高三数学一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语课时跟踪检测 文.docx
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高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语课时跟踪检测文
第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算
1.集合的含义与表示方法
(1)集合的含义:
研究对象叫做元素,一些元素组成的总体叫做集合.集合中元素的性质:
确定性、无序性、互异性.
(2)元素与集合的关系:
①属于,记为∈;②不属于,记为∉.
(3)集合的表示方法:
列举法、描述法和图示法.
(4)常用数集的记号:
自然数集N,正整数集N*或N+,整数集Z,有理数集Q,实数集R.
2.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
基本关系
子集
集合A的元素都是集合B的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B,且∃x∈B,x∉A
AB或
BA
相等
集合A,B的元素完全相同
A⊆B,且B⊆A
A=B
空集
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集
∀x,x∉∅,∅⊆A
∅
3.集合的基本运算
表示
运算
文字语言
符号语言
图形语言
记法
交集
属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A,且x∈B}
A∩B
并集
属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
{x|x∈A,或x∈B}
A∪B
续补集
全集U中不属于集合A的元素组成的集合
{x|x∈U,且x∉A}
∁UA
4.集合问题中的几个基本结论
(1)集合A是其本身的子集,即A⊆A;
(2)子集关系的传递性,即A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;
(3)运算性质
①A∩B=B∩A,A∩B=A⇔A⊆B.
②A∪B=B∪A,A∪B=B⇔A⊆B.
③∁S(∁SA)=A,(∁SA)∪(∁SB)=∁S(A∩B),(∁SA)∩(∁SB)=∁S(A∪B).
[小题体验]
1.(教材习题改编)下列关系中正确的序号为________.
①{0}=∅;②0∈{0};③∅{0};④{0,1}⊆{(0,1)};⑤{(a,b)}={(b,a)}.
解析:
由集合的有关概念易知②③正确.
答案:
②③
2.(教材习题改编)集合
,用列举法表示为________.
解析:
用列举法可知x可取0,1,2.
答案:
{0,1,2}
3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则A∩(∁UB)=________.
答案:
{2,4}
4.集合{a,b}的所有子集为________.
答案:
{a},{b},{a,b},∅
1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件.
2.要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系.
3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.
5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.
[小题纠偏]
1.若集合A={a+1,a-1,a2-3}满足1∈A,则实数a的值为________.
解析:
若a+1=1,则a=0,A={1,-1,-3},满足;若a-1=1,则a=2,此时a2-3=1,与集合的互异性矛盾,舍去;
若a2-3=1,则a=±2,a=2舍去,当a=-2时,A={-1,-3,1},满足.
答案:
0或-2
2.已知集合M={x|y=x2+2x+4},N={y|y=2x2+2x+3},则M∩N=________.
解析:
因为M=R,N=
,所以M∩N=
.
答案:
3.集合A={x|x=-y2+6,x∈N,y∈N}的真子集的个数为________.
解析:
当y=0时,x=6;当y=1时,x=5;当y=2时,x=2;当y≥3时,x∉N,故集合A={2,5,6},共含有3个元素,故其真子集的个数为23-1=7.
答案:
7
[题组练透]
1.(易错题)已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为________.
解析:
集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.
答案:
9
2.已知集合A={x|ax2-3x+2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
解析:
∵A=∅,∴方程ax2-3x+2=0无实根,当a=0时,
x=
不合题意,当a≠0时,Δ=9-8a<0,∴a>
.
答案:
3.(易错题)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
解析:
由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-
,当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;当m=-
时,m+2=
,而2m2+m=3,故m=-
.
答案:
-
[谨记通法]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集.如“题组练透”第1题.
(2)看这些元素满足什么限制条件.
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.如“题组练透”第3题易忽视.
(重点保分型考点——师生共研)
[典例引领]
1.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 解析: 当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图. 则 解得2 综上,实数m的取值范围为(-∞,4]. 答案: (-∞,4] 2.(2016·苏州四市调研)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________. 解析: 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个. 答案: 4 3.集合A={0,1,x},B={x2,y,-1},若A=B,则y=________. 解析: 因为A={0,1,x},B={x2,y,-1},且A=B,所以x=-1,此时集合A={0,1,-1},B={1,y,-1},所以y=0. 答案: 0 [由题悟法] 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 [即时应用] 1.已知集合A={x|2a-2 解析: ∁RB={x|x≤1或x≥2}. (1)当A=∅时,2a-2≥a,解得a≥2; (2)当A≠∅时,由A∁RB,得 或 解得a≤1. 综上可知,实数a的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞). 答案: (-∞,1]∪[2,+∞) 2.已知集合A={x|x2-2x+a=0},B={1,2},且A⊆B,求实数a的取值范围. 解: 若A=∅,则Δ=4-4a<0,解得a>1; 若A≠∅,则A={1}或{2}或{1,2}; 若A中只有一个元素,则Δ=4-4a=0,解得a=1.当a=1时,A={1},满足; 若A中有两个元素,则A={1,2},则 无解. 综上可知,实数a的取值范围为[1,+∞). (常考常新型考点——多角探明) [命题分析] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力. 常见的命题角度有: (1)求交集或并集; (2)交、并、补的混合运算; (3)新定义集合问题. [题点全练] 角度一: 求交集或并集 1.(2014·江苏高考)已知集合A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},则A∩B=________. 解析: A∩B={-2,-1,3,4}∩{-1,2,3}={-1,3}. 答案: {-1,3} 2.(2016·兰州诊断)已知集合A={x||x|<1},B={x|2x>1},则A∩B=________,A∪B=________. 解析: 由|x|<1,得-1 又由2x>1,解得x>0,所以B={x|x>0}. 所以A∩B={x|0 答案: {x|0 角度二: 交、并、补的混合运算 3.设A={x|2x2+ax+2=0},B={x|x2+3x+2a=0},且A∩B={2}. (1)求实数a的值以及集合A,B; (2)设全集U=A∪B,求(∁UA)∪(∁UB). 解: (1)由题意可知,2∈A,2∈B,将x=2代入集合A中得,8+2a+2=0,解得a=-5.则A={x|2x2-5x+2=0}= ,B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}. (2)U=A∪B= ,∁UA={-5},∁UB= ,所以(∁UA)∪(∁UB)= . 角度三: 新定义集合问题 4.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为________. 解析: 要使x-y∈A,当x=5时,y可取1,2,3,4; 当x=4时,y可取1,2,3; 当x=3时,y可取1,2; 当x=2时,y可取1.综上共有10个. 答案: 10 5.(2015·启东模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A= ,B={x|x<0,x∈R},则A⊕B=___________. 解析: 依题意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A= ,故A⊕B= ∪[0,+∞). 答案: ∪[0,+∞) [方法归纳] 解集合运算问题4个注意点 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.设集合M={x|x+1>0},N={x|x-2<0},则M∩N=________. 解析: 因为M={x|x+1>0}={x|x>-1},N={x|x-2<0}={x|x<2},所以M∩N=(-1,2). 答案: (-1,2) 2.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则∁U(M∪N)=________. 解析: ∵M={2,3,4},N={4,5}, ∴M∪N={2,3,4,5},则∁U(M∪N)={1,6}. 答案: {1,6} 3.(2015·陕西高考改编)设集合M={x|x2=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=________. 解析: M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},M∪N=[0,1]. 答案: [0,1] 4.已知集合A={(x,y)|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=|x|,x∈R},则A∩B中的元素个数为________. 解析: 由题意联立方程组 消去y得x2=|x|,两边平方,解得x=0或x=-1或x=1,相应的y值分别为0,1,1,故A∩B中的元素个数为3. 答案: 3 5.(2016·海安实验中学检测)已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(∁RB)=________. 解析: ∵A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0}={x|0 答案: (-∞,1]∪[2,+∞) 二保高考,全练题型做到高考达标 1.已知集合A= ,则集合A中的元素个数为________. 解析: ∵ ∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3, 又∵x∈Z,∴x值分别为5,3,1,-1, 故集合A中的元素个数为4. 答案: 4 2.(2016·南通中学月考)已知集合M={1,2,3,4},则集合P={x|x∈M,且2x∉M}的子集的个数为________. 解析: 由题意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4个. 答案: 4 3.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=______________. 解析: 由题意知,A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}, ∵B={x|-1<x≤5},∴∁RB={x|x≤-1或x>5}. ∴A∩(∁RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}. 答案: {x|-3<x≤-1} 4.已知集合A={x|x2<3x+4,x∈R},则A∩Z中元素的个数为________. 解析: 由x2<3x+4,得-1 答案: 4 5.设全集U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为________. 解析: 由2x(x-2)<1得x(x-2)<0,解得0 答案: [1,2) 6.已知集合M={(x,y)|y=x2+2x+4},N={(x,y)|y=2x2+2x+3},则M∩N=________. 解析: 由题可知, 解得 或 所以M∩N={(1,7),(-1,3)}. 答案: {(1,7),(-1,3)} 7.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax-2=0},若A∩B=B,则实数a的值为________. 解析: 由题意A={1,2},当B≠∅时, ∵B⊆A,∴B={1}或{2}, 当B={1}时,a·1-2=0,解得a=2; 当B={2}时,a·2-2=0,解得a=1. 当B=∅时,a=0.故a的值为0或1或2. 答案: 0或1或2 8.(2016·贵阳监测)已知全集U={a1,a2,a3,a4},集合A是集合U的恰有两个元素的子集,且满足下列三个条件: ①若a1∈A,则a2∈A;②若a3∉A,则a2∉A;③若a3∈A,则a4∉A.则集合A=________.(用列举法表示) 解析: 若a1∈A,则a2∈A,则由若a3∉A,则a2∉A可知,a3∈A,假设不成立;若a4∈A,则a3∉A,则a2∉A,a1∉A,假设不成立,故集合A={a2,a3}. 答案: {a2,a3} 9.已知集合A= ,B={x|x2+3x-a2-3a>0}. (1)当a=4时,求A∩B; (2)若A⊆B,求实数a的取值范围. 解: (1)由题意可知A=[-8,-4], 当a=4时,B=(-∞,-7)∪(4,+∞), 由数轴图得: A∩B=[-8,-7). (2)方程x2+3x-a2-3a=0的两根分别为a,-a-3, ①当a=-a-3,即a=- 时,B= ∪ ,满足A⊆B; ②当a<- 时,a<-a-3,B=(-∞,a)∪(-a-3,+∞),则a>-4或-a-3<-8,得-4 ; ③当a>- 时,a>-a-3,B=(-∞,-a-3)∪(a,+∞),则a<-8或-a-3>-4得- 综上所述,实数a的取值范围是(-4,1). 10.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若A∩B=[0,3],求实数m的值; (2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围. 解: 由已知得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)因为A∩B=[0,3],所以 所以m=2. (2)∁RB={x|x 因为A⊆∁RB,所以m-2>3或m+2<-1, 即m>5或m<-3. 因此实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞). 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.已知集合A={x|x2-2015x+2014<0},B={x|log2x 解析: 由x2-2015x+2014<0,解得1 由log2x 答案: 11 2.(2016·无锡一中月考)设集合M={x|-2≤x≤5},N={x|a+1≤x≤2a-1},若N⊆M,则实数a的取值范围是________. 解析: 当N=∅时,a+1>2a-1,解得a<2; 当N≠∅时,由N⊆M得, 解得2≤a≤3. 综上,实数a的取值范围是(-∞,3]. 答案: (-∞,3] 3.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围; (3)若全集U=R,A∩(∁UB)=A,求实数a的取值范围. 解: 由题意知A={1,2}. (1)因为A∩B={2},所以2∈B,所以4+4(a+1)+(a2-5)=0,整理得a2+4a+3=0,解得a=-1或a=-3. 经检验,均符合题意,所以a=-1或a=-3. (2)由A∪B=A知,B⊆A. 若集合B=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0. 即2a+6<0,解得a<-3; 若集合B中只有一个元素,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=0,整理得2a+6=0,解得a=-3.此时B={x|x2-4x+4=0}={2}.满足; 若集合B中有两个元素,则B={1,2}. 所以a>-3,且 无解. 综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]. (3)由A∩(∁UB)=A可知,A∩B=∅. 所以 解得a≠-1,a≠-3,a≠-1+ ,a≠-1- . 综上,实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-1- )∪(-1- ,-1)∪(-1,-1+ )∪(-1+ ,+∞). 第二节四种命题和充要条件 1.命题 概念 使用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假; (2)陈述句 分类 真命题、假命题 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系: (2)四种命题中真假性的等价关系: 原命题等价于逆否命题,原命题的否命题等价于逆命题.在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4. 3.充要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p成立的对象的集合为A,q成立的对象的集合为B p是q的充分不必要条件 p⇒q且q p A是B的真子集 集合与 充要条件 p是q的必要不充分条件 P q且q⇒p B是A的真子集 p是q的充要条件 p⇔q A=B p是q的既不充分又不必要条件 p q且q p A,B互不包含 [小题体验] 1.(教材习题改编)条件p: x>2,条件q: x≥2,则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 答案: 充分不必要 2.(教材习题改编)已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m= ”是“A∩B={4}”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 解析: A∩B={4}⇒m2+1=4⇒m=± ,故“m= ”是“A∩B={4}”的充分不必要条件. 答案: 充分不必要 3.已知命题: 若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根.则其逆否命题为________________________________________________________________________. 答案: 若方程x2+x-m=0无实根,则m≤0 1.易混淆否命题与命题的否定: 否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论. 2.易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同. [小题纠偏] 1.命题“当a<0时,函数y=ax+b的值随x值的增大而减小”的否命题是________________________________. 解析: 本题的条件是“x的值增大”,结论是函数“y=ax+b的值减小”,故其否命题是“当a<0时,若x的值不增大,则函数y=ax+b的值不减小”. 答案: 当a<0时,若x的值不增大,则函数y=ax+b的值不减小 2.命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是________________________. 解析: 由原命题与逆否命题的关系,得逆否命题是“若两个三角形不相似,则它们不全等”. 答案: 若两个三角形不相似,则它们不全等 3.若|x|0)的充分条件是|x|0),则a,b的大小关系是________. 解析: 由题意,得|x| 答案: a≥b 4.已知p: x≠2或y≠1,q: x+y≠3,则p是q的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”). 解析: 若p⇒q,即“x≠2或y≠1”⇒“x+y≠3”, 得其逆否命题为“x+y=3⇒x=2且y=1”, 显然不正确, 所以p⇒/q. 同理可得q⇒p. 所以p是q的必要不充分条件. 答案: 必要不充分 [题组练透] 1.命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是________________. 解析: 根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.该题中,p为a2>b2,q为a>b,故綈p为a2≤b2,綈q为a≤b.所以原命题的否命题为: 若a2≤b2,则a≤b. 答案: 若a2≤b2,则a≤b 2.已知命题p: 正数a的平方不等于0,命题q: 若a不是正数,则它的平方等于0,则p是q的________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”). 解析: 因为命题q的条件与结论恰好是命题p的条件与结论的否定,故两者之间互否. 答案: 否命题 3.(易错题)给出以下四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题; ④若ab是正整数,则a,b都是正整数. 其中真命题是________.(写出所有真命题的序号) 解析: ①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;④若ab是正整数,但a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题. 答案: ①③ [谨记通法] 1.写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 2.命题真假的2种判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断. (2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断. (重点保分型考点——师生共研) [
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