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不等式及其性质
一、不等式及其性质
【学习目标】
1.了解不等式的意义,认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系;2.理解不等式的三条基本性质,并会简单应用;3.理解并掌握一元一次不等式的概念及性质;
【要点梳理】
要点一、不等式的概念一般地,用“<”、“>”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释:
(1)不等号“<”或“>”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大.
(2)五种不等号的读法及其意义:
符号“≠”“<”“>”“≤”“≥”
读法读作“不等于”读作“小于”读作“大于”
读作“小于或等于”
读作“大于或等于”
意义
它说明两个量之间的关系是不相等的,但不能确定哪个大,哪个小
表示左边的量比右边的量小表示左边的量比右边的量大
即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数,如3<4,-1>-2;有些不等式中含有未知数,如2x>5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立.类型一、不等式的概念
例1.判断下列各式哪些是等式,哪些是不等式.
(1)4<5;
(2)x+1>0;(3)x<2x-5;(4)x=2x+3;(5)3a+a;
2
2(6)a+2a≥4a-2.
2变式练习:
1.(2017春?
城关区校级期末)贵阳市今年5月份的最高气温为27℃,最低气温为18℃,已知某一天的气温为t℃,则下面表示气温之间的不等关系正确的是()
A.18<t<27
B.18≤t<27
C.18<t≤27
D.18≤t≤27
2.(2017春?
未央区校级月考)下列式子:
①a+b=b+a;②-2>-5;③x≥-1;④
1y-4<1;⑤2m≥n;⑥2x-3,其中不等式有()
3A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
3.(2017春?
南山区校级月考)下面给出了6个式子:
?
?
3>0;?
?
x+3y>0;?
?
x=3;④x-1;⑤x+2≤3;⑥2x≠0;其中不等式有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4.(2017春?
太原期中)学校组织同学们春游,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是()A.两种客车总的载客量不少于500人B.两种客车总的载客量不超过500人C.两种客车总的载客量不足500人D.两种客车总的载客量恰好等于500人
5.已知有理数m,n的位置在数轴上如图所示,用不等号填空.
(1)n-m0;
(2)m+n0;(3)m-n0;(4)n+10;(5)m?
n0;(6)m+10.
例2.用不等式表示:
(1)x与-3的和是负数;
(2)x与5的和的28%不大于-6;
(3)m除以4的商加上3至多为5.
举一反三:
【变式】的值一定是().
A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零
2
2例3.下列叙述:
①a是非负数则a≥0;②“a减去10不大于2”可表示为a-10<2;③“x的倒数超过10”可表示为>10;④“a,b两数的平方和为正数
”2
2可表示为a+b>0.其中正确的个数是().个个个D.4个
要点二、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数,未知数的次数是一次的不等式,叫做一元一次不等式,例如,是一个一元一次不等式.要点诠释:
(1)一元一次不等式满足的条件:
①左右两边都是整式(单项式或多项式);
②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为1.
(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系:
相同点:
二者都是只含有一个未知数,未知数的次数都是1,“左边”和“右边”都是整式.
不同点:
一元一次不等式表示不等关系,由不等号“<”、“≤”、“≥”或“>”连接,不等号有方向;一元一次方程表示相等关系,由等号“=”连接,等号没有方向.例1.(2017春?
沧州期末)下列各式中,一元一次不等式是()A.x
?
5B.2x2
x>1-xC.x+2y<1D.2x+1≤3x
变式练习
2.(2017春?
平川区校级期中)下列是一元一次不等式的是()
A..x
?
1?
1B.x
2
x-2<1C.3x+2D.2<x-23.(2016春?
永丰县期中)若不等式2x
a<1是关于x的一元一次不等式,则a符合(A.a≠1
B.a=0C.a=1D.a=2
4.若(m+1)x
|m|+2>0是关于x的一元一次不等式,则m=()
A.±1
B.1
C.-1
D.0
5.下列不等式中,是一元一次不等式的有()个.①x>-3;②xy≥1;③x
2<3
;④x2?
x3?
1;⑤x?
1
x?
1;A.1B.2
C.3
D.4
要点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1:
不等式两边加(或减)同一个数(或整式),不等号的方向不变.
用式子表示:
如果a>b,那么a±c>b±c.
不等式的基本性质2:
不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
用式子表示:
如果a>b,c>0,那么ac>bc(或).
不等式的基本性质3:
不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
用式子表示:
如果a>b,c<0,那么ac<bc(或).
例1.判断以下各题的结论是否正确(对的打“√”,错的打“×”).
(1)若b﹣3a<0,则b<3a;
(2)如果﹣5x>20,那么x>﹣4;
(3)若a>b,则ac
2>bc
2;
(4)若ac2>bc
2,则a>b;
(5)若a>b,则a(c2+1)>b(c
2+1).(6)若a>b>0,则<..【答案与解析】
解:
(1)若由b﹣3a<0,移项即可得到b<3a,故正确;
(2)如果﹣5x>20,两边同除以﹣5不等号方向改变,故错误;(3)若a>b,当c=0时则ac
2>bc
2错误,故错误;
(4)由ac2>bc2得c
2>0,故正确;
(5)若a>b,根据c2+1,则a(c2+1)>b(c
2+1)正确.(6)若a>b>0,如a=2,b=1,则<正确.故答案为:
√、×、×、√、√、√.
)【总结升华】本题考查了不等式的性质,两边同乘以或除以一个不为零的负数,不等号方向改变.
例4.(2017?
青浦区一模)已知a>b,下列关系式中一定正确的是()A.a<b
2
2B.2a<2bC.a+2<b+2D.﹣a<﹣b
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断.【答案】D.【解析】
222
2解:
A,a<b,错误,例如:
2>﹣1,则2>(﹣1);B、若a>b,则2a>2b,故本选项错误;C、若a>b,则a+2>b+2,故本选项错误;D、若a>b,则﹣a<﹣b,故本选项正确.
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据.关键要注意不等号的方向.性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中,当不等式两边乘以或除以同一个负数时,不等号的方向要改变.
举一反三:
【变式】根据不等式的基本性质,将“mx<3”变形为“x>”,则m的取值范围是.【答案】m<0.
解:
∵将“mx<3”变形为“x>”,∴m的取值范围是m<0.故答案为:
m<0.【巩固练习】一、选择题
1.(2016春?
北京期末)在式子﹣3<0,x≥2,x=a,x﹣2x,x≠3,x+1>y中,是不等式的有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
2.下列不等式表示正确的是().
A.a不是负数表示为a>0B.x不大于5可表示为x>5
C.x与1的和是非负数可表示为x+1>0D.m与4的差是负数可表示为m-4<03.式子“①x+y=1;②x>y;③x+2y;④x-y≥1;⑤x<0”属于不等式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个4.已知a<b,则下列不等式一定成立的是()
A.a+3>b+3B.2a>2bC.-a<-bD.a-b<0
5.若图示的两架天平都保持平衡,则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是().
>c 6.下列变形中,错误的是(). A.若3a+5>2,则3a>2-5B.若,则C.若,则x>-5D.若,则 2二、填空题 7.(2016秋? 太仓市校级期末)如果a<b,则﹣3a﹣3b(用“>”或“<”填空).8.用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为. 9.在-l,,0,,2中,能使不等式5x>3x+3成立的x的值是________;________是不等式-x>0的解. 10.假设a>b,请用“>”或“<”填空 (1)a-1________b-1; (2)2a______2b;(3)_______;(4)a+l________b+1. 11.已知a>b,且c≠0,用“>”或“<”填空. (1)2a________a+b (2)_______ (3)c-a_______c-b(4)-a|c|_______-b|c|12.k的值大于-1且不大于3,则用不等式表示k的取值范围是_______.(使用形如a≤x≤b的类似式子填空.)三、解答题 13.现有不等式的性质: ①在不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变;②在不等式的两边都乘以同一个数(或整式),乘的数(或整式)为正时不等号的方向不变,乘的数(或整式)为负时不等式的方向改变.请解决以下两个问题: (1)利用性质①比较2a与a的大小(a≠0); (2)利用性质②比较2a与a的大小(a≠0). 2 214.①当a=3,b=5时用不等式表示a+b与2ab的大小是_______; 2 2②当a=-3,b=5时用不等式表示a+b与2ab的大小是__________; 2 2③当a=1,b=1时用不等式表示a+b与2ab的大小是________; 2 2④根据上述数学实验你猜想a+b与2ab的大小关系_______;⑤用a、b的其他值检验你的猜想______. 15.已知x<y,比较下列各对数的大小. (1)8x-3和8y-3; (2)和;(3)x-2和y-1. 【答案与解析】一、选择题1.【答案】C; 【解析】解: ﹣3<0是不等式,x≥2是不等式,x=a是等式,x﹣2x是代数式,x≠3是不等式,x+1>y是不等式.不等式共有4个.故选C. 2.【答案】D; 【解析】a不是负数应表示为a≥0,故A错误;x不大于5应表示为x≤5,故B错误; x与1的和是非负数应表示为x+1≥0,故C错误;m与4的差是负数应表示为m-4<0,故D正确。 3.【答案】B.4.【答案】D; 【解析】从不等式a<b入手,由不等式的性质1,不等式a<b的两边都加上3 后,不等 2号的方向不变,得a+3<b+3,故选项A不成立;由不等式的性质2,不等式a<b的两边都乘以2后,不等号的方向不变,得2a<2b,故选项B不成立;由不等式的性质3,不等式a<b的两边都乘以-1后,不等号的方向改变,得-a>-b,故选项C也不成立;由不等式的性质1,不等式a<b的两边都减去b后,不等号的方向不变,得a-b<0.故应选D.5.【答案】A.6.【答案】B; 【解析】B错误,应改为: ,两边同除以,可得: 。 二、填空题7.【答案】>. 【解析】在a<b的两边同时乘以﹣3,得: ﹣3a>﹣3b,两边同时加上,得: ﹣3a>﹣3b.故答案为: >. 8.【答案】x﹣a≤0;9.【答案】2;-1、 【解析】一一代入验证. 10.【答案】 (1)> (2)>(3)<(4)>;11.【答案】 (1)> (2)>(3)<(4)<;【解析】利用不等式的性质进行判断。 12.【答案】-1<k≤3.三、解答题13.【解析】 解: (1)a>0时,a+a>a+0,即2a>a, a<0时,a+a<a+0,即2a<a; (2)a>0时,2>1,得2? a>1? a,即2a>a; a<0时,2>1,得2? a<1? a,即2a<a. 14.【解析】 解: ①当a=3,b=5时,2 2a+b=34,2ab=30,∵34>30, 2 2∴a+b>2ab; ②当a=-3,b=5时,2 2a+b=34,2ab=-30,∵34>-30, 2 2∴a+b>2ab;③当a=1,b=1时2 2a+b=2,2ab=2,∵1=1, 2 2∴a+b=2ab; 2 2④综合①②③得出结论: a+b≥2ab(a=b时,取“=”). 2证明: ∵(a-b)≥0(a=b时,取“=”), 2 2∴a+b-2ab≥0, 2 2∴a+b≥2ab. 2 2⑤设a=2,b=2,则a+b=2ab=8,上述结论正确; 222 2设a=5,b=3,则a+b=34,2ab=30,所以a+b>2ab, 2 2综上所述,a+b≥2ab(a=b≠0时,取“=”)正确.15.【解析】 解: (1)∵x<y∴8x<8y,∴8x-3<8y-3. (2)∵x<y,∴,∴. (3)∵x<y,∴x-2<y-2,而y-2<y-1,∴x-2<y-1. 拓展: 类型一、不等式的概念 1.有数颗等重的糖果和数个大、小砝码,其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克,且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形.判断下列正确的情形是(). 【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量>5克,3个糖果的质量<16克,依此求出1个糖果的质量取值范围,再在4个选项中找出情形正确的.【答案】D.【解析】 解: 由图 (1)知,每一个糖果的重量大于5克,由图 (2)知: 3个糖果的重量小于16克,即每一个糖果的重量小于克.故A选项错;两个糖果的重量小于克故B选项错;三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错,四个糖果的重量小于克故D选项对. 【总结升华】观察图示,确定大小.本题涉及的知识点是不等式,涉及的数学思想是数形结合思想,解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式.举一反三: 【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体,现用天平秤两次,情况如图所示,那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为(). A.■、●、▲B.▲、■、●C.■、▲、●D.●、▲、■【答案】C. 类型二、不等式的基本性质 2.下面四个命题: (1),则; (2),则;(3)若,则;(4)若,则.其中正确的个数是(). A.1个个C.3个D.4个【答案】B. 【解析】 (1)由得,因为>0,所以,正确; (2)因为,当时,,所以错误; (3)因为,当时,没有意义,而当时,,所以错误;(4)因为,所以,,正确.【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据,要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点,特别是不等式两边同时乘以(或除以)同一个数时,不仅要考虑这个数不等于0,而且先必须确定这个数是正数还是负数.举一反三: 【变式1】a、b是有理数,下列各式中成立的是(). 2 2A.若a>b,则a>b;B.若a>b,则a>bC.若a≠b,则|a|≠|b|D.若|a|≠|b|,则a≠b 【答案】D. 【变式2】若点P(1﹣m,m)在第一象限,则(m﹣1)x>1﹣m的解集为.【答案】x<﹣1. 解: ∵点P(1﹣m,m)在第一象限, ∴1﹣m>0,即m﹣1<0; ∴不等式(m﹣1)x>1﹣m,∴(m﹣1)x>﹣(m﹣1),不等式两边同时除以m﹣1,得: x<﹣1, 故答案为: x<﹣1. 3.设a>0>b>c,且a+b+c=-1,若M=,N=,P=,试比较M、N、P的大小.【答案与解析】∵a+b+c=-1,∴b+c=-1-a,∴M==? 1? , 同理可得N=? 1? ,P=? 1? ;又∵a>0>b>c,∴>0>>, ∴? 1? <? 1<? 1? <? 1? 即M<P<N. 【总结升华】本题考查不等式的基本性质,关键是M、N、P的等价变形,利用了整体思想消元,转化为a、b、c的大小关系. 4.(2016春? 唐河县期中)【提出问题】已知x﹣y=2,且x>1,y<0,试确定x+y的取值范围. 【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x,然后根据题中已知量x的取值范围,构建另一量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式性质即可获解.【解决问题】解: ∵x﹣y=2,∴x=y+2.又∵x>1,∴y+2>1,∴y>﹣1.又∵y<0,∴﹣1<y<0,…①同理得1<x<2…② 由①+②得﹣1+1<y+x<0+2.∴x+y的取值范围是0<x+y<2. 【尝试应用】已知x﹣y=﹣3,且x<﹣1,y>1,求x+y的取值范围. 【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x,然后根据题中已知量x 的222 2取值范围,构建另一量y的不等式,从而确定该量y的取值范围,同法再确定另一未知量x的取值范围,最后利用不等式性质即可获解.【答案与解析】解: ∵x﹣y=﹣3,∴x=y﹣3.又∵x<﹣1,∴y﹣3<﹣1,∴y<2.又∵y>1,∴1<y<2,…①同理得﹣2<x<﹣1…②由①+②得1﹣2<y+x<2﹣1.∴x+y的取值范围是﹣1<x+y<1. 【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质 (1)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变; (2)不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3 )不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变. 【巩固练习】 一、选择题 1.下列不等式中,一定成立的有().①5>-2;②;③x+3>2;④+1≥1;⑤.A.4个B.3个C.2个D.1个 2.若a+b>0,且b<0,则a,b,-a,-b的大小关系为(). A.-a<-b<b<aB.-a<b<-b<aC.-a<b<a<-bD.b<-a<-b<a3.若a<b,则下列不等式: ①;②;③.其中成立的有(). A.1个B.2个C.3个D.0个 24.若0<x<1,则x,,x的大小关系是().A.B.C.D. 5.已知a、b、c、d都是正实数,且<,给出下列四个不等式: ①;②;③;④ 其中不等式正确的是(). A.①③B.①④C.②④D.②③6.(2016春? 丰台区期末)下列不等式变形正确的是()A.由a>b,得a﹣2<b﹣2B.由a>b,得﹣a<﹣b C.由a>b,得D.由a>b,得ac>bc 二、填空题 7.在行驶中的汽车上,我们会看到一些不同的交通标志图形,它们有着不同的意义,如图所示,如果汽车的宽度为xm,则用不等式表示图中标志的意义为________. 8. (1)若,则a_________b; (2)若m<0,ma<mb,则a_________b.9.已知,若y<0,则m________. 10.已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数,则a的取值范围是________.11.(2016春? 济南校级期末)下列判断中,正确的序号为. ①若﹣a>b>0,则ab<0;②若ab>0,则a>0,b>0;③若a>b,c≠0,则ac>bc;④若a>b,c≠0,则ac>bc;⑤若a>b,c≠0,则﹣a﹣c<﹣b﹣c. 12.如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个,那么m的取值范围是________.三、解答题 13.用不等式表示: (1)某工人5月份计划生产零件198个,前16天平均每天生产6个,后来改进技术,提前3天,并超额完成任务,设他16天之后平均每天生产零件x个,请写出满足条件的x的关系式; (2)今年,小明x岁、小强y岁、爷爷m岁;明年,小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄. 14.若a>b,讨论ac与bc的大小关系. 15.根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法.若A-B>0,则A>B;若A-B=0,则A=B;若A-B<0,则A<B.这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”,请运用这种方法尝试解决下列问题. 22 2 (1)比较3a-2b+1与5+3a-2b+b的大小; (2)比较a+b与a-b的大小;(3)比较3a+2b与2a+3b的大小. 【答案与解析】一、选择题 2 21.【答案】B; 【解析】一定成立的是: ①④⑤;2.【答案】B.3.【答案】A; 【解析】根据不等式的性质可得,只有①成立.4.【答案】C; 2【解析】∵0<x<1,∴x≤x≤.5.【答案】A; 【解析】∵<,a、b、c、d都是正实数,∴ad<bc, ∴ac+ad<ac+bc,即a(c+d)<c(a+b),∴,所以①正确,②不正确;∵<,a、b、c、d都是正实数,∴ad<bc, ∴bd+ad<bd+bc,即d(a+b)<b(d+c),∴,所以③正确,④不正确.故选A.6.【答案】B. 【解析】A、a>b,得a﹣2>b﹣2,错误;B、a>b,得﹣a<﹣b,正确;C、a>b,得,错误; D、当c为负数和0时不成立,故本选项错误,故选B. 二、填空题 7.【答案】x≤4; 8.【答案】 (1)<, (2)>; 【解析】 (1)两边同乘以(); (2)两边同除以.9.【答案】>8; 【解析】由已知可得: x=4,y=2x-m=8-m<0,所以m>8.10.【答案】.11.【答案】①④⑤ 【解析】解: ∵﹣a>b>0,∴a<0,b>0,∴ab<0,①正确;∵ab>0,∴a>0,b>0或a<0,b<0,②错误; ∵a>b,c≠0,∴c>0时,ac>bc;c<0时,ac<bc;③错误;∵a>b,c≠0,∴c>0,∴ac>bc,④正确; ∵a>b,c≠0,∴﹣a<﹣b,∴﹣a﹣c<﹣b﹣c,⑤正确.综上,可得正确的序号为: ①④⑤. 12.【答案】9≤m<12; 【解析】3x-m≤0,x≤,3≤<4,∴9≤m<12.三、解答题13.【解析】 2 2 2解: (1)16×6+(31-16-3)x>198; (2)3(x+1)+6(y+1)>m+1.14.【解析】解: a>b, 当c>0时,ac>bc,当c=0时,ac=bc,当c<0时,ac<bc.15.【解析】解: (1).∴. (2)a+b-(a-b)=a+b-a+b=2b,当b>0时,a+b-(a-b)=2b>0,a+b>a-b; 当b=0时,a+b-(a-b)=2b=0,a+b=a-b;当b<0时,a+b-(a-b)=2b<0,a+b<a-b. (3)3a+2b-(2a+3b)=a-b当a>b时,3a+2b>2a+3b; 当a=b时,3a+2b=2a+3b;当a<b,3a+2b<2a+3b.
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- 不等式 及其 性质