人A版数学选修23讲义第2章 24 正态分布.docx
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人A版数学选修23讲义第2章24正态分布
2.4 正态分布
1.利用实际问题的直方图,了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义.(重点)
2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义.(重点)
3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 正态曲线及正态分布
阅读教材P70~P72,完成下列问题.
1.正态曲线
若φμ,σ(x)=
e-
,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数,我们称φμ,σ(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.
2.正态分布
如果对于任何实数a,b(a
φμ,σ(x),则称随机变量X服从正态分布.
正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作N(μ,σ2).如果随机变量X服从正态分布,则记为X~N(μ,σ2).
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( )
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( )
(3)正态曲线是一条钟形曲线.( )
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述.( )
【解析】
(1)× 因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样本的标准差去估计.
(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列出的不同值.而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值.
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确.
(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 正态曲线的特点及3σ原则
阅读教材P72~P74,完成下列问题.
1.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;
(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
(3)曲线在x=μ处达到峰值
;
(4)曲线与x轴之间的面积为1;
(5)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;
(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
2.3σ原则
(1)若X~N(μ,σ2),则对于任何实数a>0,P(μ-a φμ,σ(x)dx. (2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率: P(μ-σ P(μ-2σ P(μ-3σ (3)通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之间的值,并简称之为3σ原则. 1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),则P(X<2)等于( ) A. B. C. D. 【解析】 由题意知X的均值为2,因此P(X<2)= . 【答案】 D 2.把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位, 得到一条新的曲线b,下列说法中不正确的是________.(填序号) ①曲线b仍然是正态曲线; ②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等; ③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2; ④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2. 【解析】 正态曲线向右平移2个单位,σ不发生变化,故③错误. 【答案】 ③ 3.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为________. 【解析】 ∵X服从正态分布(1,σ2), ∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同,均为0.4. ∴X在(0,2)内取值的概率为0.4+0.4=0.8. 【答案】 0.8 4.正态分布的概率密度函数P(x)= e 在(3,7]内取值的概率为________. 【导学号: 29472075】 【解析】 由题意可知X~N(5,4),且μ=5,σ=2, 所以P(3 【答案】 0.6827 [小组合作型] 正态分布的概念及正态曲线的性质 如图241所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的期望和方差. 图241 【精彩点拨】 给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式. 【自主解答】 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是 ,所以μ=20. 由 = ,得σ= . 于是概率密度函数的解析式是 f(x)= ·e ,x∈(-∞,+∞), 总体随机变量的期望是μ=20,方差是σ2=( )2=2. 利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ,具体方法如下: (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此性质结合图象可求σ. [再练一题] 1.设两个正态分布N(μ1,σ )(σ1>0)和N(μ2,σ )(σ2>0)的密度函数图象如图242所示,则有( ) A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 图242 【解析】 根据正态分布的性质: 对称轴方程x=μ,σ表示正态曲线的形状.由题图可得,选A. 【答案】 A 服从正态分布变量的概率问题 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3D.0.2 (2)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,4),求正态总体X在(-1,1)内取值的概率. 【精彩点拨】 (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解; (2)题可先求出X在(-1,3)内取值的概率,然后由正态曲线关于x=1对称知,X在(-1,1)内取值的概率就等于在(-1,3)内取值的概率的一半. 【自主解答】 (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2), ∴μ=2,对称轴是x=2.∵P(ξ<4)=0.8, ∴P(ξ≥4)=P(ξ<0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C. 【答案】 C (2)由题意得μ=1,σ=2, 所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=0.6827. 又因为正态曲线关于x=1对称, 所以P(-1<X<1)=P(1<X<3)= P(-1<X<3)≈0.3414. 利用正态分布求概率的两个方法 1.对称法: 由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:
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