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19与圆的位置关系
与圆的位置关系
一、知识要点概述
1、点与圆的三种位置关系
设圆的半径为r,点P到圆心的距离为d,则
2、直线与圆的三种位置关系
设圆的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,则
3、切线的判定方法除定义(直线l与圆只有惟一的公共点)外,还有:
(1)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
(2)过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线.
4、切线的性质:
(1)切线和圆只有一个公共点;
(2)切线和圆心的距离等于半径;
(3)切线垂直于过切点的半径;
(4)过圆心且垂直于切线的直线必过切点;
(5)过切点且垂直于切线的直线必过圆心.
5、从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
6、注意三角形“四心”的区别
外心——三边中垂线的交点,为三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等.
内心——三个内角平分线的交点,为三角形内切圆的圆心,它到三角形三边距离相等,其中直角三角形内切圆半径等于周长的一半与斜边的差.
重心——三条中线的交点.
垂心——三条高的交点.
7、圆与圆的位置关系
设两圆半径分别为R,r(R≥r>0),圆心距为d,则关于圆与圆的五种位置关系,应掌握下表内容.
位置关系
圆心距d与
半径的关系
交点数
内公切线数
外公切线数
连心线的特征
外离
d>R+r
0
2
2
外切
d=R+r
1
1
2
切点在连心线上
内切
d=R-r
1
0
1
切点在连心线上
相交
R-r 2 0 2 连心线垂直平分公共弦 内含 d 0 0 0 二、典型例题剖析 例1、已知两圆的半径为r1=1,r2=3,圆心距d和r1,r2恰好能构成一个三角形,则: (1)这两圆有_________公共点; (2)d的取值范围是_________;(3)这两圆的位置关系是_________. 分析: 由于圆心距d和r1,r2恰好能构成一个三角形,可知|r1-r2| 2 两圆相交 两圆有两个公共点. 解: (1)2; (2)2 (3)相交. 例2、如图,AB是⊙O的直径,D在AB的延长线上,BD=OB,C在圆上,∠CAB=30°.求证: DC是⊙O的切线. 分析: 因C在圆上,欲证DC是圆的切线,只需证明OC⊥CD即可,这一步可通过∠OCB+∠BCD=90°得到. 证明: 连结OC、BC. ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°. 又OC=OB,∠CAB=30°, ∴△BCO为等边三角形,即OB=OC=BC. 又BD=OB,∴BD=BC,∴△BDC为等腰三角形, ∴∠BCD= ∠ABC=30°, ∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°, ∴DC是⊙O的切线. 例3、如图,AB是⊙O的直径,AD、BC、CD是⊙O的切线,切点分别是A、B、E,DO、AE相交于点F,CO、BE相交于点G.求证: (1)CO⊥DO; (2)四边形EFOG是矩形. 分析: (1)欲证OC⊥OD只需证∠ODC+∠OCD=90°. 根据切线长定理,得∠ODC+∠OCD= (∠ADC+∠BCD). 再由切线的性质不难得AD//BC,从而∠ADC+∠BCD=180°, (1)获证. (2)仍由切线长定理,可证AE⊥DO,BE⊥CO,而∠AEB=90°, (2)获证. 证明: (1)∵AB是⊙O的直径,AD、BC是⊙O的切线, ∴AD⊥AB,BC⊥AB, ∴AD//BC, ∴∠ADC+∠BCD=180°. 又∵DC是⊙O的切线, 由切线长定理,得∠ODC= ∠ADC,∠OCD= ∠BCD, ∴∠ODC+∠OCD= (∠ADC+∠BCD)=90°, 故∠DOC=90°,即OC⊥OD. (2)∵DA、DE分别切⊙O于点A、E, ∴DA=DE,∴AE⊥DO, ∴∠EFO=90°. 同理BE⊥CO,∠EGO=90°. 又AB是直径,∴∠FEG=90°, ∴四边形EFOG是矩形. 点评: 在有关圆的问题中,切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据. 例4、如图,在直角坐标系中,点O′的坐标为(2,0),⊙O′与x轴交于原点O和点A.又B、C、E三点的坐标分别为(-1,0),(0,3),(0,b),且0 (1)求点A的坐标和经过B、C两点的直线的解析式; (2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与⊙O′有哪几种位置关系? 并求出每种位置关系中b的取值范围. 分析: 本例是数形结合类的结论探索型问题.其中第 (1)问不难求解;第 (2)问应先设点E在OC上移动至某处时,恰使直线BE切⊙O′于点M.下面的目标是探求OE之长,即知 .再由0 解: (1)由题设条件可得A(4,0). 设经过B、C两点的直线的解析式为y=kx+b,将B(-1,0),C(0,3)代入,易求得直线的解析式为y=3x+3. (2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与⊙O′有三种位置关系: 相离、相切、相交. 设当点E在OC上移动至某处时,恰使直线BE切⊙O′于点M,连结O′M. ∵BM切⊙O′于点M, ∴O′M⊥BM且O′M=2. 在Rt△BMO′中,∵BO′=3,O′M=2, 又∵OE⊥OB,O′M⊥BM,∠EBO=∠O′BM, ∴Rt△BEO∽Rt△BO′M 点评: 结论探索型问题是近几年中考的热点题型.解题时,一般充分利用已知条件或图形特征进行猜想和分析,发现规律、获取结论. 例5、如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O2的切线CF交⊙O1于点C,直线CB交⊙O2于点D,直线DA交⊙O1于E,连结CE.求证: (1)△CAE是等腰三角形; (2)DA·DE=CD2-CE2. 证明: (1)连结AB. ∵CA切⊙O2于点A, ∴∠FAD=∠ABD. 又∵四边形ABCE为⊙O1的内接四边形, ∴∠ABD=∠E,∴∠FAD=∠E. 又∵∠FAD=∠EAC, ∴∠E=∠EAC, ∴CE=CA,即△ACE为等腰三角形. (2)∵CA切⊙O2于点A, ∴∠CAB=∠D. 又∵∠ACB=∠DCA, ∴△CAB∽△CDA, ∴ ,即CA2=CB·CD.① 又∠ABD=∠E( (1)已证),∠ADB=∠CDE, ∴△ABD∽△CED, ∴ ,即DA·DE=DB·DC,② ①+②得: CA2+DA·DE=CB·CD+BD·CD=CD2, ∴DA·DE=CD2-CA2=CD2-CE2. 点评: 一条公共弦的连结,使弦切角与圆周角、圆内接四边形的外角与内角之间得以沟通,可见“两圆相交、连公共弦”是多么重要.而更多的时候要用到“连心线垂直平分公共弦”这条重要性质的传递作用. 例6、⊙O1与⊙O2外切于点P,一条公切线为AB,A、B为切点.设两圆的半径为r1、r2.求证: AB2=4r1r2. 证法一: 如图 (1),过两圆的切点P作内公切线PC交AB于点C,连结O1C、O2C及O1P、O2P. ∵AB、CP均为两圆的切线, ∴CA=CP=CB,O1C平分∠ACP,O2C平分∠BCP, ∴∠O1CO2=90°. 又P在两圆连心线O1O2上, ∴O1O2为Rt△O1CO2的斜边,且CP⊥O1O2. 由Rt△O1PC∽Rt△CPO2得CP2=O1P·O2P, 即 , ∴AB2=4r1r2. 证法二: 如图 (2),连结O1A、O2B及O1O2,过O1作O1D⊥O2B于D. ∵AB为两圆的公切线, ∴O1A⊥AB,O2B⊥AB, ∴四边形ABDO1为矩形,∴BD=AO1,O1D=AB. 设⊙O1,⊙O2的半径分别为r1、r2(r2>r1),则 O1O2=r1+r2,O2D=r2-r1. 在Rt△O1DO2中,O1D2=O1O22-O2D2=(r1+r2)2-(r2-r1)2=4r1r2, 即AB2=4r1r2. 点评: 证法 (一)作两圆的内公切线,充分发挥了切线长定理的两个作用(切线长相等、点C与圆心的连线平分两条切线的夹角);证法 (二)是通过平移切线AB,化归为解直角三角形问题来解决,显得简洁、直观,这些都是常用的方法. 例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且O2点在⊙O1上. (1)如图 (1),AD是⊙O2的直径,连结DB,并延长交⊙O1于点C.求证: O2C⊥AD; (2)如图 (2),如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在直线是否与AD垂直? 证明你的结论. 证明: (1)连结AB,则有∠AO2C=∠ABC=180°-∠ABD=90°, ∴CO2⊥AD. (2)CO2所在直线与AD垂直,理由: 作直径AD1交⊙O2于D1,连结D1B并延长交⊙O1于C1,连结AB. 由第 (1)问可知∠AO2C1=90°, ∴∠AD1B+∠BC1O2=90°. 在⊙O2中,∠AD1B=∠ADB,在⊙O1中,∠BC1O2=∠BCO2, ∴∠ADB+∠BCO2=90°,∴∠DEC=90°,∴CE⊥AD. 点评: 解决此类问题,关键是要找出一般与特殊的关系.在图形变换中,要找出不变量. 冲刺练习 一、填空题. 1、等腰直角三角形内切圆半径与外接圆半径之比是_________. 2、在△ABC中,∠A=80°.若H为垂心,则∠BHC=_________;若O为外心,则∠BOC=_________;若I为内心,则∠BIC=_________. 3、已知AB是⊙O的直径,BC切⊙O于点B,AC交⊙O于点D,⊙O的切线DE交BC于E.那么DE︰BC=_________. 4、△ABC中,AB=12,BC=10,AC=7,AB、BC、CA分别切⊙O于D、E、F点,则AD=_________,BE=_________,CF=_________. 5、已知半径不相等的两圆有公共点,则两圆的公切线条数是__________. 6、如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,CA是⊙O1的直径,CA、CB的延长线分别交⊙O2于D、E两点.若AD=CB=2cm,BE=10cm,则⊙O2的半径是__________cm. 7、如图,在边长为3cm的正方形ABCD中,⊙O1与⊙O2相外切,且⊙O1分别与DA、DC边相切,⊙O2分别与AB、BC边相切,则圆心距O1O2的长为__________. [答案] 二、选择题. 8、如图,PC、DA为⊙O的切线,AB为⊙O的直径.若DA=2,CD︰DP=1︰2,则AB的长为( ) A. B.4 C. D.2 9、若⊙O外一点P与点O的距离为4cm,从P向⊙O作切线,切线长与圆的半径之差为2cm,则圆的半径为( )cm. 10、如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=90°,AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于( ) A. B. C. D. 11、如图,⊙O2与⊙O1内切于点E,⊙O1的弦AB过⊙O2的圆心O2交⊙O2于点C、D.若AC︰CD︰DB=2︰4︰3,则⊙O2与⊙O1的半径之比为( ) A.2︰3 B.2︰5 C.1︰3 D.1︰4 12、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为 .若圆心距O1O2等于 ,则( ) A.两圆有两条外公切线,有且只有一条内公切线 B.两圆既有两条外公切线,又有两条内公切线 C.两圆只有两条外公切线,没有内公切线 D.两圆既无外公切线,也无内公切线 13、若⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,⊙O1与⊙O2的半径分别为2和 ,公共弦长为2,则∠O1AO2的度数为( ) A.105° B.75°或15° C.105°或15° D.15° [答案与提示] 三、解答题. 14、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC与⊙O相交于点D.连结AD并延长交BC于点E. (1)若BC= ,CD=1.求⊙O的半径; (2)取BE的中点F,连结DF.求证: DF是⊙O的切线; (3)过D点作DG⊥BC于G,OE与DG相交于点M.求证: DM=GM. [答案] 15、如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=r. (1)求证: DC是⊙O的切线; (2)求AD·OC的值; (3)若AD+OC= ,求CD的长. [答案] 16、如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线,交⊙O2于点C.过点B作两圆的割线分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P. (1)求证: PA·PE=PC·PD; (2)当AD与⊙O2相切且PA=6,PC=2,PD=12时,求AD的长. [答案] 17、如图,⊙O与⊙O1内切于点A,直线OO1交⊙O于点B,交⊙O1于另一点F.过B点作⊙O1的切线,切点为D,交⊙O于点C,DE⊥AB,垂足为E. (1)求证: CD=DE; (2)将两圆内切改为外切,其他条件不变, (1)中的结论是否成立? 请证明你的结论. [答案] 18、如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,切点为B、C.连结BA并延长交⊙O1于D,过D作CB的平行线交⊙O2于E、F. (1)求证: CD是⊙O1的直径; (2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论. [答案] 19、如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是BA延长线上一点,∠DAE=∠CAF. (1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论; (2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍,BC=6,AB=4.求BE的长. [答案] 20、如图,AD是⊙O的直径,一条直线l与⊙O相交于E、F两点.过点A、D分别作直线l的垂线,垂足是B、C,CD交⊙O于G. (1)求证: AD·BE=FG·DF; (2)设AB=m,BC=n,CD=p.求证: tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2-nx+p=0的两个实数根; (3)若 (2)中方程满足n2=4mp,判断直线l与⊙O的位置关系. [答案] 1、 2、100°;160°;130° 3、1︰2 4、4.5;7.5;2.5 5、1条或2条或3条 6、 7、 提示: 2、分别画出图形. 3、BE=DE=EC. 4、设AD=x,BE=y,CF=z,则 6、连结O1B,O2B,过O2作O2H⊥BE于H,易求得AC=4cm,则△CO1B为边长是2cm的正三角形,则O2H= .由勾股定理求得BO2= . 7、分别由O1、O2作AB的垂线,垂足为E、F,再作O2H⊥O1E于H,则O1H=O2H=3-(r1+r2). 由2[3-(r1+r2)]2=(r1+r2)2求得. 8、A 9、B 10、A 11、C 12、B 13、C 提示: 10、设⊙O的半径为r,作OE⊥AC于E,则△AEO∽△ACD,故有 . 11、作连心线O1O2,交⊙O1于F,则其必过点E.设⊙O1与⊙O2的半径分别为R、r,且r=EO2=2k,则AO2=4k,BO2=5k,故4k·5k=2k·(2R-2k),∴R=6k. 12、∵O1O2> ,∴两圆外离. 13、分圆心在公共弦的两侧和同侧. 14、解: (1)易求r=1. (2)连结OF,则OF//AE,可证△OBF≌△ODF, ∴∠ODF=∠OBF=90°, ∴DF是⊙O的切线. (3)∵DG//AB, . ∵AO=BO,∴DM=GM. 15、证: (1)连结OD,证∠OBC=90°及△OBC≌△ODC. (2)连结BD,由△ABD∽△OCB得AD·OC=2r2. (3)AD、OC是关于x的一元二次方程x2- +2r2=0的两个根,解得OC=4r.再由勾股定理得 . 16、解: (1)连结AB、CE,证△PCE∽△PAD即可. (2)由PB·PD=PA2得PB=3. 又∵PA·PC=PB·PE, ∴PE=4, 而DA2=DB·DE=9×16, ∴AD=12. 17、解: (1)连结DF、AD、AC,证Rt△EDA≌Rt△CDA即可. (2)成立,画图,证法同 (1). 18、解: (1)过A点作内公切线,连结AC,可证AB⊥AC. 连结CD,则CD的圆周角为90°,故CD是⊙O1的直径. (2)BE=BF=BC. 连结AE,△EBA∽△DBE,BE2=BA·BD. 又BC2=BA·BD,∴BE=BC. 又∵∠CBE=∠BEF,∠CBE=∠EFB, ∴∠EFB=∠BEF,∴BF=BE. 19、解: (1)两圆外切. 作⊙ABD的切线l交DE于H, 延长BA交⊙AEC于F,可证∠HAE=∠C, 再证AH也是⊙AEC的切线. (2)延长DA交⊙AEC于G,连结GF,可证△ADB∽△AGF, ∴AB︰AF=2(等于两圆的半径比). 又∵AB=4,∴AF=2, ∵BA·BF=BE·BC,∴BE=4. 20、解: (1)作OH⊥l于H,则CF=BE,△GCF∽△AFD,用BE代换CF即得. (2)连结AG,则AB=CG, (3)由n2=4mp得BC2-4AB·CD=0,即(FC+FB)2-4FC·FB=0, ∴(CF-FB)2=0,∴FC=FB, ∴F是BC的中点. 又E是BC的中点, ∴E与F重合,即直线l与⊙O相切.
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