高考数学文科总复习专题1集合与常用逻辑用语练习题.docx
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高考数学文科总复习专题1集合与常用逻辑用语练习题
高考数学(文科)总复习专题1集合与常用逻辑用语练习题
第一练集合的关系与运算
[基础保分练]
1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=________.
2.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B=________.
3.已知集合A={1,a2},B={-1,1,4},且A⊆B,则正整数a=________.
4.已知全集U={1,2,3,4,5},M={3,4,5},N={2,3},则(∁UN)∩M=________.
5.已知集合A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B=________.
6.已知集合A={1,3,4,7},B={x|x=2k+1,k∈A},则集合A∪B中元素的个数为________.
7.设集合A={x||x-2|≤2},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则A∩B=________.
8.已知集合A={x|-1≤x<2},B={x|x 9.设集合M={x|x=2k+1,k∈Z},N={x|x=k+2,k∈Z},则下列说法正确的是________.(填序号) ①M=N;②M⊆N;③N⊆M;④M∩N=∅. 10.已知集合A={x|0 [能力提升练] 1.已知全集U=R,集合A={x|-3≤x≤4},集合B={x|a+1 2.已知集合A={0,1,2,3},B={x∈N|0≤x≤2},则A∩B的子集个数为________. 3.设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是________. 4.已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|log3(x+2)<1},则A∩B=________. 5.已知含有三个实数的集合既可表示成 ,又可表示成{a2,a+b,0},则a2017+b2017=________. 6.给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论: ①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合. 其中正确结论的序号是________. 答案精析 基础保分练 1.{0,2} 2.{0,2,4} 3.2 4.{4,5} 5.{-2,-1} 6.6 7.{0} 解析 求解绝对值不等式|x-2|≤2可得A={x|0≤x≤4}, 求解函数y=-x2,-1≤x≤2的值域可得B={y|-4≤y≤0}, 由交集的定义可知A∩B={0}. 8.(-1,+∞) 解析 因为A={x|-1≤x<2}, B={x|x 作出图形如下: 所以a>-1. 9.② 10. 解析 由题意得A∪B={x|-1 又(A∪B)⊆C,集合C={x|mx+1>0}, 当m<0时,x<- ,∴- ≥2, 即m≥- , ∴- ≤m<0; 当m=0时,C=R,(A∪B)⊆C成立; 当m>0时,x>- ,∴- ≤-1, 即m≤1, ∴0 综上,m的取值范围为 . 能力提升练 1.a≥3或a≤2 解析 当B≠∅时, ∵B={x|a+1 且A⊆∁UB, 由2a-1>a+1, 解得a>2,∁UB={x|x≤a+1, 或x≥2a-1}, ∴ 或 解得a≥3或a∈∅. 此时实数a的取值范围为a≥3. 当B=∅时,∁UB=R,满足A⊆∁UB, ∴a+1≥2a-1,解得a≤2. 综上可得,实数a的取值范围为a≥3或a≤2. 2.8 3.{4} 4.{x|-2 解析 解不等式x2-3x+2≥0,得x≤1或x≥2,则A={x|x≤1或x≥2},解不等式log3(x+2)<1,得-2 5.-1 解析 依据集合相等的条件可得 解得 或 (舍去), 所以a2017+b2017=-1. 6.② 解析 ①中,-4+(-2)=-6∉A, 所以①不正确;②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n= k,k∈Z}, 则A1,A2为闭集合,但3k+ k∉(A1∪A2),故A1∪A2不是闭集合,所以③不正确. 第2练命题及充要条件 [基础保分练] 1.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,则s是p的________.(填“原命题”“逆命题”“否命题”“逆否命题”) 2.下列语句中是命题的个数为________. ①若x∈R,则x2+4x+7>0;②小明有可能生病了; ③6+1=5;④垂直于同一条直线的两直线一定平行吗? 3.已知命题“綈p或綈q”是假命题,有下列结论: ①命题“p且q”是真命题; ②命题“p且q”是假命题; ③命题“p或q”是真命题; ④命题“p或q”是假命题. 其中正确的是________.(只填序号) 4.已知直线l1: mx+y+1=0,l2: (m-3)x+2y-1=0,则“m=1”是“l1⊥l2”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 5.下列有关命题的说法错误的是________.(填序号) ①若“p∨q”为假命题,则p与q均为假命题; ②“x=1”是“x≥1”的充分不必要条件; ③若p: ∃x∈R,x2≥0,则綈p: ∀x∈R,x2<0; ④“sinx= ”的必要不充分条件是“x= ”. 6.已知x∈R,则“|x-1|<2成立”是“ <0成立”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 7.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 8.下列说法中正确的个数是________. ①若命题p: ∃x∈R,x2-x≤0,则綈p: ∃x∈R,x2-x>0; ②命题“在△ABC中,A>30°,则sinA> ”的逆否命题为真命题; ③设{an}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的充要条件; ④若统计数据x1,x2,…,xn的方差为1,则2x1,2x2,…,2xn的方差为2. 9.已知α: x≥a,β: |x-1|<1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________. 10.给出以下四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) [能力提升练] 1.命题“若x2<1,则-1 2.下列说法错误的是____________.(填序号) ①如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题; ②命题p: ∃x∈R,x2-2x+4<0,则綈p: ∀x∈R,x2-2x+4≥0; ③命题“若a=0,则ab=0”的否命题是: “若a≠0,则ab≠0”; ④存在性命题“∃x∈R,使-2x2+x-4=0”是真命题. 3.原命题为“a,b为两个实数,若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是________.(填序号) ①逆命题为“a,b为两个实数,若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,为假命题; ②否命题为“a,b为两个实数,若a+b<2,则a,b都小于1”,为假命题; ③逆否命题为“a,b为两个实数,若a,b都小于1,则a+b<2”,为真命题; ④已知a,b为两个实数,“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件. 4.“sinx=cosx+1”是“tan =1”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 5.设a,b都是不等于1的正数,则“a>b>1”是“loga3 6.已知“命题p: (x-m)2>3(x-m)”是“命题q: x2+3x-4<0成立”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为______________. 答案精析 基础保分练 1.逆否命题 2.2 3.①③ 4.充分不必要 5.④ 6.必要不充分 7.充要 解析 由|a-3b|=|3a+b|,得(a-3b)2=(3a+b)2, 即a2+9b2-6a·b=9a2+b2+6a·b. 又a,b均为单位向量,所以a2=b2=1, 所以a·b=0,能推出a⊥b. 由a⊥b得|a-3b|= , |3a+b|= , 能推出|a-3b|=|3a+b|. 所以“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充要条件. 8.0 解析 ①中,由存在性命题的否定为全称命题知“∃x∈R,x2-x≤0”的否定为“∀x∈R,x2-x>0”,故①错误;②中,命题“在△ABC中,A>30°,则sinA> ”是假命题,如A=150°时,sinA= , 所以其逆否命题也是假命题,故②错误;③中,当q>1,a1<0时,数列{an}是递减数列,故③错误;④中,若x1,x2,…,xn的方差为1,则2x1,2x2,…,2xn的方差为4,故④错误. 9.(-∞,0] 10.①③ 解析 ①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=-1, b=-3,故④为假命题. 能力提升练 1.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 2.④ 解析 由题意,①中,如果命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题,则p是假命题,q是真命题,所以是正确的;②中,根据全称命题与存在性命题的关系,可知命题p: ∃x∈R,x2-2x+4<0的否定为綈p: ∀x∈R,x2-2x+4≥0,所以是正确的;③中,根据四种命题的概念,可知命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”,所以是正确的;④中,因为判别式Δ=1-4×(-2)×(-4)=1-32=-31<0,所以方程-2x2+x-4=0无解, 所以不正确,故答案填④. 3.④ 解析 原命题的逆命题为“a,b为两个实数,若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,当a=1.5,b=0时,a+b≥2不成立,即逆命题为假命题;否命题为“a,b为两个实数,若a+b<2,则a,b都小于1”,显然为假命题;逆否命题为“a,b为两个实数,若a,b都小于1,则a+b<2”,显然为真命题,故原命题也为真,可得“a+b≥2”是“a,b中至少有一个不小于1”的充分不必要条件. 4.必要不充分 解析 当x=π时,sinx=0,cosx=-1, 满足sinx=cosx+1,此时tan 不存在, 则充分性不成立; 若tan =1,则 =kπ+ (k∈Z), 据此可得x=2kπ+ (k∈Z), 此时sinx=1,cosx=0,满足sinx =cosx+1,即必要性成立, 综上可得“sinx=cosx+1”是“tan =1”的必要不充分条件. 5.充分不必要 解析 若a>b>1,则loga3 ,b=3时,loga3 6.(-∞,-7]∪[1,+∞) 解析 由命题p中的不等式(x-m)2>3(x-m)变形,得(x-m)(x-m-3)>0,解得x>m+3或x 第3练逻辑联结词、量词 [基础保分练] 1.给定两个命题p,q,“綈(p∨q)为假”是“p∧q为真”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 2.命题p: ∃x∈R,x2+2x+2≤0,则綈p为________________. 3.已知命题p: 若x>y,则x2>y2,命题q: 若x>y,则x3>y3.给出下列命题: ①p且q;②p或q;③綈p;④綈q.其中真命题是________.(填序号) 4.给出下列三个命题: p1: 函数y=ax+x(a>0,且a≠1)在R上为增函数; p2: ∃a,b∈R,a2-ab+b2<0; p3: cosα=cosβ成立的一个充分不必要条件是α=2kπ+β(k∈Z). 则下列命题中的真命题为________.(填序号) ①p1∨p2;②p2∧p3; ③p1∨(綈p3);④(綈p2)∧p3. 5.已知p: 关于x的方程x2-ax+4=0有实根,q: 关于x的函数y=2x2+ax+4在区间[3,+∞)上是增函数.若“p或q”是真命题,“p且q”是假命题,则实数a的取值范围是________________. 6.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①∀x>0且x≠1,都有x+ >2; ②∀a∈R,直线ax+y=a恒过定点(1,0); ③∀φ∈R,函数y=sin(x+φ)都不是偶函数; ④∃m∈R,使f(x)=(m-1)xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减. 7.下列几个命题: ①若方程x2+(a-3)x+a=0有一个正实根,一个负实根,则a<0; ②函数y= + 是偶函数,不是奇函数; ③命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1”; ④命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2+x+1≥0”; ⑤“x>1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件. 正确的是________. 8.已知命题p: ∀x∈R,不等式ax2+2 x+1<0的解集为空集;命题q: f(x)=(2a-5)x在R上满足f′(x)<0,若命题p∧(綈q)是真命题,则实数a的取值范围是________________. 9.由命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是________. 10.下列四个命题中真命题的序号是________. ①“x=1”是“x2+x-2=0”的充分不必要条件; ②命题p: ∀x∈[1,+∞),lgx≥0,命题q: ∃x∈R,x2+x+1<0,则p∧q为真命题; ③命题“∀x∈R,ex>0”的否定是“∃x∈R,ex≤0”; ④“若am2 [能力提升练] 1.给出如下命题: ①若“p∨q”为真命题,则p,q均为真命题; ②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”; ③“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是“∃x∈R,x2+x≤1”; ④“x>0”是“x+ ≥2”的充要条件. 其中假命题是________.(填序号) 2.已知命题p: ∃x∈N,x3 ∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则p∧q为________命题. 3.下列命题正确的个数是________. ①命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”; ②函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π是“a=1”的必要不充分条件; ③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立; ④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”. 4.下列结论: ①若命题p: ∃x∈R,tanx=2;命题q: ∀x∈R,x2-x+ >0,则命题“p∧(綈q)”是假命题; ②已知直线l1;ax+3y-1=0,l2: x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是 =-3; ③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”. 其中正确结论的个数为________. 5.设实数a>0,且a≠1.已知p: 关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0};q: 函数y= 的定义域为R.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则实数a的取值范围是________. 6.已知下列命题: ①∃x∈ ,sinx+cosx≥ ; ②∀x∈(3,+∞),x2>2x+1; ③∃x∈R,x2+x=-1; ④∀x∈ ,tanx>sinx. 其中真命题为________.(填序号) 答案精析 基础保分练 1.必要不充分 2.∀x∈R,x2+2x+2>0 3.②③ 4.④ 5.(-∞,-12)∪(-4,4) 解析 若关于x的方程x2-ax+4=0有实根,则Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4.若关于x的函数y=2x2+ax+4在区间[3,+∞)上是增函数,则 ≤3,即a≥-12.由“p或q”是真命题,“p且q”是假命题知,p,q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4 6.③ 解析 当x>0时,x+ ≥2 =2,当且仅当x=1时等号成立,则∀x>0且x≠1,都有x+ >2,题中的命题为真命题; 很明显∀a∈R,直线ax+y=a恒过定点(1,0),题中的命题为真命题; 当φ= 时,函数y=sin =-cosx为偶函数,题中的命题为假命题; 当m=2时,f(x)=(m-1) =x-1= 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,题中的命题为真命题. 7.①④⑤ 解析 对于①,若方程x2+(a-3)x+a=0有一个正实根,一个负实根,则 解得a<0,故①正确;对于②,要使函数y= + 有意义,则x2-1≥0,1-x2≥0,解得x=±1,因此y=0(x=±1),所以,函数既是偶函数,又是奇函数,故②错误;对于③,命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2≤1,则x≤1”.故③错误;对于④,存在性命题的否定是全称命题,所以命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2+x+1≥0”,故④正确;对于⑤,x2+x-2>0等价于x<-2或x>1,所以“x>1”是“x2+x-2>0”的充分不必要条件,故⑤正确.综上所述,正确的命题是①④⑤. 8. ∪[3,+∞) 解析 因为∀x∈R,不等式ax2+2 x+1<0的解集为空集,所以当a=0时,不满足题意;当a≠0时,必须满足 解得a≥2. 由f(x)=(2a-5)x在R上满足f′(x)<0,可得函数f(x)在R上单调递减, 则0<2a-5<1,解得 解得2≤a≤ 或a≥3,则实数a的取值范围是 ∪[3,+∞). 9.1 10.①③ 解析 对于①,x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,故“x=1”是“x2+x-2=0”的充分不必要条件,即①正确; 对于②,p为真命题,q为假命题, 则p∧q为假命题,即②不正确; 对于③,“∀x∈R,ex>0”的否定是 “∃x∈R,ex≤0”,故③正确; 对于④,逆命题为“若a 能力提升练 1.①③ 2.假 3.2 4.2 5. ∪(1,+∞) 解析 由指数函数的性质得,若p是真命题,则0 则ax2-x+a≥0对∀x∈R恒成立, 所以a>0,且Δ=1-4a2≤0, 解得a≥ . 所以a≥ 且a≠1. 因为p∧q为假,p∨q为真, 所以p,q一真一假, ①p假q真时,a>1;
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