五年级下册数学概念及公式.docx
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五年级下册数学概念及公式
第一单元图形的变换
1、轴对称图形沿着对称轴重叠后,图形两边可以完全重合。
2、平形四边形不是轴对称图形。
长方形有2条对称轴,正方形有4条对称轴,等腰三角形有1条对称轴,正(等边)三角形有3条对称轴,圆有无数条对称轴,半圆有一条对称轴。
3、轴对称图形沿着对称轴的交点至少旋转(360÷对称轴的条数)=度,可以与原来的图形完全重合。
长方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷2=180(度)
正方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷4=90(度)
等腰三角形沿着对称轴的交点至少旋转360÷1=360(度)
等边(正)三角形方形沿着对称轴的交点至少旋转360÷3=120(度),形沿着对称轴的交点至少旋转360÷360=1(度)
半圆沿着对称轴的交点至少旋转360÷1=360(度)与原来的图形完全重合。
4、我们学过的图形的变换有轴对称、平移、旋转。
第二单元因数和倍数
1、我们说的因数和倍数指的是整数,不包括0,也不能说小数。
2、因数和倍数是相对的,不能单独说因数和倍数。
3、一个数的因数的个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数有无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
一个数的最大因数=最小倍数=它本身。
4、a÷b=c(a、b、c都是整数),我们就可以说,能被b整除,也可以说b能整除a.(例10÷2=5,可以说10能被2整除,2能整除10)。
5、2的倍数特征:
个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
5的倍数特征:
个位上是0或5的数都是5的倍数。
3的倍数特征:
一个数各位上的数的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
2和5的倍数特征:
个位上是0的数,既是2的倍数又是5的倍数。
判断奇数和偶数的依据是:
是否是2的倍数。
自然数不是奇数就是偶数。
奇数:
不是2的倍数的数叫奇数。
(就是生活中常说的单数)
偶数:
是2的倍数的数叫偶数。
(就是生活中常说的双数)
6、质数:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫质数(或素数)。
合数:
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数。
判断质数和合数的依据是:
根据因数的个数。
一个质数只有两个因数,一个合数至少有两个因数。
7、1既不是质数也不是合数。
一个自然数除了质数还有合数,还有1。
8、既是质数又是偶数的一位数是2,既是奇数又是偶数的最小的一位数是9,最小的两位数是15。
100以内的质数表:
2、3、5、7
11、13、17、19
23、29
31、37
41、43、47
53、59
61、67
71、73、79
83、89
97
第三单元长方体的正方体
第一部分长方体和正方体的认识
1、长方体是由六个长方形,特殊情况下(由两个相对面是正方形)围成的立体图形。
正方体是由六个完全相同的正方形围成的立体图形。
2、长方体和正方体都有6个面,12条棱,8个顶点。
长方体相对的2个面的面积相等,相对的4条棱的长度相等。
正方体的6个面完全相同,12条棱长度都相等。
正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。
正方体是特殊的长方体。
3、长方体中最少有2个面完全相同,最多有4个面完全相同。
长方体最少有4条棱长度相等,最多有8条棱长度相等。
4、计算长方体或正方体的棱长总和就用长度单位:
米、分米、厘米。
每相邻两个长度单位之间的进率是10。
长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4
长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4
长+宽+高=棱长总和÷4
长方体的长=棱长总和÷4-(宽+高)
长方体的宽=棱长总和÷4-(长+高)
长方体的高=棱长总和÷4-(长+宽)
5、正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
第二部分长方体和正方体的表面积
1、长方体和正方体6个面的总面积叫做它们的表面积。
计算表面积也用面积单位:
平方米、平方分米、平方厘米。
每相邻两个面积单位之间的进率是100。
2、长方体上(下)面的面积=长×宽
长方体左(右)面的面积=宽×高长方体前(后)面的面积=长×高
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
正方体的表面积=棱长×棱长×6
正方体一个面的面积=正方体的表面积÷6
第三部分长方体或正方体的体积和容积
1、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、常用的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。
每相邻两个体积单位之间的进率是1000。
3、棱长1米的正方体,体积是1立方米。
用3根1米长的木条做成一个互成直角的架子,放在墙角,是1立方米。
棱长1分米的正方体,体积是1立方分米。
一个粉笔盒的体积接近1立方分米。
棱长1厘米的正方体,体积是1立方厘米。
一个手指尖的体积大约是1立方厘米。
4、长方体的体积=长×宽×高V=abh
长方体的长=长方体的体积÷宽÷高
长方体的宽=长方体的体积÷长÷高
长方体的高=长方体的体积÷长÷宽
正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a=a
5、长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体(或正方体的体积)=底面积×高V=sh
6、一个正方体的棱长扩大a倍,棱长总和扩大a倍,表面积扩大a×a倍,体积扩大a×a×a倍。
7、计算不规则物体的体积可以用排水法。
水中物体的体积(不规则物体的体积)=容器的底面积×水面上升(或下降)的高度。
水面上升(或下降)的高度=水中物体的体积(不规则物体的体积)÷容器的底面积。
8、容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积。
计量容积,一般就用体积单位。
计量液体的体积,常用容积单位升或毫升,也可以写成L或ml。
1ml=1cmlL=1dm1L=1000ml
9、长方体和正方体的容积计算方法,跟体积的计算方法相同。
但是容积要从容器里面量出长、宽、高。
物体的容积一般都小于物体的体积。
只是,为了计算方便,我们把厚度忽略不计。
第四单元分数的意义和性质
第一部分分数的意义
1、分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。
例
(1)
表示把单位“1”平均分成8份,表示其中5份的数。
或者表示把5平均分成8份,表示其中1份的数。
例
(2)
吨表示把1吨平均分成8份,表示其中5份的数。
或者表示把5吨平均分成8份,表示其中1份的数。
2、把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份的数,叫做分数单位。
3、解决分数应用题。
带单位与不带单位的区别。
⑴如果问题中不带单位,用问题开始的那个单位÷条件中同样的单位的数。
⑵如果问题中带单位,用问题后面的单位÷前边的单位。
最后要带上单位。
如果问题中每份长?
重?
也要按带单位的处理,要自觉带上单位。
4、分数与除法的关系:
被除数÷除数=
a÷b=
(b≠0)
第二部分真分数和假分数
1、分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
2、分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
3、最小的假分数就是分子和分母相等的分数。
4、由一个整数和一个真分数合成的分数叫做带分数。
带分数都大于1。
5、把假分数化成整数或带分数,用分数的分子除以分母,商是带分数的整数部分,余数是带分数的分子,分母不变。
第三部分分数的基本性质、约分、通分
1、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
这叫做分数的基本性质。
2、几个数公有的因数,叫做它们的公因数。
其中,最大的公因数叫做它们的最大公因数。
3、两个数的公因数是最大公因数的因数。
已知最大公因数,求出最大公因数的所有因数,就是这两个数的所有公因数。
4、分解质因数法求两个数的最大公因数:
24=2×2×2×336=2×2×3×324和36的最大公因数=2×2×3=12
5、两个不同质数一定是互质数,但互质的两个数不一定都是质数。
公因数只有1的两个数,叫做互质数。
6、任意两个相邻的自然数是互质数。
1与任何自然数是互质数。
任意两个不同质数的是互质数。
7、任意两个相邻的自然数的公因数是1,最大公因数是1。
1与任何自然数的公因数是1,最大公因数是1。
任意两个不同质数的公因数是1,最大公因数是1。
8、分子和分母只有公因数1,像这样的分数叫做最简分数。
9、把一个分数化成和它相等,但分子和分母都比较小的分数,叫做约分。
10、约分时通常用分子和分母的最大公因数约分比较简便。
约分的结果必须是最简分数。
11、约分和通分的依据都是分数的基本性质。
12、两个数或几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。
其中最小的一个公倍数叫做它们的最小公倍数。
13、公倍数是最小公倍数的倍数。
14、如果两个数是因数和倍数关系,那么它们的最大公因数是较小数,最小公倍数是较大数。
如果两个数是互质数,那么它们最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。
15、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
通分时通常选用两个分母的最小公倍数做公分母比较简便。
16、分母相同的两个分数,分子大的分数就大。
分子相同的两个分数,分母小的分数就大。
第四部分分数与小数的互化
1、把分数化成小数:
把分数化为小数,直接用分子除以分母。
(除不尽的根据需要按“四舍五入”法保留一定的小数位数。
)
2、把小数化成分数:
看小数部分有几位小数,就在1后面写几个0作分母,将原来的小数去掉小数点作分子,再把分数化成最简分数。
3、如何判断一个分数能否化成有限小数。
先看看这个分数是不是最简分数,如果不是最简分数,先把它化为最简分数。
再把分数的分母分解质因数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他质因数,这个分数就能化成有限小数。
如果分母中含有2和5以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。
第五单元分数的加法和减法
1、同分母分数相加减,分母不变,只把分子相加减。
结果能约分的要化成最简分数。
2、异分母分数不能直接相加减,因为分母不同,就是分数单位不同;要先通分,把它们转化成分母相同的分数,再相加减。
3、分数加减法的验算方法与整数加减法的验算方法相同。
整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
第六单元、第七单元
1、一组数据中,出现次数最多的数,叫做这组数据的众数。
众数能够反映一组数据的集中情况。
2、在一组数据中,众数可能不止一个,也可能没有众数。
3、打电话问题
时间(分钟)
通知到的人数
1
1
2
3
3
7
4
15
5
31
6
63
……
……
下一分钟通知到的人数=上一分钟通知的人数×2+1
数学广角问题(找次品)
要辨别的物品数目
保证能找出次品需要测的次数
2~3
1
4~9
2
10~27
3
28~81
4
82~243
5
……
……
单位换算的方法:
大化小×进率小化大÷进率
长度单位:
大小千米、米、分米、厘米、毫米
1公里=1千米1千米=1000米1米=10分米
1分米=10厘米1厘米=10毫米
面积单位:
大小平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米、平方毫米
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米
体积单位:
大小立方米、立方分米、立方厘米
1立方米=1方
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米
容积单位:
大小升、毫升
1升=1000毫升1升=1立方分米1毫升=1立方厘米
重量单位:
大小吨、千克、克
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤
人民币单位换算:
大小元、角、分
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算:
大小年、月、日、时、分、秒
1年=12个月1日=24小时1时=60分1分=60秒
圆的计算公式:
给直径求圆的周长:
c=πd
给半径求圆的周长:
c=2πr
给直径求圆的半径:
r=d÷2
给周长求圆的半径:
r=c÷π÷2
给半径求圆的直径:
d=2r
给周长求圆的直径:
d=c÷π
给直径求半圆周长:
c=πr+d
给半径求半圆周长:
c=πr+2r
给半径求圆的面积:
s=πr²
给直径求圆的面积:
s=π(d÷2)²
给周长求圆的面积:
s=π(c÷π÷2)²
给半径求半圆面积:
s=πr²÷2
给直径求半圆面积:
s=π(d÷2)²÷2
给大圆和小圆半径求圆环面积:
s=π(R²-r²)
给大圆和小圆半径求圆环面积:
s=πR²-πr²
平面图形
名称
符号
周长C和面积S
正方形
a—边长
C=4a
S=a2
长方形
a和b-边长
C=2(a+b)
S=ab
三角形
a,b,c-三边长
h-a边上的高
s-周长的一半
A,B,C-内角
其中s=(a+b+c)/2
S=ah/2
=ab/2·sinC
=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
=a2sinBsinC/(2sinA)
四边形
d,D-对角线长
α-对角线夹角
S=dD/2·sinα
平行
四边形
a,b-边长
h-a边的高
α-两边夹角
S=ah
=absinα
菱形
a-边长
α-夹角
D-长对角线长
d-短对角线长
S=Dd/2
=a2sinα
梯形
a和b-上、下底长
h-高
m-中位线长
S=(a+b)h/2
=mh
圆
r-半径
d-直径
C=πd=2πr
S=πr2=πd2/4
扇形
r—扇形半径
a—圆心角度数
C=2r+2πr×(a/360)
S=πr2×(a/360)
弓形
l-弧长
b-弦长
h-矢高
r-半径
α-圆心角的度数
S=r2/2·(πα/180-sinα)
=r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2
=παr2/360-b/2·[r2-(b/2)2]1/2
=r(l-b)/2+bh/2
≈2bh/3
圆环
R-外圆半径
r-内圆半径
D-外圆直径
d-内圆直径
S=π(R2-r2)
=π(D2-d2)/4
椭圆
D-长轴
d-短轴
S=πDd/4
立方图形
名称
符号
面积S和体积V
正方体
a-边长
S=6a2
V=a3
长方体
a-长
b-宽
c-高
S=2(ab+ac+bc)
V=abc
棱柱
S-底面积
h-高
V=Sh
棱锥
S-底面积
h-高
V=Sh/3
棱台
S1和S2-上、下底面积
h-高
V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体
S1-上底面积
S2-下底面积
S0-中截面积
h-高
V=h(S1+S2+4S0)/6
圆柱
r-底半径
h-高
C—底面周长
S底—底面积
S侧—侧面积
S表—表面积
C=2πr
S底=πr2
S侧=Ch
S表=Ch+2S底
V=S底h
=πr2h
空心圆柱
R-外圆半径
r-内圆半径
h-高
V=πh(R2-r2)
直圆锥
r-底半径
h-高
V=πr2h/3
圆台
r-上底半径
R-下底半径
h-高
V=πh(R2+Rr+r2)/3
球
r-半径
d-直径
V=4/3πr3=πd2/6
球缺
h-球缺高
r-球半径
a-球缺底半径
V=πh(3a2+h2)/6
=πh2(3r-h)/3
a2=h(2r-h)
球台
r1和r2-球台上、下底半径h-高
V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
圆环体
R-环体半径
D-环体直径
r-环体截面半径
d-环体截面直径
V=2π2Rr2
=π2Dd2/4
桶状体
D-桶腹直径
d-桶底直径
h-桶高
V=πh(2D2+d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
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