高考数学理名师揭秘之一轮总复习专题26+平面向量的概念及运算检测.docx
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高考数学理名师揭秘之一轮总复习专题26+平面向量的概念及运算检测
本专题特别注意:
1.向量加减的几何意义
2.向量共线的问题
3.零向量问题
4.向量夹角为锐角和钝角问题
5.基本定理的两条路径法表示向量
6.向量共线与三点共线的区别与联系
7.向量的模与夹角的运算及应用问题
8.平行与垂直问题
【学习目标】
1.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义;理解向量的几何表示.
2.掌握向量的加法、减法的运算,并理解其几何意义.
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
【方法总结】
1.向量线性运算技巧
(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时,在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时,应充分利用平面几何的一些基本定理.
(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内,以便运用平行四边形法则和三角形法则,涉及到线段比时,一方面考虑平行线定理,另一方面充分运用数乘运算的几何意义.
2.向量共线问题
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
高考模拟:
一、单选题
1.已知平面向量,则()
A.B.2C.D.3
【答案】C
【解析】分析:
首先根据向量的数乘以及向量的减法运算,求得对应向量的坐标,利用模的坐标公式求得结果.
详解:
因为平面向量,,则向量,
所以,故选C.
点睛:
该题考查的是有关向量的模的问题,在解题的过程中,需要应用向量的数乘以及减法运算公式,求得对应向量的坐标,之后应用模的坐标运算式求得结果.
2.设为向量,则“”是“”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】分析:
“”可得,由“”可得向量夹角为或,利用充分不必要的定义可得结果.
点睛:
判断充要条件应注意:
首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
3.已知向量,且,则()
A.B.C.D.5
【答案】B
【解析】分析:
首先应用向量共线时坐标所满足的关系,求得,从而可以求得,之后应用向量的模的坐标公式求得结果.
点睛:
该题考查的是有关向量模的求解问题,在解题的过程中,需要利用向量共线坐标所满足的条件,求得相关的参数的值,之后应用向量加法运费法则求得和向量的坐标,接着应用向量的模的坐标公式求得结果.
4.已知四个命题:
①如果向量与共线,则或;
②是的必要不充分条件;
③命题:
,的否定:
,;
④“指数函数是增函数,而是指数函数,所以是增函数”
此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.
以上命题正确的个数为()
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】①错,如果向量与共线,则;
②是的必要不充分条件;正确,由可以得到,但由不能得到
,如;
③命题:
,的否定:
,;
正确
④“指数函数是增函数,而是指数函数,所以是增函数”
此三段论大前提错误,但推理形式是正确的.,正确.
故选D.
5.两个单位向量,的夹角为,则()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】两个单位向量,的夹角为,则
代入得到.
故答案为:
.
6.已知,是两个单位向量,则的最大值为()
A.B.C.D.
【答案】A
点睛:
本题的难点在于解题思路的找寻,对于这个最值,一般利用函数的思想,先建立的三角函数,进而研究函数的最值.
7.若向量、满足、,,则与的夹角为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】试题分析:
因为,,所以,,即,
所以,又,故与的夹角为,
选.
考点:
平面向量的数量积、模、夹角.
8.已知向量,满足,,若且(,),则的最小值为()
A.1B.C.D.
【答案】D
点睛:
本题考查向量的基本运算,向量模的求法,基本不等式的应用,考查计算能力.解题时二次函数的配方是解题的关键
9.已知是互相垂直的两个单位向量,,,则
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
本题选择B选项.
10.设平面向量满足,且,则的最大值为()
A.2B.3C.D.
【答案】C
【解析】设,
∵,且,
∴.
∵,当且仅当与共线同向时等号成立,
∴的最大值为.选C.
点睛:
由于向量,且,因此向量确定,这是解题的基础也是关键.然后在此基础上根据向量模的三角不等式可得的范围,解题时要注意等号成立的条件.
11.四边形中,,且,则四边形是()
A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形
【答案】C
12.下列命题正确个数为的是()
①对于任意向量、、,若∥,∥,则∥
②若向量与同向,且︳︳>︳︳,则>
③
④向量与是共线向量,则A、B、C、D四点一定共线
A.4个B.3个C.2个D.0个
【答案】D
【解析】对于①,若,则不能得出,①错;对于②,向量不能比较大小,所以②错;对于③,表示与共线的向量,表示与共线的向量,所以与不一定相等,③错;对于④,与是共线向量,等价于,A、B、C、D四点不一定共线,所以④错,正确个数为0个,选D.
点睛:
本题主要考查向量中的有关概念,属于易错题。
解答本题的关键是熟练掌握向量中的相关概念、性质等。
13.如图,以为直径在正方形内部作半圆,为半圆上与不重合的一动点,下面关于的说法正确的是()
A.无最大值,但有最小值
B.既有最大值,又有最小值
C.有最大值,但无最小值
D.既无最大值,又无最小值
【答案】A
【解析】设正方形的边长为2,如图建立平面直角坐标系,
点睛:
本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系的方法,引入三角函数来解决使得思路清晰,计算简便,遇见正方形,圆,等边三角形,直角三角形等特殊图形常用建系的方法.
14.下列命题正确的是()
A.与,与共线,则与也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量与不共线,则与都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
【答案】C
15.已知向量与的夹角为,,,,,在时取最小值,当时,的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】解:
建立如图所示的平面直角坐标系,则由题意有:
,
由向量关系可得:
,
则:
,
整理可得:
,
满足题意时:
,
据此可得三角不等式:
,
解得:
,即的取值范围是.
本题选择D选项.
点睛:
求两个向量的数量积有三种方法:
利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
16.下列命题中:
①∥存在唯一的实数,使得;
②为单位向量,且∥,则;
③;
④与共线,与共线,则与共线;
⑤若
正确命题的序号是()
A.①⑤B.②③C.②③④D.①④⑤
【答案】B
【解析】分析:
逐一分析判断即得正确答案.
点睛:
(1)本题主要考查平面向量的基本概念和性质定理,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和辨别能力.
(2)本题的几个命题是典型的易错题,要理解掌握.如:
∥存在唯一的实数,使得;与共线,与共线,则与共线;若.
17.给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
③(为实数),则必为零.
④为实数,若,则与共线.
其中正确的命题的个数为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
18.对于非零向量,下列命题正确的是()
A.若,则
B.若,则在上的投影为
C.若,则
D.若,则
【答案】C
【解析】A.:
若,,时,不一定有,故A错误
B:
可得在上的投影为或,故B错误;
C:
由,可得从而有,故C正确
D:
由不一定成立,故D错误
故选C
19.设都是非零向量,下列四个条件中,一定能使成立的是( )
A.B.//C.D.
【答案】D
20.在以下关于向量的命题中,不正确的是()
A.若向量,向量,则
B.若四边形ABCD为菱形,则
C.点是ΔABC的重心,则
D.ΔABC中,和的夹角等于
【答案】D
【解析】ΔABC中,和的夹角等于的补角,D的说法是错误的.
本题选择D选项.
二、填空题
21.已知向量,,其中,且与共线,则当取最小值时,为__________.
【答案】
【解析】由向量共线的充要条件得
则
当且仅当时,取等号,此时,
则
22.已知向量,若(为实数),则_______.
【答案】
23.若,则__________.
【答案】
【解析】如图所示,由可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点,则
结合题意可得:
.
24.如图所示,已知,由射线和射线及线段构成如图所示的阴影区(不含边界).
(1)若为中点,______(用,表示)
(2)已知下列四个向量:
①;②;
③;④.
对于点,,,,落在阴影区域内(不含边界)的点有_____(把所有符合条件点都填
上)
【答案】
25.已知向量,,,则_________.
【答案】
【解析】由,得,
由,平方得,
因为,所以,
有,解得
26.已知,,,若向量满足,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】易知,由得,
所以或,由此可得的取值范围是.
27.在平面直角坐标系中,已知为坐标原点,,,,若动点,则的最大值为______.
【答案】
点睛:
本题主要考查了平面向量的线性运算及其运用,综合了圆上点与定点之间的距离最大值,先给出动点的轨迹方程,再表示出向量的坐标结果,依据其几何意义计算求得结果,本题方法不唯一,还可以直接计算含有三角函数的最值
28.已知向量的夹角为,若,则___________。
【答案】3
【解析】由题意可得:
,
整理可得:
,
据此可得:
.
29.已知,,且,若点P满足,则的取值范围为______.
【答案】
30.在锐角中,,,则__________.
【答案】3
【解析】由题设可得,即,也即,则,故,应填答案。
.
31.如图,在中,为线段上的一点,,且,则_______,_______.
【答案】
【解析】由题意,结合图形,根据平面向量的运算法则,由,得,即,所以,.
32.①若与为非零向量,且时,则必与或中之一的方向相同;
②若为单位向量,且,则;
③;
④若与共线,与共线,则与必共线;
⑤若平面内有四个点,则必有.
上述命题正确的有______.(填序号)
【答案】⑤
点睛:
此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识与技能,属于中低档题,也是平面向量的基础知识点.在此问题中,针对每个命题的条件与结论,逐一对照平面向量相关的知识,进行运算、判断
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- 高考 学理 名师 揭秘 一轮 复习 专题 26 平面 向量 概念 运算 检测