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初三数学知识点
初三数学知识点
第一章二次根式
1二次根式:
形如
(
)的式子为二次根式;
性质:
(
)是一个非负数;
;
。
2二次根式的乘除:
;
。
3二次根式的加减:
二次根式加减时,先将二次根式华为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。
4海伦-秦九韶公式:
,S是三角形的面积,p为
。
第二章一元二次方程
1一元二次方程:
等号两边都是整式,且只有一个未知数,未知数的最高次是2的方程。
2一元二次方程的解法
配方法:
将方程的一边配成完全平方式,然后两边开方;
公式法:
因式分解法:
左边是两个因式的乘积,右边为零。
3一元二次方程在实际问题中的应用
4韦达定理:
设
是方程
的两个根,那么有
第三章旋转
1图形的旋转
旋转:
一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换
性质:
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角
旋转前后的图形全等。
2中心对称:
一个图形绕一个点旋转180度,和另一个图形重合,则两个图形关于这个点中心对称;
中心对称图形:
一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合,则说这个图形是中心对称图形;
3关于原点对称的点的坐标
第四章圆
1圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义
2垂直于弦的直径
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;
垂直于弦的直径平分弦,并且平方弦所对的两条弧;
平分弦的直径垂直弦,并且平分弦所对的两条弧。
3弧、弦、圆心角
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
4圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径。
5点和圆的位置关系
点在圆外
点在圆上d=r
点在圆内d 定理: 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 三角形的外接圆: 经过三角形的三个顶点的圆,外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。 6直线和圆的位置关系 相交d 相切d=r 相离d>r 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径; 切线的判定定理: 经过圆的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 三角形的内切圆: 和三角形各边都相切的圆为它的内切圆,圆心是三角形的三条角平分线的交点,为三角形的内心。 7圆和圆的位置关系 外离d>R+r 外切d=R+r 相交R-r 内切d=R-r 内含d 8正多边形和圆 正多边形的中心: 外接圆的圆心正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 没边所对的圆心角正多边形的边心距: 中心到一边的距离 9弧长和扇形面积 弧长 扇形面积: 10圆锥的侧面积和全面积 侧面积: 全面积 11(附加)相交弦定理、切割线定理 第五章概率初步 1概率意义: 在大量重复试验中,事件A发生的频率 稳定在某个常数p附近,则常数p叫做事件A的概率。 2用列举法求概率 一般的,在一次试验中,有n中可能的结果,并且它们发生的概率相等,事件A包含其中的m中结果,那么事件A发生的概率就是p(A)= 3用频率去估计概率 下册 第六章二次函数 1二次函数 = a>0,开口向上;a<0,开口向下; 对称轴: ; 顶点坐标: ; 图像的平移可以参照顶点的平移。 2用函数观点看一元二次方程 3二次函数与实际问题 第七章相似 1图形的相似 相似多边形的对应边的比值相等,对应角相等; 两个多边形的对应角相等,对应边的比值也相等,那么这两个多边形相似; 相似比: 相似多边形对应边的比值。 2相似三角形 判定: 平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形和原三角形相似; 如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似; 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么两个三角形相似; 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么两个三角形相似。 3相似三角形的周长和面积 相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比; 相似三角形(多边形)的面积的比等于相似比的平方。 4位似 位似图形: 两个多边形相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,这样的两个图形叫位似图形,相交的点叫位似中心。 第八章锐角三角函数 1锐角三角函数: 正弦、余弦、正切; 2解直角三角形 第九章投影和视图 1投影: 平行投影、中心投影、正投影 2三视图: 俯视图、主视图、左视图。 3三视图的画法 初三数学知识点 一、《一元二次方程》 1.一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、c;其中a、b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式. 2.一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用,其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少. 3.一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0(a≠0)时,Δ=b2-4ac叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题: Δ>0<=>有两个不等的实根;Δ=0<=>有两个相等的实根; Δ<0<=>无实根;Δ≥0<=>有两个实根(等或不等). 4.一元二次方程的根系关系: 当ax2+bx+c=0(a≠0)时,如Δ≥0,有下列公式: ※5.当ax2+bx+c=0(a≠0)时,有以下等价命题: (以下等价关系要求会用公式 ;Δ=b2-4ac分析,不要求背记) (1)两根互为相反数 =0且Δ≥0b=0且Δ≥0; (2)两根互为倒数 =1且Δ≥0a=c且Δ≥0; (3)只有一个零根 =0且 ≠0c=0且b≠0; (4)有两个零根 =0且 =0c=0且b=0; (5)至少有一个零根 =0c=0; (6)两根异号 <0a、c异号; (7)两根异号,正根绝对值大于负根绝对值 <0且 >0a、c异号且a、b异号; (8)两根异号,负根绝对值大于正根绝对值 <0且 <0a、c异号且a、b同号; (9)有两个正根 >0, >0且Δ≥0a、c同号,a、b异号且Δ≥0; (10)有两个负根 >0, <0且Δ≥0a、c同号,a、b同号且Δ≥0. 6.求根法因式分解二次三项式公式: 注意: 当Δ<0时,二次三项式在实数范围内不能分解. ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)或ax2+bx+c= . 7.求一元二次方程的公式: x2-(x1+x2)x+x1x2=0.注意: 所求出方程的系数应化为整数. 8.平均增长率问题--------应用题的类型题之一(设增长率为x): (1)第一年为a,第二年为a(1+x),第三年为a(1+x)2. (2)常利用以下相等关系列方程: 第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和. 9.分式方程的解法: 10.二元二次方程组的解法: ※11.几个常见转化: ; ; 二、《圆》 几何A级概念: (要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明) 1.垂径定理及推论: 如图: 有五个元素,“知二可推三”;需记忆其中四个定理, 即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例: ∵CD过圆心 ∵CD⊥AB 2.平行线夹弧定理: 圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例: 3.“角、弦、弧、距”定理: (同圆或等圆中) “等角对等弦”;“等弦对等角”; “等角对等弧”;“等弧对等角”; “等弧对等弦”;“等弦对等(优,劣)弧”; “等弦对等弦心距”;“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例: (1)∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD (2)∵AB=CD ∴∠AOB=∠COD 4.圆周角定理及推论: (1)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半; (2)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;(如图) (3)“等弧对等角”“等角对等弧”; (4)“直径对直角”“直角对直径”;(如图) (5)如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图) (1) (2)(3)(4) 几何表达式举例: (1)∵∠ACB= ∠AOB ∴…………… (2)∵AB是直径 ∴∠ACB=90° (3)∵∠ACB=90° ∴AB是直径 (4)∵CD=AD=BD ∴ΔABC是RtΔ 5.圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例: ∵ABCD是圆内接四边形 ∴∠CDE=∠ABC ∠C+∠A=180° 6.切线的判定与性质定理: 如图: 有三个元素,“知二可推一”; 需记忆其中四个定理. (1)经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线; (2)圆的切线垂直于经过切点的半径; ※(3)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; ※(4)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例: (1)∵OC是半径 ∵OC⊥AB ∴AB是切线 (2)∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB (3)…………… 7.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等;圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例: ∵PA、PB是切线 ∴PA=PB ∵PO过圆心 ∴∠APO=∠BPO 8.弦切角定理及其推论: (1)弦切角等于它所夹的弧对的圆周角; (2)如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等;(如图) (3)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.(如图) (1) (2) 几何表达式举例: (1)∵BD是切线,BC是弦 ∴∠CBD=∠CAB (2) ∵ED,BC是切线 ∴∠CBA=∠DEF 9.相交弦定理及其推论: (1)圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等; (2)如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. (1) (2) 几何表达式举例: (1)∵PA·PB=PC·PD ∴……… (2)∵AB是直径 ∵PC⊥AB ∴PC2=PA·PB 10.切割线定理及其推论: (1)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项; (2)从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. (1) (2) 几何表达式举例: (1)∵PC是切线, P
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