPB=BO求证: △0心△BCO 2-(本题满分14分,第 (1)小 (i) (2)如果AP=m(m是常数,且m〉1),BP=1,OP是OA0B的比例中项。 当点C在圆0上运动时,求AC: BC的值(结 果用含m的式子表示); (3)在 (2)的条件下,讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系,并写出相应m的取值范围。 25. (1)证明: QAP AO P02 BO PO QPO CO,• AO C0c CO BO (2)解: 设OP x, 2x 2PBPBBOPO,AO2P0. (2分) (1分) /COA/BOC,△CAOBCO. (1分) 则OBx1,OAxm,QOP是OA,OB的比例中项, (1分) (1分) —,即OP OB m1 QOP是OA,OB的比例中项,即 (1分) QOPOC, OAOC OCOB OA OP OP OB, (1分) 设圆O与线段AB的延长线相交于点Q,当点C与点P,点Q不重合时, (1分) (1分) AC OC BC OB AC OC OP 当点C与点P或点Q重合时,可得 AC m; m, BC OB OB BC 当点C在圆 O上运动时, AC: BCm; (1分) Q/AOC/COB,△CAOBCO. (3)解: 由 (2)得,ACBC,且ACBCm1BCm1, ACBCm1BC,圆B和圆C的圆心距dBC, 显然BCm1BC,圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含. 当圆B与圆C相交时,m1BCBCm1BC,得0m2, Qm1,1m2;(1分) 当圆B与圆C内切时,m1BCBC,得m2;(1分) 当圆B与圆C内含时,BCm1BC,得m2. 2007年上海市初中毕业生统一学业考试 25.(本题满分14分,第 (1)小题满分4分,第 (2),(3)小题满分各5分) 已知: ZMAN60°,点B在射线AM上,AB4(如图10).P为直线AN上一动点,以BP为边作等边三角形BPQ (点B,P,Q按顺时针排列),O是厶BPQ的外心. (1)当点P在射线AN上运动时,求证: 点O在ZMAN的平分线上; (2)当点P在射线AN上运动(点 P与点 A不重合)时,AO与BP交于点C,设APx,ACgAOy,求y关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (3)若点D在射线AN上,AD 2,圆 IABD的内切圆•当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时,请直接写出 点A与点O的距离. 25.(1证明: 如图4,连结0B, OP, QO是等边三角形BPQ的外心, OBOP, 圆心角BOP360120o. 3 当0B不垂直于AM时,作 0H AM,0T AN,垂足分别为H,T. 由HOT AAHO ATO360°,且 A60°, AHO ATO90o, HOT120°. POT. BOH Rt△BOH也Rt△POT. OT.点O在MAN的平分线上. OH 当OB AM时,APO360oABOP OBA90°. 点O在 P在射线 MAN的平分线上. AN, N 即OP 综上所述,当点 图5 MAN的平分线上. AN上运动时,点O在 ACgAOABgAP.y4x. QAO平分 MAN,且 MAN 60o, BAO PAO30o . 1分 由 (1)知, OBOP, BOP 120o, CBO 30o,CBO PAC. QBCO PCA, AOB APC 1分 1分 △ABOACP.ABAOACAP. 定义域为: x0. (3)解: ①如图6,当BP与圆I相切时,AO2、、3; ②如图 BP与圆I相切时, AO I3; 2008年上海市中考数学试卷 25.(本题满分14分,第 (1)小题满分5分,第 (2)小题满分4分,第(3)小题满分5分) 已知AB2,AD4,DAB90°,AD//BC(如图13).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点. (1)设BEx,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长; (3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长. 11 ABgMH,得yx2(x0);(2分) 22 (1分) 25.解: (1)取AB中点H,联结MH, QM为DE的中点,MH//BE,MH 又QABBE,MHAB. SaABM A D B 备用图 C 1(BE AD). •(1分) (1分) (1分) (2)由已知得DE,(x4)222. Q以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切, MH-AB-DE,即-(x4)12(4x)222.(2分) 2222 44 解得x-,即线段BE的长为一;(1分) 33 (3)由已知,以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似, (1分) 又易证得DAMEBM 由此可知,另一对对应角相等有两种情况: ① ADNBEM: ②ADBBME. ①当ADNBEM时,QAD//BE, ADNDBE.DBEBEM DE,易得BE2AD.得BE8;QAD//BE,BEDMEB, DB ②当ADBBME时,DBEBME.又 DE ADBDBE. △BEDMEB. (2分) BE BE 丽,即 BE2 EMgDE,得 x2 2„22(x4)222(x4)2. 2,X2 10(舍去)•即线段 BE的长为2. (2分) 综上所述,所求线段 BE的长为8或2. 2009年上海市初中毕业统一学业考试 25.(本题满分14分,第 (1)小题满分4分,第 (2)小题满分5分,第(3)小题满分5分) PQad 已知ABC90°AB2,BC3,AD//BC,P为线段BD上的动点,点Q在射线AB上,且满足竺(如 PCAB 图8所示). (1)当AD2,且点Q与点B重合时(如图9所示),求线段PC的长; (2)在图8中,联结AP•当AD 3 -,且点Q在线段AB上时,设点B、Q之间的距离为x, 2 Saapq SAPBC y,其中Saapq 表示△APQ的面积,Sapbc表示△PBC的面积,求y关于x的函数解析式,并写出函数定义域; (3)当ADAB,且点Q在线段 AB的延长线上时(如图10所示),求QPC的大小. C C (2009年上海25题解析)解: (1)AD=2,且Q点与B点重合,根据题意,/PBC2PDA因为/A=90°PQ/PC=AD/AB=1, 所以: △PQC为等腰直角三角形,BC=3所以: PC=3/2, (2)如图: 添加辅助线,根据题意,两个三角形的面积可以分别表示成S1,S2,高分别是H,h, 则: S1=(2-x)H/2=(2*3/2)/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 S2=3*h/2
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