北师大初中八年级数学下册《第五单元分式与分式方程》教案.docx
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北师大初中八年级数学下册《第五单元分式与分式方程》教案
第五单元分式与分式方程
第一课时
分式
教学目标
1.掌握分式的基本性质和分式的约分;
2.通过对分式的基本性质的归纳,培养学生观察,类比,推理的能力通过对分式的约分提高分析,解决问题的能力;
3.让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流,进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
教学重点:
会利用基本性质进行运算
教学难点:
把分式化简成最简分式
教学过程
第一环节知识准备(5分钟,教师引导学生回顾)
复习分数的基本性质.
问题:
的依据是什么?
第二环节情景引入(5分钟,教师引导学生发现性质,归纳性质)
通过对上题的回答,来回答本题,寻求两者之间的联系.与同伴讨论交流,从而归纳出分式的基本性质.
你认为分式
与
相等吗?
与
呢?
第三环节例题讲解(15分钟,教师板演,讲解约分注意事项,学生领会并识记)
例1、下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1)
(2)
例2、化简下列分式:
(1)
(2)
通过例1加深学生对分式的基本性质的理解和应用.例2让学生了解把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式.引导学生找出他们的公因式,并学会利用分式的基本性质进行约分,使结果为最简分式或整式.
实际教学例1下列等式的右边是怎样从左边得到的?
(1)
(2)
第四环节课堂反馈(10分钟,学生独立完成)
做一做
1.填空
(1)
(2)
2.化简
(1)
(2)
议一议
在
时,米仓和阿呆出现了分歧,米仓认为
=
,而阿呆认为
=
,你对他们的做法有何看法?
与同伴交流.
第五环节课堂小结(5分钟,引导学生进行总结)
通过问题的形式让学生自己总结出这节课的主要内容,谈谈在学习过程中有哪些困难和新发现.
这节课你有哪些收获?
在小结时学生能总结出本节课的重点是分式的基本性质,利用它可将分式化简,教师还可引导学生归纳出分式约分的步骤一是确定分子和分母的公因式,二是利用分式的基本性质,将分子和分母的整体都除以公因式。
类比的学习方法是学习新知识时常用的方法,让学生熟悉和初步掌握这种方法。
布置作业:
P72习题3.2
第二课时
分式的乘除法
教学目标;
1. 经历探索分式的乘除运算法则的过程,并能结合具体情景说明其合理性。
2. 会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数化归能力。
3. 能解决一些与分式有关的简单的实际问题。
教学重难点
教学重点:
分式的乘除运算法则,进行简单分式的乘除运算。
教学难点:
解决一些与分式有关的简单的实际问题。
教学过程
1. 创设情景,导出问题
观察下列运算:
2.探索交流,概括概念
概括:
与分数乘除法的法则类似,分式的乘除法的法则是:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,再与被除式相乘。
经观察、类比不难发现
3.巩固应用,拓展研究
例1计算下列各题:
例2通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。
假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都d,已知球的体积公式为最简分式的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.计算:
4.先化简,再求值。
5.回顾联系,形成结构
想一想:
分式的乘除法的法则是什么?
在做分式的乘除法时应注意些什么?
第三课时
分式的加减法
教学目标:
1.经历探索分式加减运算法则,理解其算理;
2.会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力;
3.能解决一些简单的实际问题,进一步体会分式的模型思想。
教学重难点
教学重点:
分式的加减运算;
教学难点:
解决一些简单的实际问题,进一步体会分式的模型思想。
教学过程
1.创设情景,导出问题
从甲地到乙地有两条路,每条路都是3km,其中第一条是平路,第二条有1km的上坡路、2km的下坡路,小丽在上坡路上的骑车速度为vkm/h,在平路上的骑车速度为2vkm/h,在下坡路上的骑车速度为3vkm/h,那么
(1) 当走第二条路时,她从甲地到乙地需要多长时间?
(2) 她走哪条路花费时间少?
少用多长时间?
2.探索交流,发现规律
讨论:
(1)同分母的分数如何加减?
(2)你认为
应等于什么?
(3)猜一猜,同分母的分式应该如何加减?
(让学生相互交流,引导学生通过与分数类比,大胆猜想分式的加减运算法则。
并让学生说明其合理性。
培养学生的探索能力。
)
归纳:
与同分母分数加减法的法则类似,同分母的分式加减法的法则是:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
3.练习巩固,促进迁移
做一做:
想一想:
(1)异分母的分数如何加减?
(2)你认为异分母的分式应该如何加减?
比如
应该怎样计算?
(鼓励学生在同分母分式加减的基础上,思考异分母分式的加减。
)
类比异分母分数的加减运算,学生容易想到,解决异分母分式的加减问题,其关键是化异分母分式为同分母分式的过程。
议一议:
小明认为,只要把异分母的分式化成同分母的分式,异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题。
小亮同意小明的这种看法,但他俩的具体做法不同。
你对这两种做法有何评论?
与同伴交流。
(在化成同分母分式的过程中,学生容易出现问题。
小明的做法往往是学生容易想到的,但比较麻烦。
教学时可比较两人做法,使学生在比较过程中体会到后一中方法的快捷。
)
根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分。
为了计算方便,异分母分式通分时,通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母。
用一用:
请你计算一下本课开始的行程问题中的分式的加减式。
(把所学的知识立即应用与实际问题,增强学生的学习兴趣。
)
4.练习巩固,促进迁移
(后两小题是一组异分母加减的简单题目,只要分子、分母同乘以一个常数即可以化为同分母分式的加减运算,为下节课一般的异分母加减运算做好准备。
)
5.回顾联系,形成结构
该如何进行分式的加减运算?
在运算时应注意些什么?
(通过提问方式引导学生小结主要知识及学习活动,养成学习——总结——再学习的良好习惯,发挥自我评价的作用,培养学生的语言表达能力
第四课时
1.探索交流,发现规律
做一做:
尝试完成下列各题:
与异分母分数加减法的法则类似,异分母的分式加减法的法则是:
异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
2.巩固应用,拓展研究
例2
例3 甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料,两次饲料的价格有变化,两位采购员的购货方式也不同,甲每次购买1000kg,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料。
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少?
(2)谁的购货方式更合算?
答案:
(1)设两次购买的饲料单价分别m元/kg和n元/kg(m、n是正数,且m≠n)
甲两次购买饲料的平均单价为
乙两次购买饲料的平均单价为
(2)甲、乙所购饲料的平均单价的差是
(让学生充分得思考、讨论、交流。
通过实例,提高学生的运算能力、代数推理能力和“数学化”的能力。
)
3.课堂练习,促进迁移
4.回顾联系,形成结构
异分母分式的加减法法则是什么?
这节课你有什么收获?
第五课时
分式方程
教学目标
1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型思想。
2.经历探索分式方程概念、分式方程解法的过程,会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过),会检验根的合理性,明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系。
3.经历“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程,发展学生分析问题的能力,培养学生的应用意识。
教学重难点
教学重点:
分式方程解法的过程,检验根的合理性。
教学难点:
掌握“实际问题——分式方程模型——求解——解释几解的合理性”的过程。
教学过程
1.创设情景,探索交流
情景一:
有两块面积相同的小麦试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获小麦9000kg和15000kg。
已知第一块试验田每公倾的产量比第二块少3000kg,分别求这两块试验田每公顷的产量。
你能找出这一问题中的所有等量关系吗?
如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg,那第二块试验田每公顷的产量是kg.
根据题意,可行方程。
。
答案:
等量关系包括:
第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量。
第一块试验田的面积=第二块试验田的面积
第二块试验田每公顷的产量是(x+3000)kg
情景二:
从甲地到乙地有两条公路:
一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路。
某客车在高速公路上的行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。
求该客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间。
这一问题中有哪些等量关系?
如果设客车由高速公路从甲地到乙的所需的时间为xh,那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为h。
根据题意,可得方程
。
答案:
等量关系包括:
600km=客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地的时间。
480km=客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地的时间。
客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h
由高速公路从甲地到乙地所需的时间=1/2×由普通公路从甲地到乙地所需的时间
2.深入探讨,概括概念
做一做:
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐灾。
已知第一次捐款的总额为4800元,第二次捐款的总额为5000元,第二次捐款的人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额刚好相等。
如果设第一次捐款的人数为x人,那么x满足怎样的方程?
(注意让学生努力寻找等量关系,加强学生的思维能力。
)
答案:
等量关系为
议一议:
上面所得到的方程有什么共同的特点?
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
3.练习巩固,促进迁移
见课本P78“随堂练习”
4.巩固应用,拓展研究
练习1:
甲6小时完成的工作改由甲、乙合作4小时可以完成,问乙单独做多少小时可以完成?
设乙单独做x小时可以完成,那么x应满足怎样的方程?
练习2:
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训,按原定的人数估计共需费用300元,后因人数增加到原定人数的2倍,费用享受了优惠,一共只需要480元,参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元,原定的人数是多少?
这一问题中有哪些等量关系?
如果设原定是x人,那么每人平均分摊元。
人数增加到原定人数的2倍,每个平均分摊元。
根据题意,可行方程。
:
等量关系包括:
实际参加培训的人数=2×原定参加培训的人数。
原计划每人平均分摊的费用-实际每人平均分摊的费用=4元;
方程为:
5.回顾联系,形成结构
什么是分式方程?
怎样列分式方程?
程为:
第六课时
1.创设情景,引出问题
解方程:
你能设法求出上节课中的分式方程的解吗
2.探索交流,发现规律
回顾:
解方程
时,我们一般是先去分母,两边同时乘以最小的公分母3×7,得
,即7x=9x+21,这种形式相对就容易计算。
通过移项,合并同类项求得x=-10.5。
联系:
对于分式方程
,如果两边同时乘以分母最小的公因式,是不是也能像上面的方程一样的解决呢?
请你试试看!
(通过一元一次方程的解法的展示后让学生探索交流,发现解分式方程的一般步骤。
)
解:
方程的两边都乘以x(x+3000),得
9000(x+3000)=15000x
解这个方程,得x=0.5
思考:
如何检验x=0.5是方程的解?
检验:
将x=0.5代入原方程,如果得到的左边的值等于右边的值,则它就是原方程的解。
请你检验一下x=0.5是不是方程的解?
(同过检验,体验方程解的意义,同时为分式方程的增根的研究作好准备。
)
3.例题讲解,加深印象
例1:
解方程:
解:
方法一:
方程两边都乘以2x,得
960-600=90x
解这个方程,得x=4
检验:
将x=4代入原方程,得
左边=45=右边,
所以,x=4是原方程的根。
方法二:
先化简得方程两边都乘以x,得
32-20=3x解这个方程,得x=4
检验:
将x=4代入原方程,得
左边=45=右边,
所以,x=4是原方程的根。
4.应用拓展,深化研究
议一议:
在解方程
时,小亮的解法如下:
你认为x=2是原方程的根吗?
与同伴交流。
(让学生充分进行讨论、交流。
寻找增根产生的原因。
)
在这里,x=2不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们称之为原方程的增根。
产生增根的原因是,我们在方程的两边同时乘了一个可能使分母为零的整式。
事实上,对于分式方程,当分式中分母的值为零时没有意义,所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了。
换言之,方程中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。
因为解分式方程可能会出现增根,所以解分式方程时,验根是必要步骤。
验根的方法有两种,一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验,这种方法道理简单,而且可以检查解方程时有无计算错误;另一种是把求得未知数的值代入分式的分母,看分母的值只否为零,这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。
5.练习巩固,课内深化.
(3)已知关于x的方程
的解是负数,求a的取值范围。
(6.回顾联系,形成结构
想一想:
解分式方程一般需要经历哪几个步骤?
第七课时
回顾与思考
教学目标:
1.使学生系统了解本章的知识体系及知识内容.使学生在掌握通分、约分的基础上进一步掌握分式的四则运算法则及它们之间的内在联系.在熟练掌握分式四则运算的基础上,进一步熟悉掌握分式方程的解法及其应用.
2.在学生掌握基本概念、基本方法的基础上将知识融汇贯通,进行一些提高训练.
3.培养学生对知识综合掌握、综合运用的能力,提高学生的运算能力.培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值。
教学重点和难点
1.教学重点:
(1)熟练而准确地掌握分式四则运算.
(2)熟练掌握分式方程的解法及应用.
2.教学难点:
分式、分式方程的模型思想的建立,以及分式和分式方程的应用。
教学过程
(一)总结知识体系
要求学生读教材P.86的回顾与思考,在读书时思考讨论:
1.这一章学习中要掌握哪些内容,有哪些知识点?
2.这一章中每一节学习的内容间有什么内在联系?
在学生讨论后,教师归纳总结出:
1)分式的定义、性质、运算:
(二)例题
在分式
中,当x为何值时,分式有意义?
分式的值为零?
分析:
提问.
(2)分式的分子、分母满足什么条件时,分式有意义?
(分母≠0)
(3)分式的分子、分母满足什么条件时,分式的值为正?
(分子、分母同号)
2、化简
(1)
(2)
(三)练习
教材P.86中1—4.
(四)小结
分式这一章最关键的也是最重要的是要求我们熟练掌握分式的运算,这也是我们以后学习的基础.我们要不断提高自己的计算能力.
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