高中数学三角函数的周期性.docx
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高中数学三角函数的周期性
三角函数的周期性、创新题型研究
【内容提要】1.函数的周期性;2.三角函数的周期性的判定;3.三角函数周期性的应用;【2.三角函数的周期性的判定】
【例2】函数
的最小正周期为.
【解析】
,所以函数的最小正周期为
。
【变式1】函数
的最小正周期为
【解析】由公式可得函数的最小正周期为
【变式2】(2012年高考(上海春))函数
的最小正周期为_______.
【解析】由公式可得函数的最小正周期为
【变式3】(2010浙江文数)函数
的最小正周期是
【解析】
函数的最小正周期为
【变式4】求函数
的最小正周期.
【解析】
(
),∴函数
的最小正周期为
(函数
的图象如右图所示)。
【变式5】函数
的最小正周期为
【解析】
,根据正切函数定义域,
,即每
单位的区间上,函数图像要去掉一个点
,函数图像是每两个
单位,重复出现一次完全相同的图像,所以周期是
。
【变式6】函数
的最小正周期为()
A
B
C
D
B【解析】将函数解析式化为
,由定义域的限制可得。
【3.三角函数周期性的应用】
【例3】设函数
,若对任意x∈R,都有,f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1—x2|的最小值为()(A)4(B)2(C)1(D)
B【解析】对任意x∈R,都有,f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,说明f(x1)是函数的最小值,最低点横坐标是x1,f(x2)是函数的最大值,最高点横坐标是x2,求|x1—x2|的最小值即求两个最高点与最低点最近距离,也就是半个函数的最小正周期T。
【变式1】已知函数
为偶函数
<
<
,其图象与直线y=2的某两个交点横坐标为
,
,
的最小值为
,则( )
A.
B.
C.
D.
A【解析】函数
为偶函数
<
<
,则
;图象与直线y=2的某两个交点横坐标为
,
,即函数图像两个最高点的横坐标,
的最小值为
,说明函数图像两个最高点最近距离是
,从而得到函数的最小正周期T=
,
。
【变式2】已知函数
,
的图像与直线
的两个相邻交点的距离等于
,则
的单调递增区间是
【解析】
,由题设
的周期为
,∴
,由
得,
,故选C
【变式3】已知函数
的图像与直线
的交点间的最小距离是
,则
=______。
【解析】函数
的图像与直线
的交点间的最小距离是一个周期
,所以函数
最小正周期
,
的值
。
【变式4】(2012年高考(陕西理))函数
(
)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为
若
且
则
的值是.
【解析】函数
的解析式为
即
∵
∴
∴
故
【变式5】为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是( )A.98πB.
πC.
πD.100π
B【解析】由题意至少出现50次最大值即至少需用49
个周期,∴49
·T=
·
≤1,∴ω≥
π,故选B.
【4.数列的周期性】
【例4】已知数列
中,
(
),
(
),能使
的
可以等于()A.
B.
C.
D.
【解析】∵
;
;
∴
,接着
,
,
是周期为
的周期数列;
∴
当且仅当
为周期的整数倍,即
,符合条件的只有C项.
【变式1】【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式
,其前n项和为Sn,则S2012等于()A.1006B.2012C.503D.0
A.【解析】因为函数
的周期是4,所以数列
的每相邻四项之和是一个常数2,所以
.故选A
【变式2】(2001上海春16)若数列{an}前8项的值各异,且an+8=an对任意n∈N*都成立,则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为()
A.{a2k+1}B.{a3k+1}C.{a4k+1}D.{a6k+1}
B【解析】∵k∈N*,∴当k=0,1,2,…7时,利用an+8=an,数列{a3k+1}可以取遍数列{an}的前8项.
【变式3】已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,记Sn=x1+x2+L+xn,则下列结论正确的是()
A.x100=-a,S100=2b-aB.x100=-b,S100=2b-aC.x100=-b,S100=b-aD.x100=-a,S100=b-a
A.【解析】x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,x7=a,x8=b,….易知此数列循环,xn+6=xn,于是x100=x4=-a,又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0,故S100=2b-a.选A.
【变式4】已知f(n)=sin
(n∈N*),则f
(1)+f
(2)+…+f(2013)=________.
【解析】由题意知f
(1)=sin
=
,f
(2)=sin
=
,f(3)=sinπ=0,f(4)=sin
=-
,f(5)=sin
=-
,f(6)=sin2π=0,f(7)=sin
=sin
=
…由此可得函数f(n)的周期T=6.所以f
(1)+f
(2)+…+f(2013)=335×[f
(1)+f
(2)+…+f(6)]+f(2011)+f(2012)+f(2013)=f
(1)+f
(2)+f(3)=
.
【变式5】已知数列
中,
是其前
项和,若
,且
,则
=,
.
6,4020【解析】易算出
,即
是周期为
的数列,故
,
.
【变式6】我们可以利用数列
的递推公式
求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则
;研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么第
个
是该数列的第项.
28,640【解析】
,同时
,因此
;
第
个
出现在第
项,因此第
个
是该数列的第
.
【变式7】(2009北京理)已知数列
满足:
则
________;
=_________.
1,0【解析】
,
.
【变式8】在数列
中,已知
,当
时,
是
的个位数,则
.
6【解析】∵由题设得
,
,
,∴由此可知数列
中的各项从第
项起是以
为周期反复出现的(反复出现
).又注意到
,故所求
.
【5.迭代函数的周期性】
【例5】(2007年全国高中数学联赛江西省预赛)设
,又记
则
()
A.
B.
C.
D.
B【解析】
,
,
是周期为4的迭代函数,
,故选B.
【变式1】设
,又记
,
,
,则
()A.
B.
C.
D.
C【解析】
,
,
,一般地,
,
是以
为周期的数列.∴
,选C.
【变式2】设函数
(其中
),
是
的小数点后第
位数字
,则
的值为.
2【解析】
,
,
,
,
,
,开始出现循环,
,因此
=2.
【变式3】若
等于
的各位数字之和,如
,
,则
;记
,
,…,
,
,则
___.
11【解析】
,
,
,开始循环.2008÷3=669…1,因此
11.
【变式4】(上海交通大学2004年保送生考试)
,对于一切自然数n,都有
,且
,求
.
x【解析】由条件解得
,以是
是周期为2的迭代函数,从而
。
【变式5】(2005年复旦大学自主招生)定义在
上的函数
满足
,则
=_______
2005【解析】令
,得
①,令
,得
②。
由①②,得
。
【6.三角函数的轴对称性】
【例6】设函数
图象的一条对称轴方程为
则直线
的倾斜角为()A.
B.
C.
D.
【解析】
,所以
,直线
的斜率
,倾斜角为
。
故选B。
【变式1】如果函数
的图象关于直线
对称,则
【解析】代入对称轴方程到函数解析式,其值应为函数的最值,解方程可得a=-1.
【变式2】(2012年高考(福建文))函数
的图像的对称轴方程是
【解析】
.
【变式3】(2010福建理数)已知函数
和
的
图象的对称轴完全相同。
若
,则
的取值范围是。
【解析】
,因为
,所以
,由三角函数图象知:
的最小值为
,最大值为
,所以
的取值范围是
。
【变式4】(2012陕西理)函数
(
)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为
若
且
则
的值是.
【解析】函数
的解析式为
即
∵
∴
∴
故
【变式5】(2012年高考(课标文))已知
>0,
直线
=
和
=
是函数
图像的两条相邻的对称轴,则
=
【解析】由题设知,
=
∴
=1,∴
=
(
),
∴
=
(
),∵
∴
=
【变式6】若
对任意实数t,都有
.记
,则
.
【解析】由
知函数的对称轴为
【7.三角函数的点对称性】
【例7】函数f(x)=sin(2x+φ)+
cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是()
A.φ=2kπ-
,k∈ZB.φ=kπ-
,k∈Z
C.φ=2kπ-
,k∈ZD.φ=kπ-
,k∈Z
【解析】f(x)=sin(2x+φ)+
cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+
),
其对称中心是
,又图像关于原点对称,∴
,
∴φ=kπ-
,k∈Z。
故选D.
【变式1】函数
的图象的对称中心是
【解析】
所以对称中心为
。
【变式2】函数
()
A.
B.
C.
D.
D【解析】函数
则
图象一个对称中心是原点,将
代入
,
,有
,得
。
答案:
D.
【变式3】设函数y=2sin(2x+
)的图象关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈[-
,0],则x0=___.
-
【解析】∵函数y=2sin(2x+
)的对称中心是函数图象与x轴的交点,∴2sin(2x0+
)=0,∵x0∈[-
,0]∴x0=-
.
【变式4】函数
的图像关于点
中心对称,则
的最小值为
【解析】代入点
,易得
【变式5】函数
(x∈R)的图象为C,以下结论中:
①图象C关于直线
对称;②图象C关于点
对称;
③函数f(x)在区间
内是增函数;
④由
的图象向右平移
个单位长度可以得到图象C.
则正确的是.(写出所有正确结论的编号)
①②③【解析】当
时,
所以为最小值,所以图象C关于直线
对称,所以①正确。
当
时,
,所以图象C关于点
对称;所以②正确。
,当
时,
,所以
,即
,此时函数单调递增,所以③正确。
的图象向右平移
个单位长度,得到
,所
以④错误,所以正确的是①②③。
【8.周期性与对称性的综合应用】
【例8】已知定义在R上的函数
的图象关于点
对称,且满足
,又
,
,则
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- 高中数学 三角函数 周期性