目标规划典型例题.docx
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目标规划典型例题
§6.4主要解题方法和典型例题分析
题型I目标规划数学模型的建立
当线性规划问题有多个目标需要满足时,就可以通过建立目标规划数学模型
来描述。
目标规划数学模型的建立步骤为:
第一步,确定决策变量;第二步,确定各目标的优先因子;第三步,写出硬约束和软约束;第四步,确定目标函数。
例6-1某公司生产甲、乙两种产品,分别经由I、II两个车间生产。
已知除
外购外,生产一件甲产品需要I车间加工4小时,II车间装配2小时,生产一件乙产品需I车间加工1小时,II车间装配3小时,这两种产品生产出来以后均需经过检验、销售等环节。
已知每件甲产品的检验销售费用需40元,每件乙产品
的检验销售费用需50元。
I车间每月可利用的工时为150小时,每小时的费用为80元;II车间每月可利用的工时为200小时,每小时的费用为20元,估计下一年度平均每月可销售甲产品100台,乙产品80台。
公司根据这些实际情况定出月度计划的目标如下:
P1:
检验和销售费用每月不超过6000元;
P2:
每月售出甲产品不少于100件;
P3:
|、||两车间的生产工时应该得到充分利用;
P4:
I车间加班时间不超过30小时;
P5:
每月乙产品的销售不少于80件。
试确定该公司为完成上述目标应制定的月度生产计划,建立其目标规划模型
解:
先建立目标规划的数学模型。
设X1为每月计划生产的甲产品件数,X2
为每月生产的乙产品的件数。
根据题目中给出的优先等级条件,有以下目标及约
束:
(1)检验及销售费用目标及约束
ming)
40x150x2d1d1
6000
(2)每月甲产品的销售目标及约束
min(d2)
x1d2d2100
(3)I、II两车间工时利用情况目标及约束
I车间
4%
min(d3)
X2d3d3
150,H车间
min(d4)
x13x2d4d4
200
(4)I车间加班时间目标及约束
min©)
d3d5d530
(5)每月乙产品销售目标及约束
min
x2d6d680
根据优先等级层次,确定优先因子和权系数,得出目标规划的数学模型如下:
minZPidip?
d2卩3曲dj卩4小5Psde
40论50x2d1d16000
X|d2d2100
4x1x2d3d3150
s.tx13x2d4d4200
d3d5d530
x2d6d680
Xi,X20;di,di0;i1丄,6
——例6-2有三个产地向四个销地供应物资。
产地Ai(i=1,2,3)的供应量a、销地
Bj(j=1,2,3,4)的需要量bj、各产销地之间的单位物资运费Cj如表5-1所示。
表中,ai和bj的单位为吨,Cij的单位为元/吨。
编制调运方案时要求按照相应的优先级依次考虑下列六个目标:
P1:
B4是重点保证单位,其需要量应尽可能全部满足;
P2:
A3向B1提供的物资不少于100吨;
P3:
每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%;
P4:
实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的110%;
P5:
因路况原因,尽量避免安排A2的物资运往B4;
P6:
对B1和B3的供应率要尽可能相同;试建立该问题的目标规划模型。
表6-1
仝
Ai
B1
B2
B3
B4
ai
A1
5
2
6
7
300
A2
3
5
4
6
200
A3
4
5
2
3
400
bj
200
100
450
250
解:
设Xij为从Ai运往Bj的运输量,首先求出当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费为2950元。
在各级目标中没有涉及到供应量,因此供应量构成硬约束:
xnx12x13x14300
X21
X22
X23
X24
200
X31
X32
X33
X34
400
根据各优先级目标,可写出相应的目标及目标约束。
P1:
B4是重点保证单位,其需要量应尽可能全部满足
mindi
x14X24x34d1d1250
P2:
A3向Bi提供的物资不少于100吨
mind2
X31d2
d2
100
P3:
每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%
min(d3
d4
d5)
X11
X21
X31
d3
d3
-160
X12
x22
x32
d4
d4
80
X13
X23
X33
d5
d5
360
P4:
实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小总运费的
mind6
34
Cjxijd6dg2950110%
i1j1
P5:
因路况原因,尽量避免安排A2的物资运往B4
mind7
x24d7d70
P6:
对B1和B3的供应率要尽可能相同
110%。
min(dada)
X11X21X31X13X23X33
200450
da
da0
综上所述,将该问题列成优先目标规划模型:
minz1d1,minz2d2,minz3d3d4d5
minz4d6
min
Z5
d7,minz6
d8
d8
Xii
Xi2
Xi3
Xi4
300
X2i
X22
X23
X24
200
X3i
X32
X33
X34
400
Xi4
X24
X34
di
di
250
X3i
d2
d2
TOO
Xii
X2i
X3i
d3
d3
i60
Xi2
X22
X32
d4
d4
80
Xi3
X23
X33
d5
d5
360
34
..7..
ijij
d6
d6
3245
iiji
X24
d7
d7
0
200
(Xii
X2i
X3i)
300
(Xi3
X23X33)d8d8
0
题型II目标规划的图解法
目标规划的图解法就是通过图形来确定所给目标规划的满意解,虽然比较直
观,但因为是平面图,所以最多只能求解包含两个决策变量的目标规划问题。
其
解题步骤是:
第一步,建立直角坐标系,作出硬约束的限制区域;第二步,作出其他约束条件当偏差变量为0时的图形,确定其它各约束条件的限制区域;第三步,结合决策变量的可行围,按优先因子考察各偏差变量的变化对目标函数的影响,确定尽可能满足目标的满意解。
例6-3用图解法找出以下目标规划问题的满意解。
minZ
Pi(di
di
)
P2(2d2d3)
Xi
i0x2
di
di
50
3x-ist|
5x2
d2
d:
220
8x1
6x2
da
ds
i00
为,X2,di,di0,i1,2,3
解:
第一步,因为本题没有硬约束,所以先作出偏差变量为0时,各目标约
束所确定的直线,如图5-1所示。
第二步,按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响,确定约束条件所限定的xi,x2围。
要满足min(didi),只能在CD射线上取得满意解;显然,在CD射线上,pi(didi)0。
其次,在CD射线上使p2(2d2d3)达到极小点
的只能是C点
第三步,确定满意解。
由图6-1可知,满意解为x;50,x;0
8x1+6x2=100
图6-1
例6-4用图解法找出以下目标规划问题的满意解
minZp1d2p-|d2
P3d
1
x12x2d1
7
10
10x112x2d2
s.t
d2
62.4
2x!
x2
8
X1,X2,dj,d2
0,i
1,2
解:
第一步
冃首先作出硬约束等式直线
AB:
2x1x28
第二步,再作出偏差变量为0时,各目标约束所确定的直线DI和CH,如图
6-2所示。
第三步,按优先因子考虑各偏差变量的变化对目标函数的影响,确定约束条
件所限定的X1,x2围。
要满足min(d;d;),并且满足硬约束2为x;8所在围,只能在GC线段上取得满意解;而要满足mind1,满意解又只能是在CE线段上。
第三步,确定满意解。
由图6-2可得满意解为C(0,5.2)和E(0.6,4.7)连线上任一点。
X2*
图6-2
题型III目标规划的单纯形法
例6-5用单纯形法求以下目标规划问题的满意解
minZpd
Pid2
P2di
禺2x2
di
di
10
10x112x2
s.t
d2
d2
62.4
2x!
X2
8
Xi,X2,di
di
0,i
1,2
解:
第一步,将原规划化为标准型
minZpi(d2
d2)
P2di
x12x2
di
di
10
10x112x2
st12
d2
d2
62.4
O.L
2x!
X2
X38
Xi,X2,X3,di
di
0,i
1,2
第二步,取di,d2,X3为初始基变量,列初始单纯形表,如表6-2所示
表6-2
Cj
0
0
0
P2
0
Pi
Pi
i
aik
Cb
Xb
b
Xi
X2
X3
di
di
d2
d2
P2
di
10
1
[2]
0
i
-i
0
0
10/2
Pi
d2
62.4
10
12
0
0
0
i
-i
62.4/12
0
X3
8
2
1
1
0
0
0
0
8/i
Cj-Zj
Pi
-10
-12
0
0
0
0
2
P2
-i
-2
0
0
i
0
0
第三步,取k=1,检查检验数的P1行的负数,取最小者-12对应的变量X2为换入变量,并用最小比值原则确定换出变量为di,见表6-3。
表6-3
Cj
0
0
0
P2
0
Pi
Pi
bi
aki
CB
XB
b
xi
x2
X3
di
di
d2
d2
0
X2
5
i/2
i
0
i/2
-i/2
0
0
-
Pi
d2
2.4
4
0
0
-6
⑹
i
-i
2.4/6
0
X3
3
3/2
0
i
-i/2
i/2
0
0
3/(i/2)
Q-Zj
Pi
-4
0
0
6
-6
0
2
P2
0
0
0
i
0
0
0
第四步,还是取k=1,检查检验数的Pi行的负数,取最小值-6对应的变量di
为换入变量,并用最小比值规则确定换出变量d2,见表6-4。
表6-4
Cj
0
0
0
P2
0
Pi
Pi
bi
i
ak
Cb
Xb
b
Xi
X2
X3
di
di
d2
d2
0
x2
5.2
5/6
i
0
0
0
i/i2
-i/i2
-
0
di
0.4
2/3
0
0
-i
i
i/6
-i/6
0
X3
2.8
7/6
0
i
0
0
-i/i2
i/i2
C3-Zj
Pi
0
0
0
0
0
i
i
P2
0
0
0
i
0
0
0
第五步,检查检验数的Pi行,P2行,都没有负数了,故得到满意解x*(0,5.2)t
且因为非基变量xi的检验数为0,所以存在多重解。
例6-6用单纯形法求解下列目标规划问题。
minZpi(2di3d2)p2d4p3d3
xix2didii0
x-id2d24
s.t5xi3x2d3d356
xix2d4d4i2
xi,x2,di,di0,ii,2,3,4
解:
第一步:
该问题已经化为标准形,以di,d2,d3,d4为基变量,建立
初始单纯形表,如表6-5所示。
表6-5初始单纯性表
Xb
b
Xi
X2
di
di
d2
d2
d3
d3
d4
d4
di
10
1
1
1
-i
0
0
0
0
0
0
d2
4
[i]
0
0
0
i
-i
0
0
0
0
d3
56
5
3
0
0
0
0
i
-i
0
0
d4
12
1
1
0
0
0
0
0
0
i
-i
Cj-Zj
Pi
0
0
0
2
0
3
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i
P3
-5
-3
0
0
0
0
0
i
0
0
第二步:
在表6-5中,检验数矩阵中第一列、第二列均有负数,因此此表对应的解不是满意解,需要进行迭代。
以xi为进基变量,d2为出基变量,进行基变换运算,结果如表6-6所示。
表6-6第一次迭代表
Xb
b
Xi
X2
di
di
d2
d2
d3
d3
d4
d4
di
6
0
[1]
i
-i
-i
i
0
0
0
0
Xi
4
1
0
0
0
i
-i
0
0
0
0
d3
36
0
3
0
0
-5
5
1
-i
0
0
d4
8
0
1
0
0
-1
1
0
0
i
-i
Cj-Zj
Pi
0
0
0
2
0
3
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
i
P3
0
-3
0
0
5
-5
0
i
0
0
第三步:
在表5-6中,检验数矩阵中第二列仍有负数,以X2为进基变量,di
为出基变量,进行基变换运算,结果如表6-7所示。
表6-7第二次迭代表
Xb
b
Xi
X2
di
di
d2
d2
d3
d3
d4
d4
X2
6
0
[1]
i
-i
-i
i
0
0
0
0
Xi
4
1
0
0
0
i
-i
0
0
0
0
d3
18
0
0
-3
3
-2
2
1
-1
0
0
d4
2
0
0
-1
1
0
0
0
0
1
-1
Cj-Zj
P1
0
0
0
2
0
3
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
P3
0
0
3
-3
2
-2
0
1
0
0
第三步:
在表6-7中,检验数矩阵中每一列第一个非零元素均为非负数,因此此表所对应的解为满意解。
满意解为(x1,x2)(4,6),目标达到情况是:
第一级目
标minZ1p1(2d13d2)0达到最优,第二级目标minZ2p2d40达到最优,
第三级目标minZ3pads18,没有达到最优。
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