电路第四版答案12.docx
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电路第四版答案12
第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱
12—1求图示波形的傅里叶级数的系数。
题12-1图
显然,f(t)为奇函数f(t)展开为傅里叶级数为
f(t)
a0(akcosk1tbksink1t)
k1
由于f(t)为奇函数,所以,有a00,ak0。
2aEE
而bk=2[m(1t)sin(k1t)]d(1t)m(1t)sin(k1t)d(1t)0aaa
Eam[
a
1tcos(k1t)
12sin(k1t)]
k2
aEm[cos(k1t)1tcos(k1t)
0akk
k12sin(k1t)]ak21a
2Em
2
k2a(a)
sinka
(k=1,2,3⋯⋯.)
12—2以知某信号半周期的波形如图所示。
试在下列各不同条件下画出整个周期的波形:
(1)a0=0;
(2)对所有k,bk=0;(3)对所有k,ak=0;(4)ak和bk为零,当k为偶数时。
解:
(1)当a0=0时,在后半个周期上,只要画出f(t)的负波形与横轴(t轴)所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。
以下题解12—2图中的(b),(c)图均满足此条件。
题解12-2图
2)对所有k,bk=0,f(t)应为偶函数,即有f(t)=f(-t),波形如题解12—2图(a)所示,波形对称于纵轴
(3)对所有k,ak=0,f(t)应为奇函数,即f(t)=-f(-t),波形如图(b)所示,波形
对称于原点。
(4)ak和bk为零,当k为偶数时,此时,f(t)称为奇谐波函数,既ak和bk只
出现在k为奇数时,函数f(t)满足镜对称性质,即有f(t)=-f(t+T),波形如图(c)
2
所示。
注:
12—1和12—2题的分析说明,周期函数含有某种对称时,其傅里叶级数中不含某些谐波。
充分利用这些对称性,可使分解计算大为简化。
需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外,还与计时起点的选择有关,因此,对某些周期函数可以适当选择计时起点,使它成为奇函数或偶函数,以便简化傅立叶级数的系数计算。
12—3一个RLC串联电路。
其R=11,L=0.015H,C=70F,外加电压为
u(t)=[11+141.4cos(1000t)–35.4sin(2000t)]V试求电路中的电流i(t)和电路消耗的功率。
解:
RLC串联电路如题解12—3图所示,电路中的非正弦周期电压u(t)为已知,分别有直流分量,基波和二次谐波分量。
可写出电流相量的一般表达式
其中,L=15,1=14.286.
C
电压分量分别作用,产生的电流和功率分量为:
1)直流U0=11V作用时,电感L为短路,电容C为开路,故,I0=0,P0=0
2)基波(k=1)作用时,令U=10000V
1
Z
(1)=R+j(L—1)=(11+j0.714)=11.0233.710
C
P
(1)=I(21)R=905.28W
3)二次谐波(k=2)作用时,令U
(2)=35.4900=25.032900V
2
11
Z
(2)=R+j(2L—)=11+j(30—14.286)=25.36664.30
2C2
P
(2)=I(22)R=(0.98)211=10.716W
所以,电路中的电流i(t)为
i(t)=0+29.072cos(1000t—3.710)+20.987cos(2000t+25.70)
=12.83cos(1000t-3.710)–1.396sin(2000t–64.30)A
电路消耗的功率
P=P0+P
(1)+P
(2)=905.28+10.716=916W
12—4电路如图所示,电源电压为
uS(t)=[50+100sin(314t)–40cos(628t)+10sin(942t+200)]V试求电流i(t)和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。
解:
设电流i(t)第k次谐波的向量为Im(k)(采用复振幅相量)。
(1)当k=0
直流分量U0=50V作用时,电路如题解12-4图所示,有Z0=R+R1=60,故
5
Ps0=U0I0=505=41.667W
s0006
2)当k=1,即=1=314rads,基波向量Usm
(1)=100900V作用时,有
(1)=10+j3.14+
=71.26719.310
j0.0157
50j31.4
1010
Ps
(1)
Usm
(1)Im
(1)cos(19.310)1001.403cos19.310
=66.2W
(3)当k=2,即21628rads,二次谐波向量Usm
(2)4000V作用时,
有
Z
(2)10j6.28
1
1
j0.0314
50j62.8
42.52854.5520
Usm
(2)
Im
(2)Z
Z
(2)
P1UI
Ps
(2)2Usm
(2)Im
(2)
4)当k=3,即
40000.941125.4480A
42.52854.5520
cos(54.5520)1400.94cos54.552010.915W
2
31942rads,三次谐波相量USM31070V作用时,有
Z310j9.42
j0.047150j94.2
20.55251.19
Im3USM310700.48718.81A
Z320.55251.19
P1U
PS32USM3
所以,电流i(t)为
m3cos(51.19)1100.487cos51.191.526W
it0.8331.403sin(314t19.31)0.941cos(628t54.552)0.487sin(942t71.19)A
电源发出的平均功率Ps为
PSPS0PS1PS2PS341.66766.210.9151.526120.308W
电源电压有效值
US
U2USM1USM2USM3
U0222
502100240210291.378V
22
电源电流有效值
521.40320.94120.48721.497A
6222
12—5有效值为100V的正弦电压加在电感L两端时,
得电流I=10A,当电压中有3
次谐波分量,而有效值仍为100V时,得电流I=8A
。
试求这一电压的基波和3次谐
波电压的有效值。
解:
根据题意,可求得基波时的感抗为
L10010
ZL1
故,三次谐波时的感抗为
ZL33L30
所以,含有基波和三次谐波的电压和电流有效值应满足下列关系式
U12U321002
222
82
代入参数值并整理得
U12U321002
22
9U12U3264900
解之,得
U1
2
64900100277.14V
U3100277.14263.64V
12—6以知RLC串联电路的端口电压和电流为
u(t)[100cos(314t)50cos(942t300)]Vi(t)[10cos(314t)1.755cos(942t3)]A
试求:
(1)R,L,C的值;
(2)3的值;(3)电路消耗的功率
解:
RLC串联电路如图12—6图所示,电路中的电压u(t)和电流i(t)均为已
知,分别含有基波和三次谐波分量。
(1)由于基波的电压和电流同相位,所以,RLC
电路在基波频率下发生串联谐振。
故有
RUm110010I
m110
且XL1Xc1X1
而三次谐波的阻抗为
Z3的模值为
解得X1为
2)三次谐波时,Z3的阻抗角为
arctan10arctan2.66869.450
3)
电路消耗的功率P为
110
P10010501.755cos69.450515.4W22
12—7图示电路各电源的电压为
U060V
u1[1002cos(1t)202cos(51t)]V
u3
u2502cos(31t)V
u3[302cos(1t)202cos(31t)]V
u4[802cos(1t)102cos(51t)]V
u5102sin(1t)V
1)试求Uab,Uac,Uad,Uae,Uaf;
2)如将U0换为电流源is22cos(71t),试求电压Uac,Uad,Uae,Uag(Uab等为对应电压的有效值)。
解:
本题各电源电压含有的各次谐波分量为:
恒定分量和4个奇次(1,31,51,71)谐波分量,各电压的有效值计算如下:
(1)
Uab100202101.98V
Uac1002502202113.578V
Uad6021002502202128.45V
Uae602(10030)2(5020)2202147.648V
Uac1002502202113.578V
22222
Uad[(8030)2102]20210220259.16V
Uac(802102)10220283.666V
UaguR20V
注:
本题在求解各电压有效值中,需要先将不同电源电压的相同频率的时域响应相加,再进行各次谐波有效值的计算,最后求出所要求解的非正弦电压的有效值。
41的谐波分量能全部传送至
12—8图示为滤波电路,需要负载中不含基波分量,但负载。
如11000rads,C1F,求L1和L2
L1和C在1处
解:
欲使负载中不含基波分量,既在此时负载中的电流需为零,则有发生并联谐振,由谐振条件得
1
1000rads
若要求4次(41)谐波分量能全部传送至负载端,需要此电路在41处发生串联谐振,因
而L1与C并联的电抗为
串联谐振时,有
800
j(XL2XL1C)j(4000L28030)0
即4000L2800
3
12—9图示电路中uS(t)为非正弦周期电压,其中含有31及71的谐波分量。
如果
解:
根据图示结构知,欲使输出电压
要求在输出电压u(t)中不含这两个谐波分量,问L,C应为多少?
u(t)中不含31和71的谐波分量,就要求
由谐振条件,得
若在71处1F电容与电感L发生并联谐振,则电路中7次谐波的电流
由谐振条件,得
7,L
71LC1,L4912C14912
也可将上述两个频率处发生谐振的次序调换一下,即在31处,使L与C1发生
并联谐振,而在71处,使L1与C发生串联谐振,则得
1
491
12—10图示电路中
is[510cos(10t200)5sin(30t600)]A,L1L22H,M0.5H。
求图中交流电表
的读数和u2
解:
电路各响应的求解,可以看作是电压源us1的各频率分量和电流源is2单独作用时,所得各响应分量的叠加,具体计算如下
1)直流Us1(0)1.5V单独作用时,电感短路,电容开路,电路如题解12—11图(a)
2)
所示,
Us1
(1)50
3j4553.130
I
(1)UR
(1)153.13A
Ps1
(1)Us1
(1)I
(1)cos53.13510.63W
3)电流源is2(21.5rads)单独作用时,电路如题解图(c)所示。
令
2001
Is290290A,jXL
(2)j2Lj3,jXC
(2)jj1.
22C对独立结点a,列出结点电压方程
(1)Ua
(2)Is22UR
(2)jXL
(2)
Ua
(2)3UR
(2)
代入参数值并消去Ua
(2),有
(j131)3UR
(2)Is22UR
(2)
3
所以,电压uR为
uR(t)0.52cos(2t53.130)2cos(1.5t450)V
电压源us1发出的功率为
Ps1Ps1(0)Ps1
(1)0.7533.75W
*12-12对称三相星形连接的发电机的A相电压为
uA[2152cos(1t)302cos(31t)102cos(51t)]V,在基波频率下负载阻抗为
Z(6j3),中线阻抗ZN(1j2)。
试求各相电流,中线电流及负载消耗的功率。
如不接中线,在求各相电流及负载消耗的功率;这时中点电压UN'N为多少?
解:
图示电路中,对称三相电压源的基波构成正序对称三相电压,5次谐波构成负序对称三相电压,而3次谐波构成零序对称组。
由于此电路是对称三相四线制连接,对正,负序电压分量而言,可以归结为一相(A相)电路的计算且此时中线电流为零。
令UA
(1)21500V,UA(5)1000V,而
Z
(1)(6j3),Z(5)(6j15),则可得正序和负序对称组电流
根据对称性可以写出
20
IB
(1)a2IA
(1)32.05146.570A
IC
(1)aIA
(1)32.0593.430A
故,零序对称组电流为
UA(3)UN'N(3)300019.2368.96800
IA(3)IB(3)IC(3)1.05471.57A
Z(3)6j9
中线电流IN(3)为
.0
IN(3)3IA(3)3.16271.570A
所以,各相电流为
iA[32.052cos(1t26.570)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t68.20)]A
iB[32.052cos(1t146.570)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t51.80)]A
ic[32.052cos(1t93.430)1.0542cos(31t71.570)0.622cos(51t188.20)]A
而中线电流iN为
iN3.162cos(31t71.570)A
负载消耗的功率为
222222
P3(IA2
(1)IA2(3)IA2(5))R3(32.0521.05420.622)618517W
若不接中线,正序和负序对称组的各相电流均未改变而零序对称组电流为零(因为
UN'N(3)UA(3)),所以,最后各相电流中均无零序组电流。
即上述各相电流表达式中不
含3次谐波分量。
此时,负载消耗的功率为
2222
P3(IA2
(1)I2A(5))R3(32.0520.622)618497W
而中点电压UN'N中只有零序组电压即
UN'NUN'N(3)30V
*12-13如果将上题中三相电源连接成三角形并计及每相电源的阻抗。
(1)试求测各相电压的电压表读数,及题图中V1的读数,但三角形电源没有插入电压表V2;
(2)打开三角形电源接入电压表V2,如图示,试求此时两个电压表的读数。
解:
图示电路,是将上题中的对称三相电源连接成三角形电源,并考虑每相电源的阻抗,则
(1)当三角形电源中未插入电压表V2时,三角形电源构成闭合回路,其
端线电压中将不含零序对称组,而只含正序和负序对称组,故电压表V1的读数为
V12152102215.232V
(2)当打开三角形电源插入电压表V2时,由于此时三角形电源回路处
于开路,电路中无3次谐波的环流,且正序和负序对称组电压之和分别为零,电压表V2的读数为每相电压中3次谐波电压有效值的3倍,即
V23UA33090V
V12152102302217.31V
12—14求图示波形的傅里叶级数的指数形式的系数。
题12-14图
解:
图示波形f(t)在一个周期(1T2)的表达式为
f(t)展开为傅立叶级数的指数形式为
f(t)ckejk1t
k
由于f(t)为偶函数,且具有镜对称性质,所以,有C00和C2k0而
(k1,3,5,...)
3300399.450
1
UR(0)3Us1(0)0.5V
3
I(0)UR(0)0.5A
Ps1(0)Us1(0)I(0)1.50.50.75W
Us1
(1)52sin(2t900)A(12rads)的电压分量单独作用时,电路如题解图(b)
令Us1
(1)500V,jXL
(1)j1Lj4。
根据KVL,有
Us1
(1)jXL
(1)I
(1)2UR
(1)UR
(1)j4I
(1)3UR
(1)
UR
(1)I
(1)
解之,
IC(5)aIA(5)0.62188.20A
对图示电路中的零序对称组电压(既三次谐波),令UA(3)UC(3)UB(3)3000V,
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