实验三非线性回归分析.docx
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实验三非线性回归分析
实验三非线性回归分析(2学时)
一、实验目的
(1)、掌握非线性回归分析的基本步骤;
(2)、熟练用MATLAB软件实现可线性化的回归分析及曲线回归分析。
二、实验学时:
2学时
三、实验要求
(1)掌握用MATLAB软件实现可线性化的回归分析及曲线回归分析;
(2)掌握非线性回归分析的基本步骤。
四、实验原理
1、常见的可线性化模型
(1)双对数模型
(2).半对数模型
①对数-线性模型:
②线性-对数模型:
(3).倒数模型
①
②
(4)逻辑(logistic)成长曲线模型
(5)龚伯斯(Gompertz)成长曲线模型
(6)多项式模型
①一元二次多项式模型:
②一元三次多项式模型:
③二元二次多项式模型:
2、不可线性化模型(即曲线回归模型):
其中f为非线性的,并且模型不可线性化。
一般使用非线性最小二乘估计方法,并用Newton迭代求解其中的正规方程组。
五、实验举例
例1、对GDP(国内生产总值)的拟合。
选取GDP指标为因变量,单位为亿元,拟合GDP关于时间t的趋势曲线。
以1981年为基准年,取值为t=1,1998年t=18,1991-1998年的数据如下:
年份t
GDP
年份t
GDP
1
4862.4
10
18547.9
2
5294.7
11
21617.8
3
5934.5
12
26638.1
4
7171
13
34634.4
5
8964.4
14
46759.4
6
10202.2
15
58478.1
7
11962.5
16
67884.6
8
14928.3
17
74462.6
9
16909.2
18
79395.7
解:
第一步:
一元线性回归模型
(一)程序如下:
建立test3_1_1.m文件如下(具体注释见m文件):
%%%%%%%%作时间t与GDP(y)的回归分析
[data,head]=xlsread('test3_1.xlsx');%导入数据
t=data(:
1);%提取年份t
y=data(:
2);%国内生产总值
plot(t,y,'k.');%画y与t的散点图
xlabel('年序号(t)')
ylabel('GDP(y)')
%调用robustfit函数作稳健回归,返回系数的估计值b和相关统计量stats[b,stats]=robustfit(t,y)
stats.p
%%%%%%绘制残差与权重的散点图%%%%%%%%%%%%%%%
figure;
plot(stats.resid,stats.w,'o')%绘制残差与权重的散点图
xlabel('残差')
ylabel('权重')
%%%%%%%画robustfit函数对应的回归直线%%%%%%%%%%%%%
tdata=[ones(size(t,1),1),t];%在原始数据t的左边加一列1
yhat=tdata*b;%求robustfit函数对应的y的估计值
figure;
plot(t,y,'ko')%画原始数据散点
holdon
plot(t,yhat,'r--','linewidth',2)%画robustfit函数对应的回归直线,红色虚线
xlabel('年序号(t)')
ylabel('GDP(y)')
(二)实验结果与分析:
(1)散点图
图3.1年序号t与GDP(y)的散点图
从散点图可以看出t与y的线性趋势并不明显,但可以考虑进行一元线性回归。
(2)调用robustfit函数作稳健回归,返回系数的估计值b和相关统计量stats的P值
‘系数的估计值’P值
1.0e+04*
-1.34100.0227
0.44140.0000
稳健回归得出的回归方程为
。
常数项和回归系数的t检验的p值只有一个小于显著性水平0.0001,可知线性关系是不显著的。
(3)下面作出残差向量和权重向量的散点图,从直观上了解残差和权重的关系。
图3.2残差和权重的散点图
从图3.2可以看出残差绝对值越大,其权重就越小,残差为零时,相应的权重为1,这就保证了拟合的稳健性。
此处残差的数量级为
,从而残差绝对值太大,可知明显拟合效果不好。
下面作出拟合效果图,如图3.3所示。
图3.3原始数据散点与回归直线图
从上图可知:
拟合效果明显很不好。
原始数据点偏离回归直线距离太大。
下面进行复合函数模型的拟合,并进行拟合效果比较。
第二步:
作复合函数模型
(1)散点图:
图3.4年序号t与GDP(lny)的散点图
从图3.4的散点图表明年序号t与lny的线性趋势比图3.1的线性趋势明显。
(2)调用robustfit函数作稳健回归,返回系数的估计值b和相关统计量stats的P值
'系数的估计值''检验的P值'
8.18961.0e-16*
0.17560.0000
0.9250
稳健回归得出的回归方程为
。
常数项和回归系数的t检验的p值分别为0,
,均小于显著性水平0.0001,可知线性关系是极显著的。
(2)绘制残差与权重的散点图
图3.5残差与权重的散点图
与图3.2相比较,从图3.5可知残差绝对值显著减小,残差的数量级为
,并且权重集中在1附近的点比之前多。
这说明拟合的稳健性显著加强。
(3)回归直线与总结
图3.6原始数据散点与回归直线图(lny)
从上图可知:
此次拟合效果是显著的。
总结:
线性回归方程:
p>0.0001
复合函数回归方程:
即
p<0.0001
所以由t检验的p值,再结合回归直线图知:
复合函数模型比线性回归模型要好。
例2、一位药物学家是用下面的非线性模型对药物反应拟合回归模型
其中,自变量x为药剂量,用级别表示;因变量y为药物反应程度,用百分数表示。
三个参数c0,c1,c2都是非负的,c0的上限是100%,三个参数的初始值取为c0=100,c1=5,c2=4.8.测得9个数据如下表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y(%)
0.5
2.3
3.4
24
54.7
82.1
94.8
96.2
96.4
解:
(一)程序如下:
x=[1:
9];
y=[0.52.33.42454.782.194.896.296.4];
plot(x,y,'k.')
xlabel('药剂量(x)')
ylabel('药物反应程度(y)')
options=statset;
options.Robust='on';
%%%%%调用nlinfit函数作非线性回归
[beta,r,J,COVB,mse]=nlinfit(x,y,fun1,[100,5,4.8],options);
beta%查看未知参数估计值
mse%查看均方残差平方和(误差方差
的估计)
mse
%求参数估计值的95%置信区间
ci1=nlparci(beta,r,'covar',COVB,'alpha',0.05)
%%%%%绘制robustfit函数对应的回归直线
plot(x,yhat,'linewidth',3)
xlabel('药剂量(x)')
ylabel('药物反应程度(y)')
legend('原始数据散点','非线性回归曲线','location','northwest')
(二)实验结果与分析:
(1)散点图
图3.7药剂量(x)与药物反应程度(y)的散点图
(2)回归模型与误差方差
的估计
参数C0C1C2误差方差
的估计
99.50546.77014.79873.8895
由上述可得非线性回归模型为
。
误差方差
的估计mse=3.8895,这个数还是非常小的,拟合效果还是很好的。
(3)非线性回归曲线
图3.8原始数据散点与非线性回归曲线
从上图可以看出拟合效果还是很不错的。
但非线性回归,不能像线性回归那样对回归方程作显著性检验。
所以,非线性回归模型为
对该药物反应拟合回归模型是合理的。
六、实验内容
Logistic回归函数常用于拟合某种消费品的拥有率,下表是北京市每百户家庭平均拥有的照相机数,试针对以下两种拟合Logistic回归函数:
(1)已知u=100,用线性化方法拟合;
(2)u未知,用非线性最小化方法拟合。
年份
t
y
年份
t
y
1978
1
7.5
1988
11
59.6
1979
2
9.8
1989
12
62.2
1980
3
11.4
1990
13
66.5
1981
4
13.3
1991
14
72.7
1982
5
17.2
1992
15
77.2
1983
6
20.6
1993
16
82.4
1984
7
29.1
1994
17
85.4
1985
8
34.6
1995
18
86.8
1986
9
47.4
1996
19
87.2
1987
10
55.5
七、思考练习
某种商品的流通率y(%)与销售额x之间呈双曲线函数模型:
对9个商店该种商品的销售额与流通率的统计资料如下所示。
商店编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
销售额(万元)
1.5
4.5
7.5
10.5
15.5
16.5
19.5
22.5
25.5
流通费率y(%)
7.0
4.8
3.6
3.1
2.7
2.5
2.4
2.3
2.2
八、参考文献
[1].李宝仁.计量经济学[M].机械工业出版社,2007.12
[2].何晓群.应用回归分析[M].中国人民大学出版,2002.9
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- 实验 非线性 回归 分析