12 逻辑联结词与四种命题.docx
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12逻辑联结词与四种命题
1.2-逻辑联结词与四种命题
•知识梳理
1•逻辑联结词
(1)命题:
可以判断真假的语句叫做命题.
且”“非”这些词
(2)逻辑联结词:
“或”“
叫做逻辑联结词.
(3)简单命题与复合命题:
不含逻辑联结词的命题叫简单命题;由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
(4)真值表:
表示命题真假的表叫真值表.
2.四种命题
(1)四种命题
原命题:
如果P,那么q(或若P则q);逆命题:
若q则P;
否命题:
若P则q;逆否命题:
若q则p.
(2)四种命题之间的相互关系
是等价命题.
•点击双基
1.由“p:
8+7=16,q:
n>3”构成的复合命题,下列判断正确的是
A.
p或q为真,
B.p或q为假,
C.p或q为真,
D.p或q为假,P且q为真,解析:
因为P假,q真,由复合命题的真值
表可以判断,P或q为真,P且q为假,非直/、■
答案:
A
2.(2004年福建,3)命题p:
若a、b€R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件;
命题q:
函数y=Jir帀的定义域是(
11
U:
3,+8),贝q
A.“P或q”为假为真
C.P真q假解析:
•••|a+b|w|a|+|b|,
若|a|+|b|>1,不能推出|a+b|>1,而|a+b|>1,定有|a|+|b|>1,故命题P为假.
又由函数y=』x1|2的定义域为|x—1|—2>0,即|x—1|>2,1卩x—1>2或x—K—2.
故有x€(—8,—1]U[3,+s).
•••q为真命题.
答案:
D
3.(2005年春季上海,15)设函数f(x)的定义域为R,有下列三个命题:
1若存在常数M,使得对任意x€R,有f(x) 2 x€R,且x 是函数f(x) 若存在xo€R,使得对任意疋xo,有f(x)vf(xo),则f(xo)的最大值; 3 x€R,有f 若存在xo€R,使得对任意 (x) 这些命题中,真命题的个数是 C.2 A.0B.1 D.3 解析: ①错.原因: 可能“=”不能取到.②③都正确. 答案: C 4.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x— m=0有实数根"与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为. 解析: 先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题,逐一判断. 答案: 2 5.(2005年北京西城区抽样测试题)已知命题P: 函数y=loga(ax+2a)(a>0且a^1)的图象必过定点(-1,1); 命题q: 如果函数y=f(x—3)的图象关于原点对称,那么函数y=f(x)的图象关于点(3,0) D.p假q真解决本题的关键是判定p、q的真假.q假(可举反例y=x+3),因此正确答 A.O个 D.4个 剖析: 原命题和逆否命题为真. 答案: B 深化拓展 若a、b、c€R,写出命题“若acv0,则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根"的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这三个命题的真假. 思路: 认清命题的条件P和结论q,然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题,最后判断真假. 解: 逆命题“若ax2+bx+c=0(a、b、c€R)有两个不相等的实数根,则acv0”是假命题,如当a=1,b=—3,c=2时,方程X2—3x+2=0有两个不等实根xi=1,X2=2,但ac=2>0. a、 否命题"若ac>0,则方程ax2+bx+c=0( b、c€R)没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题,而逆命题是假命题. 逆否命题"若ax2+bx+c=0(a、b、c€R)没有两个不相等的实数根,则aO0”是真命题.因为原命题是真命题,它与原命题等价. 评述: 解答命题问题,识别命题的条件p与结论q的构成是关键. 【例2】指出下列复合命题的形式及其构成. (1)若a是一个三角形的最小内角,贝qa不大于60°; (2)一个内角为90°,另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形; (3)有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形. 中p: 解: (1)是非P形式的复合命题,其 若a是一个三角形的最小内角,贝qa>60 (2) p: 是P且q形式的复合命题,其中个内角为90°,另一个内角为45°的三角形是等腰三角形,q: 一个内角为90°,另一个内角为45°的三角形是直角三角形. (3) p: 有q: 有一 是P或q形式的复合命题,其中一个内角为60°的三角形是正三角形,个内角为60°的三角形是直角三角形. 【例3]写出命题"当abc=0时,a=0或b=0或c=0"的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 剖析: 把原命题改造成“若P则q”形式,再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律. 解: 原命题: 若abc=O,则a=0或b=0或c=0,是真命题. 逆命题: 若a=0或b=0或c=0,则abc=O,是真命题. 否命题: 若abcM0,贝qaM0且0且cm0,是真命题. 逆否命题: 若aM0且bM0且cM0,则abcM0,是真命题. •闯关训练夯实基础 1. 形式,那 如果原命题的结论是“P且q”么否命题的结论形式为 C.p或 A.P且qB.P或q qD.q或P 解析: P且q的否定为P或q. 答案: B 2.下列四个命题中真命题是 1 的逆命题 "若xy=1,则x、y互为倒数” 2“面积相等的三角形全等”的否命题③“若mW1,则方程X—2x+m=0有实根"的逆否命题④“若AnB=B,则AB”的逆否命题 A.①②B.②③C.①②③ D.③④解析: 写出满足条件的命题再进行判断.答案: C 3.分别用“P或q”“P且q”“非P”填空. (1)命题“15能被3和5整除”是形式; 击 击 u 击 击 u 口” 员” 零” 中飞机”, 中飞机”,试用p1、p2及 (2)命题“16的平方根是4或—4”是 飞机是pi或p2. 联结词“或”“且”“”” (1)两次都击 (2)两次都没 (3)恰有一次 (4)至少有一次 解: (1)两次都击 (2)两次都没击 (3)恰有一次击且pi; (4)至少有一次 培养能力 6.(2004年湖北,15)设A、B为两个集合.下列四个命题: ①A住B对任意x€A,有XB;②ABAnB=: ③A峯BA誉B;④A峯B存在x€A,使得XB. .(把 其中真命题的序号是_符合要求的命题序号都填上) 解析: A述存在X€A,有XB,故①错误;②错误;④正确. 亦或如下图所示. “非”表示下列命题: 中飞机;击中飞机;飞机;中飞机. h飞机是pi且p2;飞机是pi且p2;飞机是pi且P2,或p2 __肆„/ BAnBA 3反例如下图所示. A峯BA述反之,同理. 答案: ④ ax+b< 7•命题: 已知a、b为实数,若X2 0有非空解集,则a2—4b>0,写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假. 分析: 原命题中,a、b为实数是前提,条件是x2+ax+b<0有非空解集(即不等式有解),结论是a2—4b>0,由四种命题的关系可得出其他三种命题• 解: 逆命题: 已知a、b为实数,若a2—4b>0,则x2+ax+bw0有非空解集• 否命题: 已知a、b为实数,若x2+ax+b<0没有非空解集,则a2—4bV0. 逆否命题: 已知a、b为实数,若a2—4bv0,则x2+ax+b<0没有非空解集• 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题• 8.写出下列命题非的形式: (1)p: 函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点; (2)q: 若x=3或x=4,则方程X2—7x+12=0. 解: (1)函数f(x)=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点或至少有两个交点. (2)若x=3或x=4,贝qx2—7X+12疋0. 探究创新 9.小李参加全国数学联赛,有三位同学对他作如下的猜测. 甲: 小李非第一名,也非第二名;乙: 小李非第一名,而是第三名;丙: 小李非第三名而是第一名.竞赛结束后发现,一人全猜对, 人全猜错,问: 小李得了第几名? 猜对一半 解: (1)假设小李得了第三名,则甲全猜对,乙全猜错,显然与题目已知条件相矛盾,故假设不可能. 乙猜对 (2)假设小李得了第二名,则甲猜对一半,半,也与已知条件矛盾,故假设不可能. (3)假设小李得了第一名,则甲猜对一半,乙全猜错,丙全猜对,无矛盾. 综合 (1) (2)(3)知小李得了第一名. •思悟小结 1•有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中,字面上未出现“或”与“且”字,此时应从语句的陈述中搞清含义,从而分清是“p或q”还是“P且q”形式.一般地,若两个命题属于同时都要满足的为“且”,属于并列的为“或”• 命题来判断(或推证). 2•原命题与它的逆否命题同为真假,原命题的逆命题与否命题同为真假,所以对一些命题的真假判断(或推证),我们可通过对与它同真假的(具有逆否关系的) •教师下载中心教学点睛 1. “p且q”形式的复合命 或”与“且”字,此 p 有的“P或q”与题语句中,字面上未出现 时应从语句的陈述中搞清含义,从而分清是或q”还是“P且q”形式.一般地,若两个命题属于同时都要满足的为“且”,属于并列的为 “或”• 2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系• 拓展题例 【例1】写出下列各命题的否定及其否命题,并判断它们的真假. (1)若x、y都是奇数,则x+y是偶数; (2)若xy=O,则x=0或y=0; (3)若一个数是质数,则这个数是奇数.解: (1)命题的否定: x、y都是奇数,则x+y不是偶数,为假命题. 原命题的否命题: 若x、y不都是奇数,则x+y不是偶数,是假命题. (2)命题的否定: xy=O则x工0且目丰0,为假命题. 原命题的否命题: 若xyH0,则x半0且沪0,是真命题. (3)命题的否定: 一个数是质数,则这个数不是奇数,是假命题. 原命题的否命题: 若一个数不是质数,则这个数不是奇数,为假命题. 【例2】有A、B、C三个盒子,其中一内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条 A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内 C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.如果三张纸条中只有一张写的是真的,请问苹果究竟在哪个盒子里? 解: 若苹果在A盒内,则A、B两个盒子上的纸条写的为真,不合题意. 若苹果在B盒内,则A、B两个盒子上的纸条写的为假,C盒子上的纸条写的为真,符合题意,即苹果在B盒内. 同样,若苹果在C盒内,则B、C两盒子上的纸条写的为真,不合题意. 综上,苹果在B盒内.
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