高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用.docx
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高中数学复习讲义第十二章导数及其应用
2019-2020年高中数学复习讲义第十二章导数及其应用
【知识图解】
【方法点拨】
导数的应用极其广泛,是研究函数性质、证明不等式、研究曲线的切线和解决一些实际问题的有力工具,也是提出问题、分析问题和进行理性思维训练的良好素材。
同时,导数是初等数学与高等数学紧密衔接的重要内容,体现了高等数学思想及方法。
1.重视导数的实际背景。
导数概念本身有着丰富的实际意义,对导数概念的深刻理解应该从这些实际背景出发,如平均变化率、瞬时变化率和瞬时速度、加速度等。
这为我们解决实际问题提供了新的工具,应深刻理解并灵活运用。
2.深刻理解导数概念。
概念是根本,是所有性质的基础,有些问题可以直接用定义解决。
在理解定义时,要注意“函数在点处的导数”与“函数在开区间内的导数”之间的区别与联系。
3.强化导数在函数问题中的应用意识。
导数为我们研究函数的性质,如函数的单调性、极值与最值等,提供了一般性的方法。
4.重视“数形结合”的渗透,强调“几何直观”。
在对导数和定积分的认识和理解中,在研究函数的导数与单调性、极值、最值的关系等问题时,应从数值、图象等多个方面,尤其是几何直观加以理解,增强数形结合的思维意识。
5.加强“导数”的实践应用。
导数作为一个有力的工具,在解决科技、经济、生产和生活中的问题,尤其是最优化问题中得到广泛的应用。
6.(理科用)理解和体会“定积分”的实践应用。
定积分也是解决实际问题(主要是几何和物理问题)的有力工具,如可以用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程和变力作的功等,逐步体验微积分基本定理。
第1课 导数的概念及运算
【考点导读】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式;
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.(理科)
【基础练习】
1.设函数f(x)在x=x0处可导,则与x0,h的关系是仅与x0有关而与h无关。
2.已知,则0。
3.已知,则当时,。
4.已知,则。
5.已知两曲线和都经过点P(1,2),且在点P处有公切线,试求a,b,c值。
解:
因为点P(1,2)在曲线上,
函数和的导数分别为和,且在点P处有公切数
,得b=2
又由,得
【范例导析】
例1.下列函数的导数:
①②③
分析:
利用导数的四则运算求导数。
解:
①法一:
∴
法二:
=+
②
∴
③e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cosx)2e-xcosx,
点评:
利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算,是高考对导数考查的基本要求。
例2.如果曲线的某一切线与直线平行,求切点坐标与切线方程.
分析:
本题重在理解导数的几何意义:
曲线在给定点处的切线的斜率,用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。
解:
切线与直线平行,斜率为4
又切线在点的斜率为
∵∴
∴或
∴切点为(1,-8)或(-1,-12)
切线方程为或即或
点评:
函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系,利用导数能解决许多曲线的切线问题,其中寻找切点是很关键的地方。
变题:
求曲线的过点的切线方程。
答案:
点评:
本题中“过点的切线”与“在点的切线”的含义是不同的,后者是以为切点,只有一条切线,而前者不一定以为切点,切线也不一定只有一条,所以要先设切点,然后求出切点坐标,再解决问题。
【反馈演练】
1.一物体做直线运动的方程为,的单位是的单位是,该物体在3秒末的瞬时速度是。
2.设生产个单位产品的总成本函数是,则生产8个单位产品时,边际成本是2。
3.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可能为
(1)。
(1)f(x)=(x-1)2+3(x-1)
(2)f(x)=2(x-1)
(3)f(x)=2(x-1)2(4)f(x)=x-1
4.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为。
5.在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是3。
6.过点(0,-4)与曲线y=x3+x-2相切的直线方程是y=4x-4.
7.求下列函数的导数:
(1)y=(2x2-1)(3x+1)
(2)(3)
(4)(5)(6)
解:
(1),
(2);
(3),(4);
(5)
(6).
8已知直线为曲线在点处的切线,为该曲线的另一条切线,且
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求由直线,和轴所围成的三角形的面积
解:
设直线的斜率为,直线的斜率为,
,由题意得,得直线的方程为
与该曲线的切点坐标为由直线方程的点斜式得直线的方程为:
(Ⅱ)由直线的方程为,令
由直线的方程为,令
由得:
设由直线,和轴所围成的三角形的面积为S,则:
第2课 导数的应用A
【考点导读】
1.通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系,能熟练利用导数研究函数的单调性;会求某些简单函数的单调区间。
2.结合函数的图象,了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系;会求简单多项式函数的极大(小)值,以及在指定区间上的最大(小)值。
【基础练习】
1.若函数是上的单调函数,则应满足的条件是。
2.函数在[0,3]上的最大值、最小值分别是5,-15。
3.用导数确定函数的单调减区间是。
4.函数
的最大值是,最小值是。
5.函数的单调递增区间是(-∞,-2)与(0,+∞)。
【范例导析】
例1.在区间上的最大值是2。
解:
当-1≤x<0时,>0,当0 所以当x=0时,f(x)取得最大值为2。 点评: 用导数求极值或最值时要掌握一般方法,导数为0的点是否是极值点还取决与该点两侧的单调性,导数为0的点未必都是极值点,如: 函数。 例2.求下列函数单调区间: (1) (2) (3)(4) 解: (1)∵∴时 ∴, (2)∴, (3)∴, ∴,, (4)定义域为 点评: 熟练掌握单调性的求法,函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。 例3.设函数f(x)= (Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)讨论f(x)的极值。 解: 由已知得,令,解得。 (Ⅰ)当时,,在上单调递增; 当时,,随的变化情况如下表: 0 + 0 0 极大值 极小值 从上表可知,函数在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,函数没有极值; 当时,函数在处取得极大值,在处取得极小值。 点评: 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。 【反馈演练】 1.关于函数,下列说法不正确的是(4)。 (1)在区间(,0)内,为增函数 (2)在区间(0,2)内,为减函数 (3)在区间(2,)内,为增函数(4)在区间(,0)内,为增函数 2.对任意x,有,,则此函数为。 3.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是5,-15。 4.下列函数中,是极值点的函数是 (2)。 (1) (2)(3)(4) 5.下列说法正确的是(4)。 (1)函数的极大值就是函数的最大值 (2)函数的极小值就是函数的最小值 (3)函数的最值一定是极值(4)在闭区间上的连续函数一定存在最值 6.函数的单调减区间是[0,2]。 7.求满足条件的的范围: (1)使为上增函数; (2)使为上的增函数;(3)使为上的增函数。 解: (1)∵由题意可知: 对都成立∴ 又当时也符合条件∴ (2)同上(3)同上 8.已知函数(x>0)在x=1处取得极值,其中为常数。 (1)试确定的值; (2)讨论函数f(x)的单调区间。 解: (I)由题意知,因此,从而. 又对求导得 . 由题意,因此,解得. (II)由(I)知(),令,解得. 当时,,此时为减函数;当时,,此时为增函数. 因此的单调递减区间为,而的单调递增区间为. 第3课 导数的应用B 【考点导读】 1.深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用,加强导数的应用意识。 2.利用导数解决实际生活中的一些问题,进一步加深对导数本质的理解,逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。 【基础练习】 1.若是在内的可导的偶函数,且不恒为零,则关于下列说法正确的是(4)。 (1)必定是内的偶函数 (2)必定是内的奇函数 (3)必定是内的非奇非偶函数(4)可能是奇函数,也可能是偶函数 2.是的导函数,的图象如右图所示,则的图象只可能是(4)。 (1) (2)(3)(4) 3.若,曲线与直线在上的不同交点的个数有至多1个。 4.把长为的铁丝围成矩形,要使矩形的面积最大,则长为,宽为。 【范例导析】 例1.函数,过曲线上的点的切线方程为 (1)若在时有极值,求f(x)的表达式; (2)在 (1)的条件下,求在上最大值; (3)若函数在区间上单调递增,求b的取值范围 解: (1) (2) x -2 + 0 - 0 + 极大 极小 上最大值为13 (3)上单调递增 又 依题意 上恒成立. ①在 ②在 ③在 综合上述讨论可知,所求参数b取值范围是: b≥0。 点评: 本题把导数的几何意义与单调性、极值和最值结合起来,属于函数的综合应用题。 例2.请您设计一个帐篷。 它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。 试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大? 分析: 本题应该先建立模型,再求体积的最大值。 选择适当的变量很关键,设的长度会比较简便。 解: 设,则由题设可得正六棱锥底面边长为 (单位: m)。 于是底面正六边形的面积为(单位: m2): 。 帐篷的体积为(单位: m3): 求导数,得; 令解得x=-2(不合题意,舍去),x=2。 当1 所以当x=2时,V(x)最大。 答: 当OO1为2m时,帐篷的体积最大。 点评: 本题是结合空间几何体的体积求最值,加深理解导数的工具作用,主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。 【反馈演练】 1.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是图4。 2.已知二次函数的导数为,,对于任意实数都有,则的最小值为。 3.若,则下列命题正确的是(3). (1) (2)(3)(4) 4.函数的单调递增区间是. 5.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 解: (Ⅰ)由f(x)的图象经过P(0,2),知d=2, 所以 由在M(-1,f(-1))处的切线方程是,知 故所求的解析式是 (Ⅱ) 解得 当 当 故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数. 点评: 本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 6.如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为,短半轴长为,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底是半椭圆的短轴,上底的端点在椭圆上,记,梯形面积为. (I)求面积以为自变量的函数式,并写出其定义域; (II)求面积的最大值. 解: (I)依题意,以的中点为原点建立直角坐标系(如图), 则点的横坐标为.点的纵坐标满足方程, 解得 所以 ,其定义域为. (II)记 ,则. 令,得.因为当时,;当时,, 所以在上是单调递增函数,在上是单调递减函数, 所以是的最大值. 因此,当时,也取得最大值,最大值为. 即梯形面积的最大值为. 7.设函数 . (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围. 解: (Ⅰ) , 当时,取最小值,即. (Ⅱ)令 , 由得,(不合题意,舍去). 当变化时,的变化情况如下表: 递增 极大值 递减 在内有最大值. 在内恒成立等价于在内恒成立, 即等价于,所以的取值范围为. 点评: 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力. 8.设函数,若当时,取得极值,求的值,并讨论的单调性. 解: ,依题意有,故. 从而 .的定义域为, 当时,;当时,;当时,. 从而,分别在区间单调增加,在区间单调减少. 2019-2020年高中数学复习讲义第十章算法初步与框图 【知识图解】 【方法点拨】 1.学习算法要理解算法的含义.明确建立算法就是设计完成一件事的操作步骤.一般地说,这样的操作步骤应该具有通用性,能处理一类问题. 2.掌握算法的三种基本结构.顺序结构、条件结构和循环结构是算法的三种基本结构.要通.具体实例了解三种基本结构的使用范围,通过流程图认识它们的基本特征. 3.掌握流程图的画法.用流程图表示算法具有、清晰的特点,也是高考重点考查的内容,要予以重视.特别是循环结构的流程图,对判断框中的条件与前测试还是后测试之间的关系一定要弄清楚. 4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般为: 先探寻解决问题的方法,并用通俗的语言进行表述,再将通俗的算法语言用流程图直观表示,最后根据流程图选择适当的算法语句用伪代码表示算法过程. 第1课算法的含义 【考点导读】 正确理解算法的含义.掌握用自然语言分步骤表达算法的方法.高考要求对算法的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题. 【基础练习】 1.下列语句中是算法的个数为3个 ①从济南到巴黎: 先从济南坐火车到北京,再坐飞机到巴黎; ②统筹法中“烧水泡茶”的故事; ③测量某棵树的高度,判断其是否是大树; ④已知三角形的一部分边长和角,借助正余弦定理求得剩余的边角,再利用三角形的面积公式求出该三角 形的面积. 2.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、 听广播(8min)几个步骤.从下列选项中选最好的一种算法 ③ . ①S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播 ②S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播 ③S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播 ④S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶 3.写出交换两个大小相同的杯子中的液体(A水、B酒)的两个算法. 答案: 解析: 算法1: S1.再找一个大小与A相同的空杯子C; S2.将A中的水倒入C中; S3.将B中的酒倒入A中; S4.将C中的水倒入B中,结束. 算法2: S1.再找两个空杯子C和D; S2.将A中的水倒入C中,将B中的酒倒入D中; S3.将C中的水倒入B中,将D中的酒倒入A中,结束. 注意: 一个算法往往具有代表性,能解决一类问题,如,可以引申为: 交换两个变量的值. 4.写出求1+2+3+4+5+6+7的一个算法. 解析: 本例主要是培养学生理解概念的程度,了解解决数学问题都需要算法 算法一: 按照逐一相加的程序进行. 第一步 计算1+2,得到3; 第二步 将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步 将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步 将第三步中的运算结果10与5相加,得到15; 第五步 将第四步中的运算结果15与6相加,得到21; 第六步 将第五步中的运算结果21与7相加,得到28. 算法二: 可以运用公式1+2+3+…+n= 直接计算. 第一步 取n=7;第二步 计算 ;第三步 输出运算结果. 点评: 本题主要考查学生对算法的灵活准确应用和自然语言表达一个问题的算法的方法.算法不同,解决问题的繁简程度也不同,我们研究算法,就是要找出解决问题的最好的算法. 【范例解析】 例1下列关于算法的说法,正确的有. (1)求解某一类问题的算法是惟一的 (2)算法必须在有限步骤操作之后停止 (3)算法的每一操作必须是明确的,不能有歧义或模糊(4)算法执行后一定产生确定的结果 解由于算法具有可终止性,明确性和确定性,因而 (2)(3)(4)正确,而解决某类问题的算法不一定是惟一的,从而 (1)错. 例2.写出解方程x2-2x-3=0的一个算法. 分析本题是求一元二次方程的解的问题,方法很多,下面利用配方法,求根公式法写出这个问题的两个算法 算法一: (1)移项,得x2-2x=3;① (2)①两边同加1并配方,得(x-1)2=4② (3)②式两边开方,得x-1=2;③ (4)解③,得x=3或x=-1. 算法二: (1)计算方程的判别式,判断其符号: (2)将a=1,b=-2,c=-3,代入求根公式,得 点评比较两种算法,算法二更简单,步骤最少,由此可知,我们只要有公式可以利用,利用公式解决问题是最理想,合理的算法.因此在寻求算法的过程中,首先是利用公式.下面我们设计一个求一般的一元二次方程的ax2+bx+c=0根的算法如下: (1)计算 (2)若(3)方程无实根;(4)若(5)方程根 例3: 一个人带三只狼和三只羚羊过河.只有一条船,同船可以容一个人和两只动物.没有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量,狼就会吃掉羚羊. (1)设计安全渡河的算法; (2)思考每一步算法所遵循的相同原则是什么. 解析: (1)S1 人带两只狼过河. S2 人自己返回. S3 人带两只羚羊过河. S4 人带一只狼返回. S5 人带一只羚羊过河. S6 人自己返回. S7 人带两只狼过河. (2)在人运送动物过河的过程中,人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目. 点评这是一个实际问题,生活中解决任何问题都需要算法,我们要在处理实际问题的过程中理解算法的含义,体会算法设计的思想方法. 【反馈演练】: 1.下面对算法描述正确的一项是C . A.算法只能用伪代码来描述B.算法只能用流程图来表示 C.同一问题可以有不同的算法D.同一问题不同的算法会得到不同的结果 解析: 自然语言、图形和伪代码都可以表示算法,只要是同一问题,不同的算法也应该有相同的结果. 2.计算下列各式中的S的值,能设计算法求解的是 ① ③. ①;②;③ 解析: 因为算法步骤具有“有限性”特点,故②不可用算法求解. 3.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99,求他的总分和平均成绩的一个算法为: 第一步 取A=89,B=96,C=99; 第二步 ① ; 第三步 ② ; 第四步 输出D,E. 请将空格部分(两个)填上适当的内容 答案: ①计算总分D=A+B+C ②计算平均成绩E= 4.写出1×2×3×4×5×6的一个算法. 答案: 解析: 按照逐一相乘的程序进行. 第一步 计算1×2,得到2; 第二步 将第一步中的运算结果2与3相乘,得到6; 第三步 将第二步中的运算结果6与4相乘,得到24; 第四步 将第三步中的运算结果24与5相乘,得到120; 第五步 将第四步中的运算结果120与6相乘,得到720; 第六步 输出结果. 5.已知一个三角形的三边边长分别为2、3、4,设计一个算法,求出它的面积. 答案: 解析: 可利用公式 S=求解. 第一步 取a=2,b=3,c=4; 第二步 计算p=; 第三步 计算三角形的面积S=; 第四步 输出S的值. 6.求1734,816,1343的最大公约数. 分析: 三个数的最大公约数分别是每个数的约数,因此也是任意两个数的最大公约数的约数,也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数. 解: 用“辗转相除法”. 先求1734和816的最大公约数, 1734=816×2+102; 816=102×8; 所以1734与816的最大公约数为102. 再求102与1343的最大公约数, 1343=102×13+17;102=17×6. 所以1343与102的最大公约数为17,即1734,816,1343的最大公约数为17. 7.写出用二分法求关于x的方程x2-2=0的根(精确到0.005)的算法. 第一步令f(x)=x2-2,因为f (1)<0,f (2)>0,所以设x1=1,x2=2 第二步令m=(x1+x2)/2,判断f(m)是否为0,若是,则m为所求,否则,则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0. 第三步若f(x1)·f(m)>0则令x1=m,否则x2=m. 第四步判断|x1-x2|<0.005是否成立? 若是则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似值;否则返回第二步. 点评.区间二分法是求方程近似解的常用算法,其解法步骤为 S1 取[a,b]的中点x0=(a+b)/2; S2 若f(x0)=0,则x0就是方程的根,否则 若f(a)f(x0)>0,则a←x0;否则b←x0; S3 若|a-b| 第2课流程图 【考点导读】 了解常用流程图符号的意义,能用流程图表示顺序,选择,循环这三种基本结构,并能识别简单的流程图所描述的算法.高考要求对流程图有最基本的认识,并能解决相关的简单问题. 【基础练习】 1.算法的三种基本结构是顺序结构、选择结构、循环结构. 2.流程图中表示判断框的是菱形框. 3.根据题意,完成流程图填空: 这是一个输入两个数,输出这两个数差的绝对值的一个算法. 请将空格部分填上适当的内容 (1)a>b; (2) b-a 【范例解析】 例1.已知梯形的上底、下底和高分别为5、8、9,写出求梯形的面积的算法,画出流程图. 解算法如下 S1a←5; S2 b←8; S3 h←9; S4 S←(a+b)×h/2; S5 输出S. 流程图为: 点评本题中用的是顺序结构是最简单的算法结构,是任何一个算法都离不开的基本结构. 例 2.设计求解不等式ax+b>0(a≠0)的一个算法,并用流程图表示. 解: 第一步输入a,b; 第二步 第三步若a>0,那么输出x>x0,否则输出x 流程图为: 点评解决此类不等式问题时,因涉及到对一次 项系数的讨论一般采用条件结构设计算法. 【反馈演练】 1.如图表示的算法结构是顺序结构. 2.下面的程序执行后的结果是4,1. 解析: 由题意得,故执行到第三步时,把的值给,这时,第四步,把的值给,这时. 3输入x的值
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- 高中数学复习讲义 第十二章 导数及其应用 高中数学 复习 讲义 第十二 导数 及其 应用