最新现代控制理论复习题.docx
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最新现代控制理论复习题
概念:
设动态系统为,
(1)若,则称为(状态转移矩阵)
(2)若,则称为(传递函数矩阵)
(3)若,则称为(能控性矩阵)
(4)若,则称为(能观性矩阵)
(5)若,则称为(输出能控性矩阵)
(6)李雅普诺夫方程,其中为正定对称阵,当使方程成立的为(正定对称阵)时,系统为渐近稳定。
(7)设系统,如果存在一个具有一阶导数的标量函数,,并且对于状态空间X中的且非零点x满足如下条件:
为(正定);为(负定);当时,。
则系统的原点平衡状态是(大范围渐近稳定的)。
(8)状态反馈不改变系统的(可控性)。
输出至状态微分反馈不改变系统的(可观测性)。
输出至参考输入反馈,不改变系统的(可控性和可观测性)。
状态反馈和输出反馈都能影响系统的(稳定性和动态性能)。
(9)状态反馈控制的极点任意配置条件是系统状态(完全可控)。
状态观测的极点任意配置条件是系统状态(完全可观)。
(10)系统线性变换时,变换矩阵必须是(非奇异的,或满秩)的。
二:
已知系统传递函数,试求约当型动态方程。
解:
由上式,可得约当型动态方程
三:
试求下列状态方程的解的解
解:
由题意可得:
五:
设系统状态方程为,并设系统状态可控,试求。
解:
令时,即可满足可控性条件。
六:
试确定使系统可观测的。
解:
时,于是系统可观。
第A9-3题:
系统微分方程为,其中u为输入量;x为输出量。
⑴设状态,试写出系统的动态方程;
⑵设状态变换,试确定变换矩阵T,及变换后的动态方程。
参考答案:
⑴列写系统的动态方程
⑵求变换矩阵T和变换后的动态方程
由题意知,故变换矩阵
由于
变换后的动态方程
第A9-5题:
已知系统结构图,其状态变量为x1,x2,x3。
试列写动态方程。
参考答案:
⑴将频域参量s视作微分算子,可得
,
,
⑵整理得动态方程
⑶写成向量矩阵形式
第A9-6题:
已知系统传递函数为
试求可控标准型(A为友矩阵),可观标准型(A为友矩阵转置),对角型(A为对角阵)动态方程。
参考答案:
由于
串联分解,引入中间变量z,可得微分方程
选取状态变量,
则状态方程,
则输出方程
可控标准型动态方程
利用能控性与能观性的对偶关系
,,,
由可控标准型得可观标准型动态方程
由于
故λ1=-1,λ2=-3为系统的单实极点,且有
因此,
令状态变量,
其反拉氏变换,,
因此对角型动态方程
第A9-13题:
已知线性系统的状态转移矩阵为
试求系统的状态矩阵A。
参考答案1:
由状态转移矩阵性质
参考答案2:
由状态转移矩阵性质
所以
第A9-14题:
设系统(A,B,C)的状态矩阵为
试求系统的状态转移矩阵:
参考答案1:
拉氏变换法
参考答案2:
线性变换法
由于A是友矩阵,故有
,,
所以
,
,
参考答案3:
待定系数法
根据凯莱-哈密顿定律
因A的特征值λ1=λ2=1,λ3=2,则有
第A9-15题:
已知线性定常自治系统的状态方程
试求系统的状态轨线。
参考答案:
线性定常齐次状态方程的解
,,
第A9-19题:
已知线性动态方程为
试求传递函数阵G(s)。
参考答案:
第A9-21题:
已知ad=bc,试计算
参考答案:
设,则A的特征多项式为
由数学归纳法
第A9-22题:
设系统的传递函数为,
试求:
⑴可控标准型实现;
⑵可观标准型实现;
⑶对角型实现;
⑷下三角型实现;
参考答案:
⑴可控标准型实现
引入中间变量z,使
可得微分方程
,
选择,,,则有
系统的可控标准型实现
,
⑵可观标准型实现
对应系统的微分方程,
选择状态变量,
则有
系统的可观标准型实现
,
⑶对角型实现;
将传递函数分解成部分分式
设,,
可得,,
系统的对角型实现为
,
⑷下三角型实现;
将传递函数分解成
设,,
可得,
,
系统的三角型实现为
,
第A9-26题:
设有不稳定线性定常系统(A,b,c),其中
,,
⑴能否通过状态反馈把系统的闭环极点配置在处?
若能,试求出实现上述极点配置的反馈增益向量k;
⑵当系统状态不可直接测量时,能否通过状态观测器来获取状态变量?
若能,试设计一个极点位于处的等维状态观测器;
参考答案:
⑴反馈增益向量k
系统的可控性矩阵及秩
,rankP=3
系统是可控的,可以通过状态反馈来进行极点配置,设反馈增益向量
系统的闭环特征多项式
闭环系统期望的特征多项式
比较同次系数得,,
反馈增益向量
⑵系统状态可观测矩阵及秩
,rankV=3
系统是可观测的,可以通过状态观测器来获取状态变量。
利用输出至状态微分反馈来配置极点,设反馈增益向量h,先将(A,c)化为能观标准型
变换矩阵
,
设,
状态观测器的特征多项式为
期望的状态观测器的特征多项式为
比较同次系数得
,
要设计的等维状态观测器
【A9-27】试用李雅普诺夫第二法判断系统的原点稳定性:
⑴
⑵
⑶
⑷
【参考答案1】
方法一:
原点(x1=0,x2=0)是该系统唯一的平衡状态.选取正定标量函数
则有
对于状态空间中的一切非零x满足V(x)正定,负定,故系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
方法二:
系统状态方程写成向量矩阵形式
,系统状态矩阵,
即A是非奇异的,故原点xe=0是系统唯一的平衡状态。
设系统的李雅普诺夫函数及其导微分分别为
则成立。
取Q=I,上式为
其中p12=p21求解该矩阵方程可得
由于,,对称矩阵P是正定的。
系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
【参考答案2】
原点(x1=0,x2=0)是该系统唯一的平衡状态.系统状态方程向量矩阵形式
若选取
解李雅普诺夫方程
得,由于,为不定,则难以判定系统的稳定性。
用特征根判别
可见系统原点平衡状态是不稳定的。
【参考答案3】
原点(x1=0,x2=0)是该系统唯一的平衡状态.选取正定标量函数
则有
对于状态空间中的一切非零x满足V(x)正定,负定,故系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
注:
,,
选取都行。
【参考答案4】
系统状态方程向量矩阵形式
,即
若选取
代入离散李雅普诺夫方程
得
展开得方程组
附件
(二):
解之得
由于,为正定,故系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
300-400元1632%【6题】:
设有不稳定线性定常系统(A,b,c),其中,,,能否通过状态反馈把系统的闭环极点配置在处?
若能,试求出实现上述极点配置的反馈增益向量k;
解:
系统的可控性矩阵及秩
(二)创业优势分析,rankP=3
“碧芝”的成功归于他的唯一,这独一无二的物品就吸引了各种女性的眼光。
系统是可控的,可以通过状态反馈来进行极点配置。
标题:
手工制作坊2004年3月18日设反馈增益向量
调研课题:
系统的闭环特征多项式
8、你是如何得志DIY手工艺制品的?
加拿大beadworks公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求,将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内,由消费者自选、自组、自制,这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上,创作出作品,达到展现个性的效果闭环系统期望的特征多项式
大学生购买力有限,即决定了要求商品能价廉物美,但更注重的还是在购买过程中对精神文化爱好的追求,满足心理需求。
比较同次系数得,,
“碧芝自制饰品店”拥有丰富的不可替代的异国风采和吸引人的魅力,理由是如此的简单:
世界是每一个国家和民族都有自己的饰品文化,将其汇集进行再组合可以无穷繁衍。
反馈增益向量
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