第二章 二阶线性偏微分方程的分类汇编.docx
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第二章二阶线性偏微分方程的分类汇编
第二章二阶线性偏微分方程的分类
1.把下列方程化为标准形式:
(1)
解:
因为
所以该方程是抛物型方程,其特征方程为
。
它只有一族实的特征线
在这种情况下,我们设,(或令,总之,此处是与无关的任一函数,当然宜取最简单的函数形式或)。
方法一:
用抛物型方程的标准形式
先算出:
∴
即
方法二:
应用特征方程,作自变量变换,求出
代入原方程得,
(2),
解:
因为,所以该方程是双曲型的其特征方程为
,
特征线为和。
故可令,,在双曲型方程的标准型式,
中,先算出,
∴
即
,
(3)
解:
因为
所以该方程是椭圆型的,其特征方程为
特征线为:
和,
故可令
,
为计算方便,又令
在椭圆型方程的标准形式:
中,先算出,
∴
即
。
改变自变量、的记号为、,则
(4)
解:
(i)如,则,该方程为双曲型。
其特征方程为:
,和
其特征线为:
和
故可令:
,
在双曲型方程的标准形式
中,先算出
所以原方程化为
(ii)如,则,该方程为椭圆型。
其特征方程为
和
特征线为
和
故可令
,
为方便计,又令
,或
则
,,,
原方程为
即
。
把符号换成,就有。
(5)。
解:
,所以特征方程为。
(i)如,则,所以方程是双曲型的。
特征线:
和
或改写为及
令
,
(1)
,
(2)
,
,
,,
(3)
将
(1)减
(2)式得
∴
代入(3)就代成标准形
。
(ii)如,则,则,
则此方程为椭圆型。
特征方程为:
,
特征线为:
和
令,
则,,
,
,
方程为
,
即
。
(6)。
解:
故方程是椭圆型,
特征方程:
,
特征线为:
,,
令
则有
,,
,,
原方程变为
,
。
(7)。
解:
,故方程为双曲型。
特征方程:
,
特征线:
,。
令,
(1)
,
(2)
则,
,
,
,
方程成为
,
即
,
(3)
(1)+
(2)有
代入
(1)由
2.简化下列常系数方程:
(1)。
解:
试作函数变换,其中和是待定常数,于是
以此代入原方程,约去公共因子后得:
令,,即,则一阶偏导数和的项消去,方程简化为:
(2)
解:
与
(1)题一样,试作函数变换,并以,,,及代入原方程,约去公共因子后得:
如令则项被消去,如要项也被消去,则必须
,
即,即,即该常微分方程简化为
(3)
解:
作函数变换,并以,,及代入原方程,约去公共因子后得
如令,则项消失;如要项也消去,则必须,即才可能。
所以,作出函数变换后,方程简化为
(4)。
解:
作函数变换,并以,,及代入原方程,约去公共因子后得:
如令,,即则方程简化为
(5)
解:
如直接作函数变换,该方程不能化简,所以,必须先作自变量的变换先消去项,然后再作函数变换,消去,项才行。
(i)因为,该方程为椭圆型,其特征方程是:
,
即和
特征线为:
,
令,,,
则,
,,
方程成为
即。
(ii)对上式作进一步化简,令,
,,
,,
取,代入上式,则原方程简化为:
,
其中,
代回原来变量
∴
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